第2章信號及其描述

1、第2章信號及其描述21 知識要點211 信號的分類及描述1信號有哪些類型？(1) 按信號隨時間的變化規(guī)律分類。(2) 按信號幅值隨時間變化的連續(xù)性分類。(3) 按信號的能量特征分類。2什么是確定性信號與隨機信號？各有哪幾種類型？其含義是什么？能明確地用數(shù)學關系式描述隨時間變化關系的信號稱為確定性信號。無法用明確的數(shù)學關系式表達的信號稱為非確定性信號，又稱為隨機信號。確定性信號又可分為周期信號和非周期信號。按一定時間間隔周而復始出現(xiàn)的信號稱為周期信號，否則稱為非周期信號。隨機信號可分為平穩(wěn)隨機信號和非平穩(wěn)隨機信號兩種。平穩(wěn)隨機信號是指其統(tǒng)計特征參數(shù)不隨時間而變化的隨機信號，否則為非平穩(wěn)隨機信號。

2、在平穩(wěn)隨機信號中，若任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征等于該隨機過程的集合平均統(tǒng)計特征，這樣的平穩(wěn)隨機信號稱為各態(tài)歷經(jīng)（遍歷性）隨機信號，它表明一個樣本函數(shù)表現(xiàn)出各種狀態(tài)都經(jīng)歷的特征，有充分的代表性，因此只要一個樣本函數(shù)就可以描述整個隨機過程。3什么是連續(xù)信號與離散信號？什么是模擬信號和數(shù)字信號？在一定時間間隔內，對任意時間值，除若干個不連續(xù)點（第一類間斷點）外，都可給出確定的函數(shù)值，即時間變量t是連續(xù)的，此類信號稱為連續(xù)信號。連續(xù)信號的幅值可以是連續(xù)的，也可以是離散的，若時間變量和幅值均為連續(xù)的信號稱為模擬信號。在一定的時間間隔內，只在時間軸的某些離散點給出函數(shù)值，此類信號稱為離散信號。離散

3、信號又可分為兩種：時間離散而幅值連續(xù)的信號稱為采樣信號；時間離散且幅值離散（量化）的信號稱為數(shù)字信號。4什么是能量信號與功率信號？當信號滿足，則認為信號的能量是有限的，稱之為能量有限信號，簡稱能量信號。若信號在區(qū)間的能量是無限的，即，但它在有限區(qū)間的平均功率是有限的，即這種信號稱為功率有限信號，簡稱功率信號。5信號的描述方法有哪些？各有何意義？信號的描述方法有時間域（簡稱時域）、頻率域（簡稱頻域）、幅值域和時延域。用信號的幅值隨時間變化的函數(shù)或圖形來描述信號的方法稱為時域描述；把時域信號通過數(shù)學處理變成以頻率（或角頻率)為獨立變量，相應的幅值或相位為因變量的函數(shù)表達式或圖形來描述，這種描述信號

4、的方法稱為信號的頻域描述。信號的幅值域描述是以信號幅值為自變量的信號表達方式。以時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)來同時描述信號在不同時間和頻率的能量密度或強度，稱為信號的時延描述。時域描述是信號最直接的描述方法，它反映了信號的幅值隨時間變化的過程，從時域描述圖形中可以知道信號的時域特征參數(shù)，即周期、峰值、均值、方差、均方值等。它們反映了信號變化的快慢和波動情況，因此時域描述比較直觀、形象、便于觀察和記錄。頻域描述可以揭示信號的頻率結構，即組成信號的各頻率分量的幅值、相位與頻率的對應關系，因此在動態(tài)測試技術中得到廣泛應用。信號的幅值域描述反映了信號中不同強度幅值的分布情況，常用于隨機信號的統(tǒng)計分析。由于隨機

5、信號的幅值具有隨機性，通常用概率密度函數(shù)來描述。信號的時延描述是非平穩(wěn)隨機信號分析的有效工具，可以同時反映時間和頻率信息，揭示非平穩(wěn)隨機信號所代表的被測物理量的本質，常用于圖像處理、語音處理、醫(yī)學、故障診斷等信號分析中。212 周期信號與離散頻譜1狄利克雷(dirichlet)條件是什么？(1)信號在一個周期內只有有限個第一類間斷點(當從左或右趨向于這個間斷點時，函數(shù)有左極限值和右極限值)；(2)信號在一周期內只有有限個極大值或極小值；(3)信號在一個周期內是絕對可積分的，即應為有限值。2周期信號傅立葉級數(shù)有哪幾種表示形式？如何用公式表示？周期信號傅立葉級數(shù)有三角函數(shù)表達式和復指數(shù)表達式。三角

6、函數(shù)表達式為： （2-1）式中，為信號的常值分量，。為信號的余弦分量幅值，。為信號的正弦分量幅值，。為信號的周期；為信號的基頻，即角頻率，n=1,2,3為信號的幅值，；為信號的初相位角，。復指數(shù)表達式為： （2-2） （2-3）3周期信號的頻譜有什么特點？常見周期信號如何進行時域和頻域描述？周期信號的頻譜具有以下特點：(1) 離散性，頻譜圖中，每根譜線代表一個諧波成分，譜線的高度代表該諧波成分的幅值大小。(2) 諧波性，每條譜線只有在其基頻整數(shù)倍的離散點頻率處才有值。(3) 收斂性，諧波分量的幅值按各自不同的規(guī)律收斂。常見周期信號主要有正弦信號、余弦信號、三角波信號、方波信號、鋸齒波信號和余弦

