初中梯形知識+習(xí)題+難題

1、特殊平行四邊形正方形四邊瑕般梯形梯形1特殊梯形等腰梯形直角梯形、四邊形的分類:我們已經(jīng)研究了四邊形及特殊的四邊形的有關(guān)問題，我們還應(yīng)了解它們之間的互相聯(lián)系， 因此我們要了解四邊形的分類。般平行四邊形平行四邊形其他四邊形二、梯形是一種特殊的四邊形，我們重點研究特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形；重點研 究等腰梯形的性質(zhì)和判定。i.梯形定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形2 .直角梯形定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。3 .等腰梯形定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。4 .等腰梯形的性質(zhì)：(1)由定義知兩腰相等，兩底平行；(2)等腰梯形在同一底上的兩個角相等；(3)等腰梯形的兩條對角

2、線相等；(4)等腰梯形是軸對稱圖形。5.等腰梯形的判定：(1)用定義判定；(2)同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;F面我們研究幾種常見的輔助線:(3)兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。三、解決有關(guān)梯形問題經(jīng)常需要添加輔助線,1 .延長兩腰交于一點作用：使梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題。 若是等腰梯形則得到等腰三角形。2 .平移一腰作用：使梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形及三角形問題。3 .作高作用：使梯形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形及矩形問題。4 .平移一條對角線 作用：（1）得到平行四邊形 ACED ,使CE=AD ,BE等于上、下底的和(2) S梯形 ABCD =S ADBE5 .當(dāng)有一腰中點時，連結(jié)一個頂點

3、與一腰中點并延長交一個底的延長線。作用：可得 ADEAFCE,所以使 S梯形abcd=Sabf6 .添加梯形中位線作用：能應(yīng)用梯形中位線的有關(guān)性質(zhì)。四、例題：研究梯形問題常常要用到平行四邊形及三角形的有關(guān)知識，我們要善于把學(xué)過的知識融匯貫通。例 1.如圖在 RtAABC 中，/ BAC=90 °, BD=BA , M 為 BC 中點，MN/AD 交 AB 于 N。求 2證：DN= B BCo分析：此題是證線段的 恬半”問題，我們知道 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，J已知/ CAB=90 °,若連結(jié) AM ,則 AM= ? BC,只要證明 AM=DN 即可。于是考慮

4、證明四邊形ANMD是等腰梯形即可。證明：連結(jié)AM ,/ CAB=90。, M 為 BC 中點，工AM= 2 BC,MN/AD 且DM 與AN不平行，四邊形ANMD是梯形，又 BD=BA ,/BAD= / BDA ,梯形ANMD是等腰梯形。DN=AM （等腰梯形對角線相等）DN= 2 BCo說明： 等腰梯形對角線相等 ”這一性質(zhì)，又給出一個證明線段等的方法。梯形ABCD o例 2.已知如圖，梯形 ABCD 中，AD/BC , AC ± BD , BD=5cm ,高 DE=4cm。求：SDF/AC分析：已知梯形的高，要求梯形面積，只需求出上、下底的和。平移一條對角線，即作 交BC延長線于

5、F,這樣AD=CF ,只要求出 BF的長即可。解：過 D作DF/AC交BC延長線于 F,AD/BC , AD=CF , BF=BC+CF=BC+AD , AC ± BD , BD ± DF,ADBF 是 RtA, 在 RtABDE 中，BE2+DE2=BD2,(勾股定理)BE2=BD2-DE2,又 BD=5 , DE=4 ,. Bt' -3 BE=3,在 RtADEF 中，DE2+EF2=DF2在 RtADBF 中，BD2+DF2=BF2BF2-BD2=DF2 (2)由,(2)兩式可得DE2+EF2=BF2-BD 2,設(shè) EF=x ,貝I BF=3+x ,1- 42

6、+x2=(3+x) 2-52化簡得3x=161616x= W ,即 EF= 3 ,16 25BF=BE+EF=3+ -=-;, S 梯形 ABCD = 2 (BC+AD)X DE= 2 BF DEJ. 2550= 2x3 x4=二(cm2)50所求梯形面積是3 cm2。說明：在解題過程中我們?yōu)榍驟F的長，使用了一個重要的數(shù)學(xué)思想方法一一方程思想。即利用方程求線段的長。用方程思想解決幾何中的計算問題，是用代數(shù)的方法解決幾何問題的重要思路，也是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的一個方面。使用方程思想的關(guān)鍵是適當(dāng)設(shè)元，然后利用等量關(guān)系列出方程。實際問題中存在著大量的等量關(guān)系，如在此題中，RtADEF和RtADB

7、F ,共用一條邊 DF ,因此借助勾股定理分別把DF2用其他線段的平方表示出來，這樣就找到了等量關(guān)系即 BF2-BD 2=DE，EF2,再合理設(shè)出未知量，就得到了方程。請同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中注意使用方程 思想。例 3.已知：梯形 ABCD 中，DC/AB , AC=CB , / ACB=90 0, BD=AB , AC、BD 相交于 E 求證： ADE是等腰三角形。2分析：由已知得到 ACB是等腰直角三角形，若作 CHXAB于H,可得CH=之AB ,即CH=之2BD,作DFLAB于F,可得DF=CH= B BD ,可得出/ 1=300,從而通過計算角度的方法可使問 題得到解決。證明：過 D作D

