關于拋物線焦點的公式

1、關于拋物線焦點的公式北京四中撰稿：安東明 編審：安東明 責編：辛文升本周重點：圓錐曲線的定義及應用本周難點：圓錐曲線的綜合應用本周內容：一、圓錐曲線的定義L橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長(定長大于兩個定點間的距離的動點的軌跡叫 做橢圓.即：PIIPFil+IPF2l=2a,(2a>IFiF2l)。2 .雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值(定值小于兩個定點的距離)的動點軌 跡叫做雙曲線。RPfPIIIPFd-IPFJbla, (2a<IFiF2l).3 .圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓 錐曲線.當0<e<l時為橢圓

2、：當e=l時為拋物線；當e>l時為雙曲線.二、圓錐曲線的方程。2222y> XL橢圓：/+ 合2 =1 (a>b>0)或'+力，=1 (a>b>0)(其中，a2=b2+c2)2222yy x2 .雙曲線：/=1 (a>0, b>0)或/=1 (a>0, b>0)(其中，cM+b?)3 .拋物線：y2=±2px (p>0) , x2=±2py (p>0)三、圓錐曲線的性質KAL橢圓：+合2 =1 (a>b>0)(1)范圍：|x|<a, |y|<b(2)頂點：(±a

3、,0), (0,±b)(3)焦點：(±c,0)c(4)離心率：e=a £(0,1)(5)準線：x=± c22x y2 .雙曲線：f=1 (a>0, b>0)(1)范圍：|x|>a,yeR(2)頂點：(±a,0)(3)焦點：(士c,0)(4)離心率：e=。e(l,-hx)(5)準線：x=±。士(6)漸近線：y=±x3 .拋物線：y2=2px(p>0)(1)范圍：x>O,yER(2)頂點：(0,0)P_(3)焦點：(2 ,0)(4)離心率：e=lP_(5)準線：x=- 2四、例題選講：例1.橢圓短軸

4、長為2,長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到準線的距離是°解：由題：2b=2,b=l,a=2,c=J1一"=右，則橢圓中心到準線的距離：。= = 3.注意：橢圓本身的性質(如焦距，中心到準線的距離，焦點到準線的距離等等)不受橢圓 的位置的影響。例2.橢圓網+ 4 =1的離心率= 2 ,則!=。J /一 4 1解：(1)橢圓的焦點在 X 軸上，a2=m, b2=4, c2=m-4, e2=*2 = m =2 =>m=80J A- m 1(2)橢圓的焦點在 y 軸上，a2=4, b2=m, c2=4-m, e2=2 = 4 =2 =>m=2。注意：橢圓方程的標準形式有兩個

5、，在沒有確定的情況下，兩種情況都要考慮，切不可憑 主觀丟掉一解。22x y例3.如圖：橢圓/ +" =1 (a>b>0) , Fi為左焦點，A、B是兩個頂點，P為橢圓上一點,PFx軸，且PO/AB,求橢圓的離心率以解：設橢同的右焦點為Fz,由第一定義：IPFiklPF2l=2a,V PFiJLx 軸, IPF1I2+IF1F2I2=IPF2I2,RP(IPF2l+IPFil)(IPF2l-IPFil)=4c2,嗚"|兩|=% 2c22|呢 H 郎il=£二。OlPFil= a °V PO/AB, :. APFiOABOA,1_BO- bJ 及

6、.1 戶U| 0Ac _a => c=b =>a= V2 :. e=a= 2又解,V PFi«Lx 軸9 設 P(.c,y)9“£4Q由第二定義：=elPFil=e(x<,+。)= (-c+。)= 口，V2由上解中 APFiOsaboa,得到 b=cOe= 2。22x y_三例4.已知Fl, F2為橢圓100+ 54 =1的焦點，P為橢圓上一點，且NFFF2=5,求ABPF2的面積。分析：要求三角形的面積，可以直接利用三角形的面積公式，注意到橢圓中一些量之間的關系，我們選用面積公式S=JabsinC。1%解法一:Sa= 2 IPFil-IPFd-sin 5