7、全波整流信號，它們的時域和頻域描述如表2-1所示。4周期信號的強度指標有哪些？如何用公式表示？周期信號的強度通常是以峰值、絕對值、有效值和平均功率來表述。峰值用于描述信號在時域中出現(xiàn)的最大瞬時幅值，是指波形上與零線的最大偏離值，峰-峰值是信號在一個周期內最大幅值與最小幅值之差。周期信號中的均值是指信號在一個周期內幅值對時間的平均，周期信號全波整流后的均值稱為信號的絕對均值，信號中的有效值就是均方根值，有效值的平方，也就是說均方值就是信號的平均功率。公式表示如式（2-4）和式（2-5）所示。表2-1常見周期信號時域描述及頻譜圖名稱及時域表達式時域波形幅頻譜相頻譜正弦余弦方波三角波鋸齒波余弦全波整

8、流， （2-4）， （2-5）213 瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜1傅立葉變換及其反變換的表達式是什么？傅立葉變換的表達式為：或 （2-6）傅立葉反變換的表達式為：或 （2-7）2傅立葉變換有哪些主要性質？傅立葉變換主要性質如表2-2所示。表2-2傅立葉變換主要性質性 質時 域頻 域性 質時 域頻 域函數(shù)的奇偶虛實性實偶函數(shù)實偶函數(shù)頻移實奇函數(shù)虛奇函數(shù)翻轉虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)共軛虛奇函數(shù)實奇函數(shù)時域卷積線性疊加頻域卷積對稱時域微分尺度改變頻域微分時移積分函數(shù)下面積巴塞伐爾定理3典型信號有哪些？它們的頻譜是什么？用圖形表示。典型信號主要有單位脈沖信號、單位直流信號、單位階躍信號、單位符號函數(shù)信號、單位斜

9、坡信號、方波信號、正弦信號、余弦信號等，它們的頻譜及其圖形如表2-3所示。表2-3 典型信號及其頻譜時域圖信號名稱頻譜頻譜圖單位脈沖1單位直流1單位階躍單位符號函數(shù)非周期方波單邊指數(shù)周期正弦周期余弦復雜周期信號周期單位脈沖序列單位斜坡單邊正弦衰減正弦取樣函數(shù)4非周期信號頻譜有何特點？（1）非周期信號可分解成許多不同頻率的正弦、余弦分量之和，但它包含了從零到無窮大的所有頻率分量。（2）非周期信號的頻譜是連續(xù)的。（3）非周期信號的頻譜由頻譜密度函數(shù)來描述，表示單位頻寬上的幅值和相位（即單位頻寬內所包含的能量）。（4）非周期信號頻域描述的數(shù)學基礎是傅立葉變換。214 隨機信號1描述各態(tài)歷經(jīng)隨機信號的

10、主要特征參數(shù)有哪些？各有何作用？(1) 均值、方差、均方值：描述信號強度方面的特征。(2) 概率密度函數(shù)：描述信號在幅值域中的特征，提供隨機信號沿幅值域分布的信息；(3) 自相關函數(shù)：描述信號在時域中的特征。(4) 功率譜密度函數(shù)：描述信號功率密度沿頻率軸的分布。(5) 聯(lián)合概率密度函數(shù)：描述兩個或兩個以上各態(tài)歷經(jīng)隨機信號在幅值域中的特征。(6) 互相關函數(shù)：描述兩個或兩個以上各態(tài)歷經(jīng)隨機信號之間的相互依賴程度。(7) 互譜密度函數(shù)：描述相關信號的功率密度沿頻率軸的分布。(8) 相干函數(shù)：描述兩個或兩個以上信號之間的因果性和相干性。2隨機信號的均值、方差、均方值含義是什么？用公式表示。均值表示

11、信號的常值分量，各態(tài)歷經(jīng)信號的均值為： （2-8）式中，為樣本函數(shù)；T為觀測時間。方差描述隨機信號的波動分量(交流分量)，它是偏離均值的平方的均值，即 （2-9）隨機信號的強度可以用均方值來描述，它是平方的均值，代表隨機信號的平均功率，即 （2-10）若將均方值開根號，就為均方根值，也稱為有效值，即 （2-11）均值、方差和均方值之間的關系為： （2-12）3什么叫概率密度函數(shù)？用公式表示。隨機信號的概率密度函數(shù)表示信號幅值落在指定區(qū)間內的概率。信號的幅值落在區(qū)間內的時間為，隨機信號的概率密度函數(shù)為 （2-13）22 例題解析【例2.1】周期性三角波時域表達式如式2-14所示，時域圖如圖2.1

12、所示，試求其傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式及其頻譜，式中周期為，幅值為A。 （2-14）圖2.1 周期三角波信號解：由于為偶函數(shù)，故正弦分量幅值，而常值分量和余弦分量幅值分別為：當時，；當時，；當時，時；當時，；當時，；周期性三角波的傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式為：其三角函數(shù)展開式頻譜圖如圖2.2所示。圖2.2周期三角波的頻譜【例2.2】周期方波如圖2.3所示，分別用傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式和復指數(shù)展開式求頻譜，并作頻譜圖。圖2.3周期方波解：周期方波在一個周期內的時域表達式為： （2-15）利用傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式求其幅、相頻特性。因該函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間積分值為0，所以 因此有

