第九章9.19.1.2余弦定理2019(秋)數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)人教B版(新教材)改題型

1、9.1.2余弦定理課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1 .掌握余弦定理及其變形形式，會(huì)運(yùn)用 余弦定理解斜三角形.2 .會(huì)運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量及幾 何計(jì)算后關(guān)白實(shí)際問題.會(huì)用向量推導(dǎo)余弦定理，提升數(shù)學(xué)邏輯 推理素養(yǎng)；運(yùn)用余弦定理及變形求解三 角形問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)知詆探究教材知識(shí)探究卜恬1竟引入美麗的千島湖湖形呈樹枝型，湖中大小島千余個(gè).在最高水位時(shí)擁有1 078座大于0.25平方千米的陸橋島嶼問題 已知兩島A與C, B與C之間的距離及夾角/ ACB,如何求A, B之間的 距離？提示用余弦定理.B新他梗理余弦定理的公式表達(dá)及語(yǔ)言敘述在這四個(gè)量余弦定理指的是三角形中的三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間

2、的關(guān)系,中知道其中三個(gè)量，即可求得第四個(gè)量，對(duì)任意三角形都適用余弦公式表a2 = b2 + c22bccos A, b2 = a2 + c2 2accos_B,定理達(dá)c2 = a2+ b2 2abcos_C語(yǔ)百敘述三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍推論b2 + c2a28s A-2bc ，a2 + c2 b28s B=2ac，a2 + b2c28s C=2ab教材拓展補(bǔ)遺微判斷1.勾股定理是余弦定理的特例.（，）2.當(dāng)b2+c2a2>0時(shí)， ABC為銳角三角形.（X）川一工人小“b2 + c2a2r 、，-提小 由余弦定理，知cos A= 一2b

3、C>0,所以 ABC中A為銳角，但B與C不確定，故三角形形狀不確定.3.在4ABC 中，若 cos A=cos B, WJ A=B.（，）微訓(xùn)練31 .一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和3,它們夾角的余弦值是一5,則二角形的另一5邊長(zhǎng)為.解析 設(shè)另一邊長(zhǎng)為 x,則 x2 = 52+32 2X5X 3X 3 =52, .” = 2013.5答案 2 132 .在4ABC 中，a=7, b = 4j3, c= Vl3,則ABC 的最小角為.解析.a>b>c,，C為最小角，,a2+b2c2 72+ （4g） 2（回）2 V3由余弦止理得 cos C2ab =2X7X4M3= 2 .又，0

4、<C< 九,. C = 6答案63 .在AABC 中，已知 a = 2,則 bcos C+ccos B 等于a2+b2 c2c2+a2 b2 2a2解析 bcos C+ccos B = b +c -z=h = a = 2.2ab2ac 2a答案 2微思考1 .利用余弦定理，可以解決哪幾類解三角形問題？提示 已知兩邊及其夾角解三角形；已知三邊求任一角；已知兩邊及其中 一邊的對(duì)角.2 .已知三角形三邊，如何判斷三角形形狀？提示 若最長(zhǎng)邊為a,判斷最長(zhǎng)邊a所對(duì)A A的余弦值的符號(hào)，即若b2 + c2a2>0, 則最大角A為銳角，所以為銳角三角形；若 b2 + c2a2=0,則為直角

5、三角形； 若b2+c2a2<0,則為鈍角三角形.課 堂互動(dòng)題主劑新題型一已知兩邊及一角解三角形用余弦定理都能解決【例11已知 ABC,根據(jù)下列條件解三角形：(1)b= 3, c= 3V3, B=30。；(2)a= 2, b=22, C=15°.解 法一 由余弦定理b2= a2 + c22accos B,得 32=a2+ (3V3)2- 2a X 3出X cos 30 , 0.a2 9a+ 18=0,得 a=3 或 6.當(dāng) a = 3 時(shí)，由于 b=3, .A= B = 30；(=120；6*1當(dāng)a = 6時(shí)，由正弦定理得sin A：90?、： 2 =1. b 3又。七 A<

6、;180； . .A= 90 ；( = 60： . .a=3, A= 30°, C=120°或 a = 6, A= 90°, C=60°. 法二 由正弦定理得sin c=csinB=b由 b<c,工=60 或 120 ；當(dāng) C = 60 時(shí)，A= 90°,由勾月£定理 a=、/b2 + c2 ="+ (3/3) 2 = 6;當(dāng)C=120時(shí)，A=30°, 4ABC為等腰三角形.二 a= b= 3. .a=6, A= 90°, C = 60°或 a=3, A= 30°, C=120&

