最小二乘法和直線擬合

1、實驗數(shù)據(jù)的處理方法實驗數(shù)據(jù)的處理方法 實驗必然要采集大量數(shù)據(jù)，實驗人員需要對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計算與分析，從而尋找出測量對象的內(nèi)在規(guī)律，正確地給出實驗結(jié)果。所以說，實驗數(shù)據(jù)處理是實驗工作不可缺少的一部分。下面介紹實驗數(shù)據(jù)處理常用的四種方法。 1、列表法、列表法 列表法沒有統(tǒng)一的格式，但在設(shè)計表格時要求能列表法沒有統(tǒng)一的格式，但在設(shè)計表格時要求能充分反映輸入輸出關(guān)系，要注意以下各點：充分反映輸入輸出關(guān)系，要注意以下各點： (1)各欄目都要注明名稱和單位。各欄目都要注明名稱和單位。 (2)欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算順序，欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算順序，力求簡明、齊全、

2、有條理。力求簡明、齊全、有條理。 (3)反映測量值函數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)表格，應(yīng)按自變量由小反映測量值函數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)表格，應(yīng)按自變量由小到大或由大到小的順序排列。到大或由大到小的順序排列。 2、圖解法、圖解法 （1）作圖必須用坐標(biāo)紙）作圖必須用坐標(biāo)紙： 當(dāng)決定了作圖的參量以后，根據(jù)情況選擇用直角坐標(biāo)紙(即毫米方格紙)，對數(shù)坐標(biāo)紙，半對數(shù)坐標(biāo)紙或其它坐標(biāo)紙。 1. 標(biāo)明坐標(biāo)軸：標(biāo)明坐標(biāo)軸： 用粗實線畫坐標(biāo)軸，用粗實線畫坐標(biāo)軸，用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)軸的名稱或符號、單位軸的名稱或符號、單位,再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分格上的量值。格上的量值。I (mA)U (V)8.

3、004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.003. 連成圖線：連成圖線： 用直尺、曲線板等把用直尺、曲線板等把點連成直線、光滑曲線。點連成直線、光滑曲線。一般不強(qiáng)求直線或曲線通一般不強(qiáng)求直線或曲線通過每個實驗點，應(yīng)使圖線過每個實驗點，應(yīng)使圖線線正穿過實驗點時可以在線正穿過實驗點時可以在兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖點處斷開。點處斷開。2.標(biāo)實驗點標(biāo)實驗點： 實驗點可用實驗點可用“ ”、 “ ”、“ ”等符號標(biāo)

4、等符號標(biāo)出（同一坐標(biāo)系下不同曲出（同一坐標(biāo)系下不同曲線用不同的符號線用不同的符號）。）。 4.標(biāo)出圖線特征：標(biāo)出圖線特征： 在圖上空白位置標(biāo)明在圖上空白位置標(biāo)明實驗條件或從圖上得出的實驗條件或從圖上得出的某些參數(shù)。如利用所繪直某些參數(shù)。如利用所繪直線可給出被測電阻線可給出被測電阻R大?。捍笮。簭膹乃L所繪直線直線上讀取兩點上讀取兩點 A、B 的坐標(biāo)就可求出的坐標(biāo)就可求出 R 值。值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性

5、曲線電阻伏安特性曲線5.標(biāo)出圖名：標(biāo)出圖名： 在圖線下方或空白位在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。必要的說明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上由圖上A、B兩點可得被測電阻兩點可得被測電阻R為：為：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR至此一張圖才算完成至此一張圖才算完成不當(dāng)圖例展示不當(dāng)圖例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖圖圖1曲線太粗，不曲線太粗，不均勻，不光滑均

6、勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實線板等工具把實驗點連成光滑、驗點連成光滑、均勻的細(xì)實線。均勻的細(xì)實線。n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖改正為改正為：圖圖2I (mA)U (V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸以橫軸以3 cm 代表代表1 V，使作圖和讀圖都很困難。使作圖和讀

7、圖都很困難。實際在選擇坐標(biāo)分度值實際在選擇坐標(biāo)分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀的要求又便于作圖和讀圖，一般以圖，一般以1 mm 代表代表的量值是的量值是10的整數(shù)次冪的整數(shù)次冪或是其或是其2倍或倍或5倍。倍。I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線電學(xué)元件伏安特性曲線改正為：改正為：定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖圖3P(105Pa)t()60.00140.00100.00

8、o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)圖紙使用不當(dāng)。實際作圖時，實際作圖時，坐標(biāo)原點的讀坐標(biāo)原點的讀數(shù)可以不從零數(shù)可以不從零開始開始。定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正為：改正為：3、最小二乘法（線性回歸）、最小二乘法（線性回歸） 作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往帶有較大的任意性，所得的結(jié)果也常常因人而異，而且很難對它作進(jìn)一步的誤差分析，為了克服這些缺點，在數(shù)理統(tǒng)計中研究了直

9、線擬合問題，常用以“最小二乘法”為基礎(chǔ)的實驗數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線型的函數(shù)可以通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換而改寫成直線方程。 通過實驗，等精度地測得一組實驗數(shù)據(jù)（通過實驗，等精度地測得一組實驗數(shù)據(jù)（xi，yi，i =1，2n），）， 設(shè)此兩物理量設(shè)此兩物理量 x、y 滿足線性關(guān)系，且假定實驗誤差主要出現(xiàn)滿足線性關(guān)系，且假定實驗誤差主要出現(xiàn)在在yi上，設(shè)擬合直線公式為上，設(shè)擬合直線公式為 y =f(x)=a+bx，當(dāng)所測各當(dāng)所測各yi值與擬合值與擬合直線上各估計值直線上各估計值 f (xi)= a+bxi 之間偏差的平方和最小之間偏差的平方和最小，即，即 時，所得擬合公式即為時，所得擬合公式即為最佳經(jīng)驗公式最佳經(jīng)驗公式。據(jù)此有據(jù)此有解得解得min)()(22 iiiibxayxfys0)(2iibxayas0)(2iiixbxaybs22)(iiiiiixxnyxyxnanxanybii/)