13、： （2-16）根據(jù)式（2-16），幅頻譜如圖2.4所示。幅頻譜只包含基波和奇次諧波的頻率分量，且諧波幅值以1/n的規(guī)律收斂；相頻譜中各次諧波的初相位均為零。 圖2.4周期方波頻譜圖利用傅立葉復指數(shù)函數(shù)展開式求其幅、相頻特性，周期方波傅立葉級數(shù)指數(shù)展開式頻譜圖和相頻圖如圖2.5所示。圖2.5周期方波雙邊頻譜圖解析：三角函數(shù)展開形式的頻譜是單邊譜(從0到)；復指數(shù)展開形式的頻譜是雙邊譜(從-到)，而且兩種形式的幅頻譜圖有確定的關系三角函數(shù)展開式中次諧波分量，在復指數(shù)展開式中為兩項(與共軛,即，且)，雙邊幅頻譜為偶函數(shù)，雙邊相頻譜為奇函數(shù)?！纠?.3】矩形窗函數(shù) 時域表達式如式2-17所示，時域圖

14、如圖2.6所示，求其頻譜并作頻譜圖 （2-17）圖2.6矩形窗函數(shù)解：利用傅立葉變換求其頻譜為：幅值頻譜為其相頻譜為矩形窗函數(shù)的幅頻圖如圖2.7(a)所示，相頻圖如圖2.7(b)所示。(a) 幅頻圖 (b) 相頻圖圖2.7 窗函數(shù)的頻譜解析：矩形窗函數(shù)在時域中有限區(qū)間取值，但頻域中頻譜在頻率軸上連續(xù)且無限延伸。由于實際工程測試總是時域中截取有限長度(窗寬范圍)的信號，其本質是被測信號與矩形窗函數(shù)在時域中相乘，因而所得到的頻譜必然是被測信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜在頻域中的卷積，所以實際工程測試得到的頻譜也將是在頻率軸上連續(xù)且無限延伸。【例2.4】余弦信號如圖2.8（a）所示，窗函數(shù)如圖2.8（b）

15、所示，求被截取后的余弦信號如圖2.8(c)所示的頻譜函數(shù)，該信號時域的表達式如式（2-18）所示，示意畫出該截取信號的幅頻圖，試分析當增大或減小時，幅頻圖有何變化。 （2-18）解法1：令則而由傅立葉變換的卷積性質、函數(shù)與其他函數(shù)的卷積特性可得所以、和的頻譜示意圖如圖2.8(d)(f)所示。又由傅立葉變換的時間改變特性可知，當增加時，其頻譜將變窄，即頻帶寬度以為中心變窄，而幅值將增高；若減小時，則與上述情況相反。 (a) 余弦信號 (b) 窗函數(shù) (c) 被截取后的余弦信號 (d) 余弦信號的幅頻圖 (e) 窗函數(shù)的幅頻圖 (f) 被截取的余弦信號的幅頻圖圖2.8 余弦函數(shù)被窗函數(shù)截取的信號及

16、其頻譜解法2：在范圍內，滿足狄利克雷條件，則有解析：截斷就是將無限長的信號乘以有限寬的窗函數(shù)，即，因為和為特殊函數(shù)，其傅立葉變換和都為已知，所以由傅立葉變換的卷積性質和函數(shù)與其他函數(shù)的卷積性質，就可方便地求出。第二種解法雖然可直接求得結果，但積分比較復雜，而第一種方法解題過程簡單，既避免了繁雜的純數(shù)學運算，又可加深對信號定義、傅立葉變換性質以及典型信號頻譜的理解與掌握，通過靈活地運用各基本概念，使解題時思路開闊?！纠?.5】信號的傅立葉變換為，其圖形如圖2.9(a)(b)所示。試求函數(shù)的傅立葉變換，并畫出其圖形。 (a) 時域信號x(t) (b) x(t)的幅頻圖(c) f(t)的幅頻圖圖2.

17、9 信號x(t)及其頻譜解：該題為求兩個信號相乘后的頻譜及其圖形，根據(jù)余弦函數(shù)的頻譜函數(shù)和傅立葉變換的卷積性質可方便地求出結果。由于則而所以的圖形如圖2.9(c)所示。解析：由上述計算過程可知，為了使解題過程簡單明了，熟悉和靈活應用基本概念、性質及典型函數(shù)的傅立葉變換結果是非常重要的?！纠?.6】求符號函數(shù) 如圖2.10(a)所示和單位階躍函數(shù)如圖2.11(a)所示的頻譜。解法1：(1)因為符號函數(shù)不滿足絕對可積條件，但卻存在傅立葉變換，為廣義傅立葉變換，可以把符號函數(shù)看作為雙邊指數(shù)衰減函數(shù)如式所示： （2-19）其傅立葉變換為： 其幅值譜為：，相位譜為： 圖2.10(b)所示為符號函數(shù)的幅值