7、#176;.由余弦定理，得 c2= a2+b22abcos C=84'/3, . c= V6 V2.asin C 1由正弦定理，得sin A= -n= 2,. b>a, .B>A,.A 為銳角，.=30°, B=135°.規(guī)律方法已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解.若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.【訓(xùn)練11在4ABC中，角A, B, C的

8、對(duì)邊分別為a, b, c,若a=3, b = 2,1cosA+B) =鼻，則c等于()3A.4B. .15C.3D. 17解析 由三角形內(nèi)角和定理可知1cos C cos (A + B) = 2, 3又由余弦定理得c2 = a2+ b2 - 2abcos C一一一 1 一= 9+42X3X 2X 3=17, 3c= 17.答案 D題型二已知三邊或三邊關(guān)系解三角形【例 2】(1)在4ABC 中，sin A : sin B ： sin C = 3 ： 2 ： 4,求 cos C;(2)在AABC 中，a=7, b=3, c= 5,求最大角和 sin C.解 (1)由正弦定理得：sin A : si

9、n B ： sin C= a ： b ： c= 3 ： 2 ： 4.設(shè) a = 3k, b = 2k, c=4k(k>0).9k2 + 4k2 16k21則 cos C= 2X3kx2k = - 4.(2) < a>c>b, , A 為最大角.b2 + c2a2 32 + 52 - 721由余弦定理得cos A= ovovc =o.2bc 2X3X523又0 <A<180 , .,.A=120 .sin A= sin 120 =勺,由正弦定理a c_ .sin A sin C'3得 sin C =csin A 5>< 25,3a =1=

10、14 .5.3因此最大角A 為 120 , sin C=t4T.規(guī)律方法 (1)已知三角形三邊求角時(shí)，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解.在用正弦定理求解時(shí)，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止產(chǎn)生增解或漏解.(2)若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊解三角形.【訓(xùn)練2】 在4ABC中，已知BC=7, AC = 8, AB = 9,試求AC邊上的中線解由余弦定理和條件，得AB2 + AC2BC2 92 + 8272 22 AB AC2X9X8 3設(shè)AC邊上的中線長(zhǎng)為x,由余弦定理，得2 AC2 ACx = 2 +AB 2 !2 ABcos A2- 3所以所求A

11、C邊上的中線長(zhǎng)為7.題型三判斷三角形形狀基本思路：將條件等式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系【例 3】 在 ABC 中，若(a ccos B)sin B=(bccos A)sin A,判斷 ABC 的形狀.解法一由正弦定理及余弦定理知，原等式可化為a2+c2 b2b2 + c2a2b-c；2bc a，整理得：(a2 +b2- c2)b2= (a2 + b2 c2)a2,a2+ b2c2= 0 或 a2= b2,故三角形為等腰三角形或直角三角形.法二 由正弦定理，原等式可化為(sin A sin Ccos B)sin B= (sin B sin CcosA)sin A,sin Bcos B=sin

12、 Acos A, sin 2B = sin 2A,又 A, BC(0,九) .2B = 2A 或 2B+2A=兀，A= B 或 A+B=2,故4ABC為等腰三角形或直角三角形規(guī)律方法 判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦 定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系, 從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀.【訓(xùn)練 3】 在zABC 中，若 b2sin2C+c2sin2B = 2b80S B cos C,試判斷 ABC 的形狀.解法一將已知等式變?yōu)?/p>

13、b2(1 cos2C) + c2(1 cos2B) = 2bccos Bcos C.由余弦定理，可得2 2 2 a2+ b2 c2 2 a2+c2 b2 b + c b , c , 2ab2aca2+b2c2 a2+c2 b2即 b2+c2(a2+”c2)：2(a2+c2-的24ab2 + c2=a2.ABC為直角三角形.a b c法二由正弦定理巾=擊=沅=雙R為AABC外接圓的半徑，將原式化為R2sin2Bsin2C= R2sin Bsin Ccos Bcos C.: sin Bsin Cw0, sin Bsin C = cos Bcos C,即 cos(B+C) = 0.v0 <B+

