2019屆高考數(shù)學(xué)(理)沖刺大題提分(7)立體幾何建系困難問題(含答案),推薦文檔

1、1精選大題2019 長沙統(tǒng)測已知三棱錐 P ABC (如圖一)的平面展開圖(如圖二)中，四邊形 等于 2 的正方形，ABE和 BCF 均為正三角形，在三棱錐 P ABC 中:(1)證明：平面 PAC 平面 ABC ；弦值./ACI OB O, AC , OB 平面， PO大題精做立體幾何：建系困難問ABCD為邊長(2)若點 M在棱PA上運動，當(dāng)直線BM與平面 PAC 所成的角最大時，求二面角P BC M 的余【答案】見解析；(2) 333在PAC 中,在POB 中,PO1, OB 1 , PB 2 ,2 2 2PO OB PB , PO OB .平面 ABC ,2/ PO 平面 PAC , 平

2、面 PAC 平面 ABC .(2)由(1)知，BO PO , BO AC , BO 平面 PAC ,當(dāng) OM 最短時，即M是PA的中點時，BMO 最大.由 PO 平面 ABC , OB AC , PO1 1則 O 0,0,0 , C 1,0,0 , B 0,1,0 , A 1,0,0 , P 0,0,1 , M ,0,2 2Luuuuuuuin31BC 1, 1,0 , PC 1,0, 1 , MC ,0,設(shè)平面 MBC 的法向量為 mxi,y1,Z1,uuum BC 0 x1y10則由 uuuu 得：.令為 1，得 y11 , z13，即 m 1,1,3m MC 03x1Z10設(shè)平面 PBC

3、 的法向量為 nX2,y2,Z2,由uuu nBCuuu nPC0得:0X2y2X2Z20，令 x 1，得 y 1 ,z 1，即 n01,1,1 .cosn,mm n55 33由圖可知，二面角P BC M的余弦值為5 33m |n3333 .33BMO 是直線BM與平面 PAC 所成的角，且 tan BMOBOOM1OM于是以 OC , OB , OD 所在直線分別為x軸，y軸，z 軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系,OB , PO OC ,31. 2019 安慶期末矩形 ABCD 中，AB 1,AD 2，點E為AD中點，沿BE將AABE折起至PBE,如圖所示，點P在面 BCDE 的射影 O 落在BE

4、上.(1)求證：面 PCE 面PBE;(2)求平面 PCD 與平面PBE所成銳二面角的余弦值.42. 2019 南陽期末如圖 1,在矩形 ABCD 中，AB 3.5 , BC 2.5，點E在線段 DC 上，且 DE 5 ,現(xiàn)將AED沿AE折到AED的位置，連結(jié) CD ,BD，如圖 2.閹1闍25若點P在線段 BC 上，且 BP守，證明：AE正弦值.3. 2019 蘇州調(diào)研如圖，在四棱錐 P ABCD 中，已知底面 ABCD 是邊長為 1 的正方形，側(cè)面PAD平面 ABCD，PA PD，PA與平面 PBC 所成角的正弦值為 -21.7(2)記平面AD E與平面 BCD 的交線為 I .若二面角2

5、nB AE D為2，求|與平面DCE 所成角的36(1)求側(cè)棱PA的長；(2)設(shè)E為AB中點，若PA AB，求二面角 B PC E 的余弦值.1111571【答案】（1）詳見解析；（2）- 11【解析】（1）在四棱錐 P BCDE 中，BE CE .2 , BC 2，從而有 CE BE ,又IPO 面 BCDE，而 CE 面 BCDE ,二 CE PO，而 PO、BE面PBE，且POI由線面垂直定理可證 CE 面PBE，又 CE 面 PCE，由面面垂直判斷定定理即證面 PCE（2）由條件知 0P 面 BCDE，過點E做 0P 的平行線EZ，又由（1 ）知 EC 面PBE，以EB、EC、EZ分別

6、為x、y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:面PBE的一個法向量為 m 0,1,0，X 2y近00，則有22， 22Xy022設(shè)面 PCD 的法向量為 n2x,y,z從而可得面 PCD 的一個法向量為 n21, 1, 3，cos 厲，厲，n2111BE O,面uurCP2-2 w亍亍2,2，DC2 2，C 0, 2,0 ，11115811設(shè)平面 PCD 與平面PBE所成銳二面角為， 與小1小2.互補， 貝 U COS11故平面 PCD 與平面PBE所成二面角的余弦值為112.【答案】（1）詳見解析;(2)159【解析】 證明：（1）先在圖 1 中連結(jié)DP，在 Rt ADE 中，由 AD BC

7、 2 5 , DE .5 ,得 tan得 tan1DAE ，在 Rt PCD 中，由 DC AB 21小PDC , tan PDC tan DAE，則2PDCPC BCDAE ,BPDOE 90，從而有 AE OD , AE OP ,即在圖 2 中有 AEOD, AE OPAE平面 POD ，貝 UAE D P;再根據(jù)二面角定義得到解:uuuirDQ2nDOP在平面POD內(nèi)過點O作底面垂線，OA ,OP，及所作垂線為x軸、y軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,1,0,0,Q 11,0,0,C3,4,0,unrurnu1,3,EC2,4,0,ED 1,以 0 為原點，分別為11,1,3，則 D 0,

8、1, 3 , E設(shè)平面 D EC 的一個法向量為n x, y, z，由nnuniECLuurED2x4y 03z，取 y 1，得 n0 I 與平面 D CE 所成角的正弦值為3.【答案】（1）PA 1或 PA【解析】（1）取AD中點 0 ,又/平面PAD平面 ABCD , OP 平面 ABCD , OP又 ABCD是正方形， OAcos.n.nmuuiDQ|n|uumDQ15521/c、42；(2) -.67BC 中點M，連結(jié) OP , OM0P 平面PAD，平面PAD IOA , OP OM ,OM以 O 為原點 OA , OM , OP 為x,IPAPD, OP AD平面 ABCD AD ,y, z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz （如圖），107111則 A 2,0,0，D設(shè) P 0,0, c c 0丄丄, ,0,02uuu則 PBB2,1,ULUICB1,0,0設(shè)平面 PBC 的一個法向量為niX1, y1, Z1,則有1為y1cz12x10取 n 1，則 y1c，從而 n10,c,1 ,設(shè)PA與平面 PBC 所成角為ULUI/ PA2,0,/ sinuuucos PA, n1uuuPAuuflyPA n1n121，解得c2c2c 21PA 1或 PA 丄16（2）由（1）知，PAAB 1, PA 1 ,由（1）知，平面 PBC的一個法向量為 n1