18、譜和相位譜圖(a) (b)圖2.10符號函數(shù)及其頻譜(2)階躍函數(shù)可表示為：由于，所以階躍函數(shù)的頻譜為：階躍函數(shù)的頻譜圖如圖2.11(b)所示，相頻特性當，當，。X() 圖2.6.5 階躍信號頻譜0(a) (b)圖2.11階躍信號的頻譜解法2：由于符號函數(shù)的導數(shù)為，根據(jù)式傅立葉變換的微分性質有：，而，所以，從而可得符號函數(shù)的傅立葉變換為：由于單位階躍信號不滿足絕對可積條件，不能直接由定義式給出其頻譜，可把它看成當時的指數(shù)信號在時域上的極限，其頻譜為的頻譜在時的極限。單邊指數(shù)信號在時域上可表示為如圖2.12（a）所示其傅立葉變換為其幅度譜、相位譜分別為，頻譜圖如圖2.12（b）、（c）所示。把單

19、邊指數(shù)信號的頻譜分解為實頻與虛頻兩部分，有設當時，實頻和虛頻的極限分別為和為，有而，可以看出，為一種脈沖函數(shù)，且，并有因此階躍信號的頻譜為x(t)圖2.12單邊指數(shù)信號及其頻譜(a) (b) (c) X()()11/20t0t0-/2解析：符號函數(shù)可以看作用來切換極性的開關函數(shù)，它是由不同極性的階躍信號（單邊直流信號）組成，由于存在極性的跳變，因而不僅具有豐富的低頻分量，還有高頻分量。單位階躍信號的幅頻特性在有個沖激，說明主要成分為直流，另外由于有突跳，所以在還存在其它頻率成分，不過隨著頻率的增加而較快的衰減?！纠?.7】一時間函數(shù)及其頻譜函數(shù)圖如圖2.13所示，已知函數(shù)，設 為中最高頻率分量

20、的角頻率，試畫出和的示意圖形，當時，的圖形會出現(xiàn)什么樣的情況？ (a) 的時域波形 (b) 的頻譜圖2.13 的時域波形及其頻譜解：的圖形如圖2.14(a)所示，為余弦信號，其頻譜如圖2.14(b)所示，根據(jù)脈沖信號和傅立葉卷積特性，的頻譜如圖2.14(c)所示，當時，兩邊圖形在中間位置發(fā)生混疊，導致失真，如圖2.14(d)所示。 (a) 的時域波形 (b) 的頻譜 (c) 的頻譜 (d) 時的的頻譜圖2.14及其頻譜【例2.8】求正弦信號（）的絕對均值和均方根值。解：【例2.9】求余弦信號的均值、均方值和概率密度函概數(shù)。解：對周期信號，只取一個周期分析，該信號周期為，均值均方值概率密度函數(shù)為

21、余弦信號為周期信號，其概率密度函數(shù)等于一個周期內該信號概率密度函數(shù),當時，而，所以從而可得【例2.10】已知周期方波的傅立葉級數(shù)如式（2-20）所示，求該方波的均值、頻率組成及各頻率的幅值，并畫出頻譜圖。 （2-20）解：由所給傅立葉級數(shù)知：，所示均值由等頻率的余弦信號組成，對應于頻率的幅值是，按所給級數(shù)形式，可畫出單邊頻譜圖如圖2.15所示： 幅頻譜圖 相頻譜圖圖2.15周期方波的頻譜23 習題1判斷題2-1兩個周期比不等于有理數(shù)的周期信號之和是周期信號；2-2所有隨機信號都是非周期信號；2-3所有周期信號都是功率信號；2-4所有非周期信號都是能量信號；2-5模擬信號的幅值一定是連續(xù)的；2-

22、6離散信號就是數(shù)字信號。2-7凡頻譜是離散的信號必然是周期信號。2-8滿足狄氏條件的周期信號可以用傅氏級數(shù)展成余弦信號和的形式。2-9任何周期信號都由頻率不同，但成整倍數(shù)的離散的諧波疊加而成。2-10周期信號的頻譜是離散的，非周期信號的頻譜也是離散的。2-11周期單位脈沖序列的頻譜仍為周期單位脈沖。2-12非周期信號是周期為無窮大的周期信號。2-13非周期變化的信號就是隨機信號。2-14單邊頻譜和雙邊頻譜是信號等價的描述方法。2-15脈沖信號的頻譜等于常數(shù)。2-16非周期信號的幅值譜表示的是其幅值譜密度與時間的函數(shù)關系。2-17非周期信號不是確定性信號。2-18周期信號各次諧波的頻率只能是基波

23、頻率的整數(shù)倍。2-19周期信號的諧波分量是依一定規(guī)律集中在一些離散的頻率上，非周期信號則是依一定密度分布在到無窮的連續(xù)頻帶內。2-20各態(tài)歷經(jīng)隨機過程是平穩(wěn)隨機過程。2選擇題2-21描述周期信號的數(shù)學工具是 。A.相關函數(shù)；B.傅氏級數(shù)；C.拉氏級數(shù)；D.傅氏變換2-22如果一個信號的頻譜是離散的，則該信號頻率成分是 。A.有限的；B.無限的； C. 可能是有限的，也可能是無限的 2-23描述非周期信號的數(shù)學工具是 。A.三角函數(shù)；B.拉氏變換；C.傅氏變換；D.傅氏級數(shù)2-24連續(xù)非周期信號的頻譜是 。A. 離散、周期的；B. 離散、非周期的；C.連續(xù)、非周期的；D. 連續(xù)、周期的2-25時