14、C<l80 ；B+C = 90°.；A=90°.ABC為直角三角形.題型四 正、余弦定理的綜合運(yùn)用要注意三角形本身隱含的性質(zhì)，如A+B+C=ti； sin(A+ B) = sin C等【例4】ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin B sin A sin CV3a+c=a+b，求角B.sin B sin A V3a+c解 由/TC-=及正弦定理知sin Ca+bb a V3a+ c=,c a+b整理得b2 a2 =#ac+ c2, 即 a2+c2 b2= 3ac.故由余弦定理可知a2+c2 b2 ASacJ38s B=2ac=a 2，一一一 51r又

15、BC (0,兀)所以B = .規(guī)律方法 余弦定理和正弦定理一樣，都是圍繞著三角形進(jìn)行邊角互化的.在解有關(guān)三角形的題目中注意選擇是應(yīng)用正弦定理， 還是余弦定理，必要時(shí)也可列方 程(組)求解.同時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要 抓住能利用某個(gè)定理的信息.【訓(xùn)練4】在4ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知a2c2= 2b,且 sin Acos C=3cos Asin C,求 b.解 法一 在 ABC 中，sin Acos C=3cosAsin C,則由正弦定理及余弦定理有:a +b cb2 + c2 a2a -=3 c,2ab2bc化簡(jiǎn)并整理得：2(

16、a2 c2)=b2.又由已知 a2c2=2b, . b=b2.解得b = 4或b= 0(舍).法二由余弦定理得：a2 c2 = b22bccos A.又 a2c2=2b, bw0.所以 b = 2ccos A+2.又 sin Acos C = 3cos Asin C,sin Acos C+ cos Asin C = 4cos Asin C,sin(A+ C) = 4cos Asin C,即 sin B = 4cosAsin C,b由正弦止理得sin B = csin C,故b=4ccos A.由解得b=4.核心素養(yǎng) ：|；一、素養(yǎng)落地1 .通過余弦定理的證明及變形應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)邏輯推理素

17、養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2 .利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形.(2)若已知兩邊和一邊的對(duì)角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.3 .當(dāng)所給的條件是邊角混合關(guān)系時(shí)，判斷三角形形狀的基本思想是：用正弦定理 或余弦定理將所給條件統(tǒng)一為角之間的關(guān)系或邊之間的關(guān)系.若統(tǒng)一為角之間的關(guān)系，則再利用三角包等變形化簡(jiǎn)找到角之間的關(guān)系；若統(tǒng)一為邊之間的關(guān)系， 則再利用代數(shù)方法進(jìn)行恒等變形、化簡(jiǎn)，找到邊之間的關(guān)系.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1 .在 ABC中，已知b2=ac且c= 2a,則cos B等于()1- 4A3- 482-4C.2-3D.解析 . b

18、2 = ac, c= 2a, .b2=2a2, b= V2a,a (X1 + X2) 2X1X2 (1 + cos A) =4. 答案4 + c2b2 a2+4a22a2 3cos B =二:2ac2a 2a 4.答案 B2 .在 ABC 中，若(a2+c2 b2)tan B = M3ac,則角 B 的值為()冗A.Z 6冗B.3C.6或 567cD. 3 237t解析由(a2 + c2 b2)tan B = d3ac 得a2 + c2b2 73cos b2ac=2sin B3 cos B,即8s B= 2而后，.sin B=i23.又BC（0,九）B = 3或 2f.答案 D3.在 ABC

19、中,AB = 5, AC = 3,BC=7,則AB AC等于（）A 15 A.萬c 15 B.-yr 1513 c. 2D.15AB2 + AC2BC2 解析“歧A= 2 ab AC52+3272=2X5X 312，15萬，故選B.Ab AC=AB|AC|cos /BAC = 5X3X -2答案 B 4.在 ABC中，已知A=60°,最大邊長(zhǎng)和最小邊長(zhǎng)恰好是方程 x2-7x+ 11 = 0的兩根，則第三邊的長(zhǎng)為 解析設(shè)最大邊為X1,最小邊為X2, 則 X1 + X2=7, X1X2=11,第三邊長(zhǎng)= 7x + x2 - 2x1x2cos A課后彳乍業(yè)鞏與提高基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1 .若

20、三條線段的長(zhǎng)分別為5, 6, 7,則用這三條線段（）A.能組成直角三角形B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形D.不能組成三角形解析 因5+6>7,故能組成三角形，又因三角形最大邊對(duì)應(yīng)的角的余弦值 cos 952 + 62 72 1=1>。，所以最大角為銳角，所以能組成銳角三角形2K 5 K65答案 B2 .如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為（5337A.而B.4C.5D.8解析 設(shè)頂角為C, ,l = 5c, .，a=b=2c, a2+b2c2 4c2 + 4c2 c2 7由余弦定理得:cos C= = " " " =二2a

