2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和(1)學(xué)案新人教A版必修5

1、2.3 等差數(shù)列的前 n 項和(1)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路.2.經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特殊 到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思3熟練掌握等差數(shù)列的五個量ai,d,n，an，S的關(guān)系，能夠由其中三個求另外兩個.IT問題導(dǎo)學(xué)-知識點(diǎn)一等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)思考 高斯用 1+ 2+ 3 + + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (50 + 51) = 101X50 迅速求出了等差數(shù)列前 100 項的和.但如果是求 1 + 2+ 3 +n,不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項怎么 辦？答案 不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項導(dǎo)致不能配對.題： 設(shè) S= 1

2、 + 2 + 3 + + (n 1) +n,又 S=n+(n 1) + (n 2) + 2+ 1, 2S = (1 +n) + 2 + (n 1) + + (n 1) + 2 + (n+ 1), 2S=n(n+ 1),Sn=a1+a2+a3+an1+an=a1+ (a1+d) + (ai + 2d) + a1+ (n 2)d + a + (n 1)d；Sn=an+an1+an2+a2+a1=an+ (and) + (ai 2d) + an (n 2)d + an (n 1)d.兩式相加，得 2Sn=n(a1+an),根據(jù)等差數(shù)列的通項公式an=a1+ (n 1)d,代入上式可得S= na1+n

3、 nd.知識點(diǎn)二等差數(shù)列前n項和公式的特征思考 1 等差數(shù)列an中，若已知a2= 7,能求出前 3 項和S3嗎?思考 2 我們對等差數(shù)列的通項公式變形：an=a1+ (n 1)d=dn+(ad)，分析出通項公式但我們可以采用倒序相加來回避這個問Sn=n+ 12梳理“倒序相加法”可以推廣到一般等差數(shù)列求前n項和，其方法如下:由此可得等差數(shù)列an的前n項和公式S=a1+an2a1+a32=3Xa1+a32=3a2= 21.答案2n nId2d答案 按n的降幕展開Si=nai+d=-2n+ (ai 2)n是關(guān)于n的二次函數(shù)形式，且常數(shù)項為 0.梳理 等差數(shù)列an的前n項和 S,有下面幾種常見變形：a

4、i+and2d(2)s=2n+(ai)n；S ddSndn= jn+ (ai 2)(是公差為的等差數(shù)列)知識點(diǎn)三等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)思考如果an是等差數(shù)列，那么ai+比+aio,aii+ai2+a20,a2i+比2+a30是等差數(shù)列嗎？答案(aii+ai2+a2o) (ai+a2+aio)=(aiiai) + (ai2a2)+ (a2oaio)i=i0d+i0#+i0d iood,類似可得io 個(a2i+a22+ +a3o) (aii+ai2+ +a2o) i00d.ai+a2+aio,aii+ai2+a2o,a2i+a22+a3o是等差數(shù)列.梳理Sm,Sm,S3m分別為等差數(shù)列an的

5、前E項，前 2m項，前 3m項的和，則Sm,SmSm,2S3mSm也成等差數(shù)列，公差為Ed.(2)若等差數(shù)列的項數(shù)為*奇an2n(n N)，貝VSn=n(an+an+1)，且S偶一S奇nd,.S禺a(chǎn)n+1(3)若等差數(shù)列的項數(shù)為2ni(n N),則 $ni= (2n i)an，且S奇一S偶an,S奇nan,S偶(n i) an,S禺n i題型探究類型一等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用命題角度 i 方程思想與一次函數(shù)的關(guān)系你能類比這個思路分析一下Sn=nai+nd嗎？(1)3例 i 已知一個等差數(shù)列an的前 io 項的和是 3io,前 20 項的和是 i 220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和

6、的公式嗎？4解 方法一 由題意知So= 310,820= 1 220 ,將它們代入公式Sn=n ai+nJd,得到10+45d=310，20ai+ 190d= 1 220 ,sn=nx4+ Lx6=3n2+n.得820810= 60,.10d= 60,.d= 6,81= 4.n n 12.$=n81+d= 3n+n.2反思與感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的問題時，要注意方程思想和整體思想的運(yùn) 用；(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項和公式的元素有81,d,n,a, S,知其三能求其二.跟蹤訓(xùn)練 1 在等差數(shù)列8n中，已知d= 2,8n= 11, S= 35,求81和n.8n=81+n1 d,由tn