8、FLAB于F,過C作CH± AB于H,AC=BC , / ACB=90 0, / CAB=45 0, AH=HB ,CH= 2 AB ,又 DC/AB , DF=CH= A AB ,BD=AB , DF=2BD,又: /DFB=90 0, / 1=300, BDA 中，BD=AB ,. / BDA= 2(1800-/ 1)=750, / AED是 ABE的外角， /AED= / 1 + / 2=300+450=750, / BDA= / AED , AD=AE , A ADE是等腰三角形。說明：此題通過計算角度的方法得到角等，從而得到等腰三角形。通過計算的方法證明幾何題也是數(shù)形結(jié)合思

9、想的應(yīng)用。此題的證明過程中還充分體現(xiàn)了由已知條件出發(fā)，順藤摸瓜，步步深入，尋求答案的發(fā)散思維過程。希望每位同學(xué)都能在學(xué)習(xí)過程中獨立思考，不斷總結(jié)經(jīng)驗， 把所學(xué)知識融匯貫通，不斷提高分析問題，解決問題的能力。五、練習(xí)：1 .等腰梯形兩底長為 4cm和10cm, 一底角為450,求：它的面積。2 .梯形 ABCD 中，AB/CD , CD=4 , BC=4 , AD=8 , / C=1350,求梯形面積。3.已知：如圖，梯形 ABCD中，AD/BC , / B+/C=900, M、N 分別是 AD , BC 的中點。J求證：MN=2(BC-AD)4 .如圖，已知梯形 ABCD , AD/BC ,

10、AB LAC, AB=AC , BD=BC ,求/ DBC 的度數(shù)。梯形輔助線專題訓(xùn)練題1、如圖，已知在梯形 ABCD 中，AB /DC, / D=60 ° , / C=45 ° , AB=2 , AD=4 ,求梯 形ABCD的面積.2、在梯形 ABCD 中，AD/BC , AB=DC=AD=2 , BC=4 ,求/ B 的度數(shù)及 AC 的長。3、如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD/BC, /B=60° , AD = 2, BC = 8,求等腰 梯形的周長。4、 如圖所示，AB/CD, AE ±DC , AE = 12, BD = 20, AC =

11、 15,求梯形 ABCD 的面積。5、如圖所示，在等腰梯形 ABCD中，已知AD / BC ,對角線AC與BD互相垂直，且 AD = 30, BC= 70,求 BD 的長.15cm和49cm ,求它的腰6、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60。，它的兩底分別為長.7、 如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AC ± BD , E,求DE的長.AD + BC = 10, DEBC 于8、已知：如圖，梯形 ABCD 中，AD / BC, AB=DC , / BAD 分別交直線BC于點E、F.求證：CE=BF ./ CDA的平分線AE、DF9、如圖，在梯形 ABCD 中，AD

12、/ BC , BD CD, BDC90°, AD 3, BC 8.求AB的長.10、如圖 6,在梯形 ABCD 中，ADBC, A 90求BE的長.C 45,DE=EC , AB=4,AD=2 ,11、已知：如圖，梯形ABCD中，DC/ AB,AD=BC，對角線 AC、BD交于點 O, / COD=60 若CD=3 , AB=8 ,求梯形 ABCD的高.12、已知如圖，直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB ± BC , AD=2 , BC=DC=5，點 P 在 BC上移動，則當(dāng) PA+PD取最小值時， APD中邊AP上的高為12題圖13、如圖，在四邊形 ABCD

13、中，AC 平分/BAD, BC CD 10, AB 21 , AD 9.求AC的長.1. （2011?臺灣）如圖為菱形 ABCD與正方形 EFGH的重迭情形，其中 E在CD上，AD與GH 相交于 I 點，且 AD / HE.若/ A=60 ° ,且 AB=7 , DE=4 , HE=5 ,則梯形 HEDI 的面 積為多少？C2. （2010?內(nèi)江）如圖，梯形 ABCD中，AD / BC,點E在BC上，AE=BE，點F是CD的 中點，且 AFXAB,若 AD=2.7 , AF=4 , AB=6 ,則CE的長為多少？3. （2003?泰安）如圖，在梯形 ABCD 中，AD /BC, AD

14、=2 , BC=8, AC=6 , BD=8 ,則此 梯形的面積是多少？4. （2010?河南）在梯形 ABCD 中，AD/BC, E 是 BC 的中點，AD = 5, BC=12, CD = 4 2, / C= 45° ,點P是BC邊上一動點，設(shè) PB長為x, （1）當(dāng)x的值為多少時，以點 P、A、D、 E為頂點的四邊形為直角梯形？ （ 2）當(dāng)x的值為多少時，以點 P、A、D、E為頂點的四邊 形為平行四邊形？ （3）點P在BC邊上運動的過程中，以 P、A、D、E為頂點的四邊形能 否構(gòu)成菱形？請說明理由。B PE5. 已知，如圖，在直角梯形 COAB中，CB/OA,以。為原點建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、C的坐標(biāo)分