24、域信號持續(xù)時間壓縮，則頻域中低頻成分 。A.不變；B.增加；C.減少；D.變化不定2-26時域信號持續(xù)時間延長，則頻域中高頻成分 。A.不變；B.增加；C.減少；D.變化不定2-27任意函數(shù)和函數(shù)的卷積，就是 。A將該函數(shù)在自己的橫軸上分散到函數(shù)所對應的位置 ；B將該函數(shù)在自己的橫軸上平移到函數(shù)所對應的位置 ；C將函數(shù)平移到該函數(shù)所對應的位置；D將函數(shù)分散到該函數(shù)所對應的位置2-28將時域信號進行時移，則頻域信號將會 。A.擴展；B.壓縮；C.不變；D. 僅有相移2-29不能用確定的函數(shù)關系描述的信號是 。A.復雜周期信號；B.瞬態(tài)信號；C.隨機信號；D.離散信號2-30平穩(wěn)隨機過程必須是 。

25、A.連續(xù)的；B.各態(tài)經(jīng)歷的；C.集合平均統(tǒng)計特征與時間無關；D.時間平均統(tǒng)計特征等于集合平均統(tǒng)計特征2-31概率密度函數(shù)是在 域、相關函數(shù)是在 域上來描述的隨機信號。A.時間；B.空間；C.幅值；D.頻率2-32周期性單位脈沖序列在數(shù)學上具有 功能，因此又稱 函數(shù)。A.提取，周期間隔；B.采樣，等間隔；C.采樣，等間隔周期；D.采樣 采樣2-33隨機信號的靜態(tài)分量在數(shù)學上用 表示。A.均值；B.均方值；C.均方差；D.均方根值2-34表示隨機信號中動態(tài)分量的統(tǒng)計參數(shù)是 。A.均方值；B.均值；C. 均方差；D.概率密度函數(shù)2-35傅立葉級數(shù)中的各項系數(shù)表示個諧波分量的 。A.相位；B.周期；C

26、.振幅；D.頻率 2-36如果,根據(jù)傅立葉變換的 性質，則有。A.時移；B.頻移；C.相似；D.對稱2-37瞬變信號的頻譜為，則表示 。A.信號的一個頻率分量的能量；B.信號沿頻率軸的能量分布密度；C.信號的瞬時功率； D.信號的均方值 2-38已知，為單位脈沖函數(shù)，則積分的函數(shù)值為 。A.5；B.0；C.10；D.任意值 2-39如果信號分析設備的通頻帶比磁帶記錄下的信號頻帶窄，將磁帶記錄儀的重放速度 ，則也可以滿足分析要求。A.放快；B.放慢；C.反復多放幾次；D.不變2-40數(shù)字信號的特征是 。A.時間上離散、幅值上連續(xù)；B.時間、幅值上均離散；C.時間、幅值上都連續(xù)；D.時間上連續(xù)、幅

27、值上量化3填空題2-41確定信號可分為_和_兩類，前者頻譜具有的特點是_，后者的頻譜具有特點是_。2-42信號的有效值又稱_；有效值的平方稱_，它反映信號的_。2-43余弦函數(shù)只有 圖，其圖形關于 對稱，正弦函數(shù)只有 圖，其圖形關于 對稱。2-44工程中常見的周期信號，其諧波幅度總的趨勢是隨著_而_的，因此，在頻譜分析中，沒有必要取那些_的諧波分量。2-45在某周期方波信號的傅立葉級數(shù)式：和周期三角波信號的傅立葉級數(shù)式：中，信號的直流分量分別是_和_，方波信號的幅值收斂速度比三角波信號_，疊加復原達到同樣的精度要求時，方波信號比三角波信號需要更多的_，因此對測試裝置要求更寬的_。2-46繪制周

28、期信號的單邊頻譜圖依據(jù)的數(shù)學表達式是 ，而雙邊頻譜圖的依據(jù)數(shù)學表達式是 。2-47周期信號的傅氏三角級數(shù)是從 到 展開的，傅氏復指數(shù)級數(shù)是從 到 展開的。2-48動態(tài)信號的描述可在不同的域中進行，它們分別是 、 和 。2-49非周期信號時域和頻域對應的關系式為= ；= 。2-50若時間信號的傅立葉變換時，則的傅立葉變換是 （k>0）。2-51對于非周期信號，當時間尺度在壓縮時，則其頻譜頻帶_，幅值_，例如將記錄磁帶_，即是例證。2-52單位脈沖函數(shù)與在點連續(xù)的模擬信號有積分式=_，這個性質稱為_。2-53 為有限值時，稱為 信號。所以瞬變信號屬于 ，而周期信號則屬于 。2-54已知傅氏變

29、換對和，當時，則 。2-55窗函數(shù)的頻譜是，則延時后的窗函數(shù)的頻譜是 。2-56周期信號與瞬態(tài)信號都可以用 來表示。周期量的頻譜和瞬態(tài)量的頻譜區(qū)別在于：前者是 ，后者是 。周期量的幅值譜的縱坐標表示 ，瞬態(tài)量的幅值譜的縱坐標表示的是 。2-57單位脈沖函數(shù)的頻譜為 ，它在所有的頻段上都是 的。2-58均方差表示信號的_，方差表示信號的_。2-59隨機信號的概率密度函數(shù)是 ，它提供了 的信息。2-60在平穩(wěn)隨機過程中，若任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特性等于該過程的集合平均統(tǒng)計特性，則該過程叫_。4問答題2-61判斷下列信號是否是周期的，如果是周期的，確定其最小周期。（1）；（2）；（3）；（4