7、 n1$= n 81+- - -d,81+2n1= 11,命題角度 2 實(shí)際應(yīng)用例 2 某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為 1 150 元，購買當(dāng)天先付 150 元，以后 每月的這一天都交付 50 元， 并加付欠款利息， 月利率為 1%.若交付 150 元后的一個月開始算 分期付款的第一個月，則分期付款的第 10 個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電解方程a1= 4,d= 6.方法S0=1a1+a102=310?81+a10= 62,820=20a1+8202=1 220 ?81+820= 122,得丫n n 81+ 一n12X2=35,解方程n= 5,81= 35實(shí)際花費(fèi)多少錢

8、？6解 設(shè)每次交款數(shù)額依次為ai,a2,，a?。,則ai= 50 +1 000 x1%=60（元），a2= 50+ （1 000 50）X1%= 59.5（元）,ai0= 50 + （1 000 9X50）X1%= 55.5（元）,即第 10 個月應(yīng)付款 55.5 元.由于列是以 60 為首項，以一 0.5 為公差的等差數(shù)列,即全部付清后實(shí)際付款1 105 + 150= 1 255（元）.反思與感悟建立等差數(shù)列的模型時，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù)本題是根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練 2 甲、乙兩物體分別從相距70 m 的兩處同時相向運(yùn)動，甲第 1 分鐘

9、走 2 m,以后每分鐘比前 1 分鐘多走 1 m,乙每分鐘走 5 m.（1）甲、乙開始運(yùn)動后幾分鐘相遇？（2）如果甲、乙到達(dá)對方起點(diǎn)后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1 分鐘多走 1 m 乙繼續(xù)每分鐘走 5 m,那么開始運(yùn)動幾分鐘后第二次相遇？解（1）設(shè)n分鐘后第 1 次相遇，依題意，n n 12有 2n+ 5n=70,整理得n+ 13n 140 = 0.解之得n= 7,n= 20（舍去）.所以第 1 次相遇是在開始運(yùn)動后 7 分鐘.（2）設(shè)n分鐘后第 2 次相遇，依題意，亠n n 有 2n+5n=3X70,整理得n+ 13n 420= 0.解之得n= 15,n= 28（舍去）.所以第 2 次相遇是

10、在開始運(yùn)動后15 分鐘.類型二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用例 3（1）等差數(shù)列an的前m項和為 30,前 2m項和為 100,求數(shù)列an的前 3m項的和Sm兩個等差數(shù)列an , bn的前n項和分別為Sn和Tn，已知=，求咅的值.Tnn+ 3b5解（1）方法一 在等差數(shù)列中，所以有60土X20=1 105（元），7Sm,S2m-Sn,S3m-Sm成等差數(shù)列, 30,70 ,S3m 100 成等差數(shù)列.8 2X70=30+($m100),二S3m= 210.SmSmS3m方法二在等差數(shù)列中，-,亦,喬成等差數(shù)列，2$mSmS3m2m=m+3m即S3m=3(SamSm)=3x(10030)=210.

11、1a1+a9& 2b =廠2b1+be空a+a92gb1+be2Se7X9+2=T9= 9 + 365=反思與感悟等差數(shù)列前n項和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中,簡、化難為易、事半功倍的效果.跟蹤訓(xùn)練 3 設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和, 的前n項和，求Tn.解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,小1則Sn=na1+ ?n(n 1)d,TS7=7,Si5=75,7a1+ 21d= 7, 15a1+ 105d= 75,Ia1+ 3d= 1, 即|a1+ 7d= 5,a1= 2, 解得d= 1.Sn+1S1n+ 1n= 2,如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為已知&= 7,S15= 75,Tn

12、為數(shù)列弓Snn115a1+2(n1)d=2n2,9數(shù)列Sn是等差數(shù)列，其首項為2，公差為 1n n 11129Tn=nx(2)+2x2=4門4門當(dāng)堂訓(xùn)練1.在等差數(shù)列an中，若So= 120,則ai+aio的值是（A.12B. 24C. 36D. 48答案B解析由S。a；a10,So120得a1+a1o= 丁 = 24.552.記等差數(shù)列的前n項和為S，若S2= 4,S=20,則該數(shù)列的公差d等于（A.2B. 3C.6D. 7答案 BS= 2a1+d= 4,解析方法一由弋 cS= 4a1+ 6d= 20,解得d= 3.方法二 由S4S2=a3+a4=81+ 2d+a2+ 2d= S+ 4d,所