21、b2X2cX 2c8.答案 D3.在 ABC 中，sin A : sin B ： sin C = 3 ： 2 ： 3,則 cos C 的值為()A.13B.-3C.4D.-4解析 根據(jù)正弦定理，得 a ： b ： c=sin A ： sin B ： sin C = 3 ： 2 ： 3,設(shè) a= 3k, b = 2k, c=3k(k>0).則有cos C =9k2 + 4k29k2 1-1 z 1 =二2X3kX2k 3.答案 A4 .如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形的形狀是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.由增加的長(zhǎng)度確定解析設(shè)原直角三角形三邊為a, b,

22、c,且a2+b2=c2,增加的長(zhǎng)度為x,則新三角形的三邊長(zhǎng)分別為a+x, b + x, c+x,且c+x所對(duì)的角最大. (a + x)2+ (b + x)2 (c+x)2 = a2+ b2 + 2x2 + 2(a + b)xc22cx x =2(a+ b c)x+ x2>0,c+ x所對(duì)的最大角為銳角，：新三角形為銳角三角形.答案 A5 .在4ABC 中，sin2A=C2cb,則4ABC 的形狀為()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形解析 : sin2號(hào)1 cos A c b二 cos A=一 cb2 + c2a2bca2+b2=c2,.ABC是直角三角形.答案

23、B二、填空題6 .在 ABC中，若a2+c2b2 = 43ac,則角B的值為.,一 ， 人、一E a2+c2-b2 Sac J3解析 根據(jù)余弦止理，得cos B = 二=07=0又BC(0,兀)所以B2ac 2ac 26.jt67 .在4ABC 中，若 a2b2=V3bc, sin C = 2*sin B,則 A=.解析 由sin C = 2#sin B,根據(jù)正弦定理，得c= 2，3b,代入a2 b2=J3bc,得a2b2 = 6b2,即 a2 = 7b2b2 + c2a2 b2 + 12b2 7b26b2 V3由余弦定理得8s A= c- = 2b 2強(qiáng)又.OvAv180 ；答案 3008

24、.在AABC 中，AB = 2, AC = 6, BC=1+也，AD 為邊 BC 上的高，則 AD 的 長(zhǎng)是BC2 + AC2AB2 、歷解析 v cos C=, C（0,九）2人BC人AC 乙sin C = +. AD = AC sin C = 3.解答題9 .如圖所示，在四邊形 ABCD中，ADXCD, AD = 10, AB= 14, /BDA= 60°, /BCD = 135°,求 BC 的長(zhǎng).解 在AABD 中，AD = 10, AB=14, /BDA=60°,設(shè) BD = x,由余弦定理, 得 AB2=AD2+ BD2-2AD BDcosZ BDA,

25、. 142= 102+x2 2X 10XCOS 60 ,即 x210x 96 = 0,解得 xi = 16, X2 = -6（舍去）,BD= 16.v ADXCD, /BDA = 60°, ./ CDB=30°.在ABCD中，由正弦定理得BCBDsin/CDB = sin/BCD'.Dn 16sin 30 o 反 .BC=品育=8也.10 .在 ABC中，acos A+bcos B=ccos C,試判斷三角形的形狀.石b2+c2-a2 斛由余弦止理知cos A= 2bc ,c2+a2 b2a2 + b2 ccos B=2ca ，cos C= 2ab ，b2+c2a2

26、c2+a2 b2c2a2 b2代入已知條件得 a7+b+c"一0,2bc2ca2ab通分得 a2(b2+ c2 a2) + b2(c2+ a2 b2) + c2(c2- a2 b2) = 0,展開整理得(a2b2)2 = c4a2 b2=ic2即 a2=b2+c2 或 b2 = a2+c2根據(jù)勾股定理的逆定理知 ABC是直角三角形.能力提升11在4ABC中，若a2=bc,則角人是（）A.銳角B.鈍角C.直角D.不確定3c241。一>0,又 0 < A< 180 ,2一 38求sin B的值.b2 + c2-所以 cos A= 2bc=2' -2-3- 2a一 2-b21 2cb2+c2 a2 b2 + c2bc b2解析 cos A=-一 =-=2bc2bc2bc.0