30、）；2-62試指出下列信號哪些為能量信號？哪些為功率信號？或者兩者都不是，哪些是周期信號？若為周期信號，試確定其周期。；。2-63粗略繪出下列各函數(shù)的波形（1）；（2）；（3）。2-64粗略繪出下列各函數(shù)波形(1)；(2)；(3)。2-65分別指出下列波形的直流分量是多少？（1）全波整流；（2）；（3）；（4）。2-66試指出是下面哪一種運算的結果：（1）左移6；（2）右移6；（3）左移6；（4）右移6；（5）左移2；（6）右移2；（7）左移2；（8）右移2。2-67什么是單位脈沖函數(shù)？有什么特性？如何求其頻譜？2-68正弦信號有何特點？如何求其頻譜？2-69如何求余弦信號的頻譜？2-70什么

31、是單位斜坡信號？如何求其頻譜？2-71什么叫直流信號？如何求其頻譜？有何特點？2-72求指數(shù)函數(shù)的頻譜和雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜。2-73什么是周期單位脈沖序列函數(shù)？如何求其頻譜？2-74試求圖2.16所示三個矩形脈沖信號的頻譜，設脈寬為，脈沖重復間隔為。圖2.16三個矩形脈沖信號2-75 求指數(shù)衰減振蕩信號的頻譜。2-76周期矩形脈沖信號的波形如圖2.17所示，并且已知，試求該信號頻譜中的譜線間隔和信號帶寬。圖2.17周期矩形脈沖信號2-77什么是白噪聲信號？有何特點？舉例說明2-78什么叫信號的頻帶寬度？如何確定？2-79什么叫一維正態(tài)分布隨機信號？其概率密度曲線有何特點？2-80什么叫樣本參數(shù)

32、、參數(shù)估計和統(tǒng)計采樣誤差？5分析與計算題2-81從示波器光屏中測得正弦波圖形的“起點”坐標為（0，-1），振幅為2，周期為4，求該正弦波的表達式。2-82設有一組合復雜信號，由頻率分別微724，44，500，600的同相正弦波疊加而成，求該信號的周期。2-83已知一連續(xù)時間信號如圖2.18所示，試概略地畫出信號的波形圖。圖2.18連續(xù)時間信號圖2-84利用函數(shù)的抽樣性質，求下列表示式的函數(shù)值：（1）；(2)；(3)；（4）；(5);(6)2-85鋸齒波信號如圖2.19所示，求其傅立葉級數(shù)展開。圖2.19鋸齒波信號2-86求圖2.20中周期方波的三角函數(shù)形式的傅立葉級數(shù)和復指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。

33、圖2.20 周期方波-T/2-T/40T/4T/2x(t)t1-12-87求周期矩形脈沖信號的頻譜，作出頻譜圖并進行分析。設該周期矩形脈沖幅度為E，脈寬為，周期為T。如圖2.21所示。圖2.21 周期矩形脈信號沖信號TE0-T/2-TT/2t-/2/22-88求正弦信號的單邊、雙邊頻譜、實頻圖、虛頻圖，如果該信號延時后，其各頻譜又如何變化？2-89已知和的波形如圖2.22(a)，(b)所示，試計算與的卷積積分。（a） （b）圖2.22 和的波形圖2-90若試證明時域卷積定理和頻域卷積定理。2-91利用傅立葉變換的性質求 傅氏變換。2-92利用時域微分性質求圖2.23所示三角脈沖信號的傅立葉變換

34、。圖2.23 三角脈沖信號2-93利用頻域微分性質求斜變函數(shù)的傅立葉變換。2-94已知為矩形脈沖信號，求的傅立葉變換。2-95已知滿足絕對可積條件，其傅立葉變換為，求的傅立葉變換。2-96已知，求2-97已知的傅立葉變換為，利用傅立葉變換的性質求的傅立葉變換表達式。2-98已知，求其頻譜2-99求圖2.24所示的三角調幅信號的頻譜。圖2.24三角調幅信號2-100 什么叫梳狀函數(shù)，如何求其傅立葉變換？24 習題解答1判斷題解答2-1×；2-2×；2-3；2-4×；2-5；2-6×；2-7×；2-8；2-9×；2-10×；2-

35、11×；2-12；2-13×；2-14；2-15×；2-16×；2-17×；2-18；2-19×；2-20。2選擇題解答2-21 B；2-22 C；2-23 C；2-24 C；2-25 B；2-26 C；2-27 B；2-28 D；2-29 C；2-30 D；2-31 C、A；2-32 D；2-33 A；2-34 C；2-35 C；2-36 A；2-37 B；2-38 C；2-39 B；2-40 B。3填空題解答2-41周期信號；非周期信號；離散的；連續(xù)的2-42均方根值；均方值；強度2-43實頻；縱軸；虛頻；原點2-44諧波次數(shù)增加