13、以 20 4 = 4+ 4d,解得d= 3.3 在一個等差數(shù)列中，已知a10= 10,則S9=_.答案 190=19a10=19x10=190.4.已知等差數(shù)列an中，31(1)a1=2，d= , S=15,求n及an；a1=1,an=512, S=1 022，求d.”31n n1解(1) Sn=nx+ ( 2)x2= 15,整理得n 7n 60= 0,解得n= 12 或n= 5(舍去)，解析$9=19a1+a192IJ810+810210ai2=2+(121)x(2)4.n= 12,an=ai2= 4.解得n= 4.又由= a+ (n- 1)d, 即一 512= 1 + (4 1)d, 解得

14、d= 171.廠規(guī)律與方法-11 求等差數(shù)列前n項和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到.2 .等差數(shù)列的兩個求和公式中，一共涉及a1，an，S, n，d五個量.若已知其中三個量，通過方程思想可求另外兩個量在利用求和公式時，要注意整體思想的應(yīng)用，注意下面結(jié)論的運(yùn)用：*若nun=p+q,貝Uan+am=環(huán) +aq（n,m,p,q N）；若n= 2p,貝Uan+am= 2ap.3 .本節(jié)基本思想：方程思想，函數(shù)思想，整體思想，分類討論思想.40 分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.在等差數(shù)列an中，若a2+a8= 8，則該數(shù)列的前 9 項和S9等于（）A.18B. 27C. 36D. 45答

15、案 C99解析89= 2(a1+ aa)=歹a2+a8) = 36.2 .在等差數(shù)列an中，若810= 485,則等于（）B.2(2)由S=nai+an2n 1-512 =21 022 ,1C.4D. 4答案A解析由題意得11伽計x10 x9d=4(5a1+x5x4d),11SB=9,SBSB=27,.SB S6= 45.a?+a8+a9=S S= 45.答案 B解析 a1= 2, d= 7,2 + (n 1)X7100,n15,n=14,S4=14X2+14X13X7=665.6 含 2n+ 1 項的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為2n+1A.-n2n答案 B 10ai+ 45d=

16、20ai+ 40d, 10a1= 5d,.弓=23.已知等差數(shù)列an中,22a3+a8+ 2a3a8= 9,且an0，貝ySo 為()A. 9B.11C.13D. 15答案 D解析 由al+al+ 2asa8得(a3+a8)= 9,-an200. n= 19 時，剩余鋼管根數(shù)最少，為10 根.& 1s?9 .設(shè) S 是等差數(shù)列an的前n項和，若S= 3，則垃=_答案 10、SB3a1+ 3d1解析萬法一 s=硏莎=3,- a1= 2d,S?15d12d+ 15d3= 12a1+ 66d= 24d+ 66d=方法二由|=3得Ss= 3S3.S3,S6SB, S9S6,B. 20D. 92

17、 m- 1ai +a2m12=38,14S12-S9仍然是等差數(shù)列， 公差為（S6 S3） S = S , 從而S S= S+2S3= 3SB?S9= 6S3,S12Ss=S3+3S3=4S3?82=I0S3,.S63S=10.10.設(shè)S為等差數(shù)列an的前n項和，若SB= 3,S= 24,答案 15解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,3x2則S3= 3ai+d= 3ai+ 3d= 3,即ai+d= 1,6x5S6= 6ai+ 2d= 6ai+ 15d= 24,即 2ai+ 5d= 8.ai+d= 1,由*2a + 5d= 8,a1= 1, 解得|d= 2.故a9=a1+8d= 1+8x2=15.三、解答

18、題11. 已知等差數(shù)列an的前三項依次為a,4,3a，前k項和解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, a+3a=2x4,d= 4 a則由題意得,k k1ka+d= 2 550 ,a=2,.d= 2,（注：k= 51 舍）k= 50,a= 2,k= 50.12. 一個等差數(shù)列的前 10 項和為 100,前 100 項和為 10, 解 方法一 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn, 則Sn=na1+山d.Sk= 2 550，求a及k.求前 110 項之和.1510X910ai+ d= 100,由已知得100X99| 100ai+2d= 10.100=110.故此數(shù)列的前 110 項和為一 110.方法二 設(shè)Sn=an2+bn.S10= 100,$00= 10 ,r 210a+ 10b= 100, 0./a3+a4=a2+as= 22,又a3a4= 117,X10，整理得11d=50,代入，得1 099a1=100-S1o= 11