7、IPFil+IPF2l=2a=20,4x36=4c2=IFiF2l2=IPFiP+IPF2p.2IPFillPF2lcos 3 ,BP(IPFil+IPF2l)2-3IPFillPF2l=4x36, 256IPFMPF2L 亍1 256 召 64月 .S戶久虧X了 =下,。22解法二：Sa= 2 IF1F2卜 lypl= 2 xl2xyp=6lypb-3由第二定義：=e=>IPFil=a+exP=10+5Xp,3由第一定義：IPF2l=2aPFil=10 5 xp,33334c2=IFiF2l2=(10+ 5 xp)2+(10- 5 xp)2-2(10+ 5 xp)(10- 5 xp)c

8、os 3 ,27 22 44x25 x； 竺144=100+ 255n5= 27 , y? =64(1.100)=64x 27 ,32 里有s尸61ypi=6x 3 J5 = 30注意：兩個定義聯(lián)合運用解決問題。從三角形面積公式均可得到結果。初學時最好兩種辦 法都試試。22x y例5.橢圓12+ 3 =1的焦點為Fi和Fz,點P在橢圓上，若線段PR的中點在y軸上，求:IPFil, IPFiL分析：先要根據題意畫出圖形，然后根據已知量，將關于IPFd, IPF2I的表達式寫出來，再 求解。解：如圖，O為FiF2中點，PFi中點在y軸上，.PFMy軸，.PF2d_x軸，由第一定義：IPFil+IP

9、Fd=2a=4后，I%"I尸瑪1=4有|即|一|%|=3掂二431叼=方IPFil2-IPF2l2=IFiF2l2, (IPFil.lPF2l)(IPFil+IPF2l)=4x9=36,例6,橢圓：25+ 9 =1內一點A (2, 2) , Fi, F2為焦點，P為橢圓上一點，求IPAI+IPWI的最值。解:IPAI+IPFil=IPAI+2aIPF2l=10+IPAIIPF2 國 AF2l+10=2F 乙+10,IPAI+IPFtl=IPAI+10-IPF2l=10-(IPF2l-|PA|10-IAF2l=10-2.注意：利用幾何圖形的性質：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第

10、三邊。22x y例7.已知：P為雙曲線/=1 (a>0,b>0)上一點，F(xiàn)i, Fz為焦點，Au A2為其頂點。 求證：以PFi為直徑的圓與以Ai, Az為直徑的圓相切.證明：不妨設P在雙曲線的右支上，設PB中點為O', A1A2中點為O,221IOO,l= 2 IPF2I,圓 O半徑為 2 IA1A2I,圓 6半徑為 2 IPF1I由雙曲線定義：IPFiUPF2HAlAzI2 212 IPFd- 2 IAiA2l= 2 IPF2I=IOO'I兩個圓相內切。注意：可以自己證出P在左支時，兩圓相外切。例8.已知：過拋物線=2px(p>0)焦點F的直線與拋物線交于

11、 P, Q兩點。求證：以線段PQ為直徑的圓與準線相切。證明：由定義知，如圖：IPP/ HPFIJQQ/ HQFIIPQI=IPP, l+IQQ* I, 2|PQ|=2(|pp，i+iQQ，|),故圓心到準線的距離等于圓的半徑，即圓和準線相切。五、課后練習1 .橢圓49 + 24 =i上一點p與橢圓兩焦點連線互相垂直，則APF.F2的面積為()A、20 B、22 C、28 D、242 .若點P(a,b)是雙曲線x2.y2=i右支上一點，且P到漸近線距離為應，則a+b=()A、.2 B、2 c、-2 D、23.焦點在直線3x.4y-12=0上的拋物線的標準方程是()A、y2=16x 或 x2=16y B、y2=16x 或 x2=-16yC、x2=12y 或 y2=16x D、x?=16y