36、；衰減；高次2-45 A；A/2；更慢；諧波分量；工作頻帶2-46傅立葉級數(shù)三角函數(shù)表達式中的各項系數(shù)；傅立葉級數(shù)指數(shù)表達式中的各項系數(shù)2-47 0；+；-；+2-48時域；頻域；幅值域2-49；2-502-51展寬；降低；慢錄快放2-52；脈沖采樣2-53能量有限；能量有限信號；功率有限信號2-542-552-56頻譜；離散的；連續(xù)的；各次諧波的幅值；頻譜密度2-57 1；等強度2-58信號的波動量；信號繞均值的波動程度2-59表示信號幅值落在指定區(qū)間的概率；隨機信號幅值分布2-60各態(tài)歷經(jīng)隨機過程(或遍歷隨機過程)4問答題解答2-61答：（1）是周期信號，；（2）是周期信號，；（3）是非周

37、期信號；（4）是非周期信號；2-62答：（1）功率信號；（2）能量信號；（3）功率信號；（4）能量信號；（5）功率信號（周期）；（6）兩者都不是。（1）是周期信號，周期T=1；（5）是周期信號，周期T=0.1。2-63答：（1）是由階躍信號經(jīng)反折得（-），然后延時得=+3），其圖形如圖2.25（a）所示。（2）因為。其波形如圖2.25(b)所示。(3)是兩個階躍函數(shù)的疊加，在時相互抵消，結果只剩下了一個函數(shù)，其波形如圖2.25(c)所示。(a) (b) (c)圖2.25 習題2-63解圖2-64答：(1)具有延時的正弦函數(shù)乘積其波形圖如圖2.26（a）所示；（2）正弦函數(shù)與具有延時的單位階躍函

38、數(shù)的乘積。波形圖如圖2.26（b）所示；(3)具有延時的正弦信號與延時相同時間的階躍信號的乘積。波形圖如圖2.26（c）所示；(a) (b) (c)圖2.26 習題2-64解圖2-65答：（1）的周期為，所以直流分量為：（2），因為在一個周期內均值為0，所以。（3）因為和周期均為，且在一個周期內均值都為0，所以。（4）因為在一個周期內均值為0，所以2-66解：由于。該函數(shù)并經(jīng)反折得且右移2（延時2）而獲得。故上述8種選擇只有（8）是正確的。2-67答：（1）單位脈沖函數(shù)的定義在時間內矩形脈沖(或三角形脈沖及其它形狀脈沖)，其面積為1,當時，的極限，稱為函數(shù)。函數(shù)用標有1的箭頭表示。顯然(t)的

39、函數(shù)值和面積(通常表示能量或強度)分別為： （2）函數(shù)的性質1）積分篩選特性當單位脈沖函數(shù)與一個在處連續(xù)且有界的信號相乘時，其積的積分只有在處得到，其余各點之乘積及積分均為零，從而有類似地，對于這就表明，當連續(xù)時間函數(shù)與單位沖激信號或者相乘，并在時間內積分，可得到在點的函數(shù)值或者點的函數(shù)值，即篩選出或者。2）沖激函數(shù)是偶函數(shù)，即3）乘積（抽樣）特性若函數(shù)在處連續(xù)，則有4）卷積特性任何連續(xù)信號和的卷積是一種最簡單的卷積積分，結果仍然是該連續(xù)信號，即同理，對于時延單位脈沖，有可見，信號和函數(shù)卷積的幾何意義，就是使信號延遲脈沖時間。（3）函數(shù)的頻譜圖2.27 單位沖激信號及其頻譜單位脈沖信號的傅立葉

40、變換等于1，其頻譜如圖2.27所示。這一結果表明，在時域持續(xù)時間無限短、幅度為無限大的單位沖激信號，在頻域卻要分解為無限寬度頻率范圍內幅度均勻的指數(shù)分量。2-68答：正弦型信號具有如下特點：（1）兩個同頻率的正弦信號相加，雖然它們的振幅與相位各不相同，但相加結果仍然是原頻率的正弦信號；（2）一個正弦信號的頻率等于另一個正弦信號頻率的整數(shù)倍，則其合成信號是非正弦周期信號；（3）正弦信號對時間的微分與積分仍然是同頻率的正弦信號。利用歐拉公式及其傅立葉變換有：正弦信號頻譜圖如圖2.28所示圖2.28 正弦信號頻譜圖2-69解：利用歐拉公式，余弦信號可以表達為： 根據(jù)傅立葉變換性質，其傅立葉變換為 余

41、弦信號的頻譜圖如圖2.29所示圖2.29余弦信號的頻譜圖2-70答：斜坡信號也稱為斜變信號或斜升信號，指從某一時刻開始隨時間成正比例增長的信號。如果增長的變化率為1，稱為單位斜坡信號。其表達式為也可表示成由傅立葉變換的性質即=2-71答：幅度為常數(shù)的信號為直流信號。由于單位脈沖信號的頻譜是常數(shù)，那么直流信號的頻譜應該是脈沖信號，根據(jù)函數(shù)的抽樣性質有：所以，即，或直流信號的頻譜圖如圖所示，可以看出直流信號的頻譜是位于處的脈沖函數(shù)，幅值為。（a） (b)圖2.30直流信號的頻譜圖2-72解：（1）單邊指數(shù)函數(shù)表達式為： 式中為正實數(shù)，單邊指數(shù)信號如圖2.31(a)所示。(a) 單邊指數(shù)函數(shù) (b)

42、 幅度頻譜 (c) 相位頻譜圖2.31 單邊指數(shù)信號的波形及其頻譜單邊指數(shù)信號頻譜為：幅度和相位分別為頻譜如圖2.31（b）、（c）所示。（2）雙邊指數(shù)信號雙邊指數(shù)信號如圖2.32(a)所示，其時間表示式為，其中為正實數(shù)。傅立葉變換為：雙邊指數(shù)信號的傅立葉變換是一個正實數(shù)，相位譜等于零。幅頻譜如圖2.32（b）所示。由于雙邊指數(shù)信號為實偶對稱函數(shù)，則為的實偶對稱函數(shù)。(a) 雙邊指數(shù)信號 (b) 幅度譜圖2.32雙邊指數(shù)信號的波形及其頻譜2-73解：周期單位脈沖序列函數(shù)（又稱采樣函數(shù)）表達式為 式中為周期，頻率因為周期脈沖序列函數(shù)為周期函數(shù)，所以可以寫成傅立葉級數(shù)的復數(shù)形式 利用函數(shù)的篩選特性

43、，系數(shù)Cn 為： 因此，有周期單位脈沖序列函數(shù)的傅立葉級數(shù)的復數(shù)表達式：根據(jù)傅立葉變換性質有：從而可得周期單位脈沖序列函數(shù)的頻譜為：周期單位脈沖序列的頻譜仍是周期脈沖序列。時域周期為，頻域周期則為；時域脈沖強度為1，頻域脈沖強度則為。2-74解：設表示中間的矩形脈沖信號，相應的頻譜函數(shù)前已求出，即由圖2.16可知應用時移性質可得其頻譜函數(shù)為設，的頻譜如圖2.33所示。圖2.33 習題2-74解圖2-75解：由于并且所以利用傅立葉變換的線性性質可得：2-76解：譜線間隔為或信號帶寬為或2-77答：白噪聲信號是指信號的均值為零，功率譜密度在整個頻域內為非零常數(shù)的噪聲信號。白噪聲在各個頻段上的功率是

44、一樣的，由于白光是由各種頻率（顏色）的單色光混合而成，因而此信號的這種具有平坦功率譜的性質被稱作是“白色的”，此信號也因此被稱作白噪聲。理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大，這在現(xiàn)實世界是不可能存在的。實際上，我們常常將有限帶寬的平整信號視為白噪聲信號，白噪聲在數(shù)學處理上比較方便，是信號分析的有力工具。一般，只要一個噪聲過程所具有的頻譜寬度遠遠大于它所作用系統(tǒng)的帶寬，并且在該帶寬中其頻譜密度基本上可以作為常數(shù)來考慮，就可以把它作為白噪聲來處理。例如，熱噪聲和散彈噪聲在很寬的頻率范圍內具有均勻的功率譜密度，通?？梢哉J為它們是白噪聲。2-78答：把信號頻譜中幅值下降到最大幅值的1/10時所

45、對應的頻率作為信號的頻帶寬度，也稱為1/10法則。信號的頻寬可以根據(jù)信號的頻域波形確定，也可以根據(jù)信號的時域波形粗略的確定。對于有突變的信號，其頻帶寬度較寬，可取其基頻的10倍為頻寬；對于無突變的信號，其信號變化較緩，頻寬較窄，可取基頻的3倍為頻寬。2-79答：若隨機信號的概率密度為，則該信號為一維正態(tài)分布隨機信號，其概率密度曲線如圖所示，該曲線以為對稱軸，在均值處的最大，在信號最大、最小幅值處最?。辉酱?，概率密度曲線越平坦；當時，。2-80答：從隨機信號中截取有限時間的樣本記錄來計算出相應的特征參數(shù)稱為樣本參數(shù)；使用有限數(shù)目的樣本記錄來計算相應的樣本參數(shù)并作為隨機信號特征參數(shù)的估計值稱為參數(shù)

46、估計；由有限樣本記錄獲取樣本參數(shù)，以此樣本參數(shù)作為隨機信號特征參數(shù)的估計值所帶來的誤差稱為統(tǒng)計采樣誤差。5分析計算題解答2-81解：已知幅值A=2，頻率=0.5，而在時，則將上述參數(shù)代入一般表達式得，所以）2-82解：合成信號的頻率是各組成信號頻率的最大公約數(shù)，則：44，724，500，600222 362 250 300211 181 125 150而，所以該信號的周期為0.25s。2-83解：是經(jīng)反折，尺度變換并延時后的結果。不過三種信號運算的次序可以任意編排，因此該類題目有多種解法。以下介紹其中的兩種求解過程。方法一：信號經(jīng)反折尺度變換延時（1）反折：將反折后得，其波形如圖2.34(b)所示。（2）尺度變換；將波形進行時域擴展得，其波形如圖2.34 (c)所示。（3）延時：將中的時間延時6，得，即可獲得變換后的信號。（4）因為，其最終波形如圖2.34(d)所示。方法二：信號經(jīng)尺度變換反折延時。（1）尺度變換：將在時域中擴展，得，其波形如圖2.34(e)所示。（2）反折：將反折，得，其波形如圖2.34(f)所示。（3）延時：將中的延時6，即將原波形向右平移6，得。同樣可得變換后的信號，其波形如圖2.34（g）所示。(a) (b) (c)(d) (e)(f) (g)圖2.34 習題2-83解圖2-84解：（1）由于，則（2）這里應注