初中數(shù)學(xué)幾何圖形輔助線添加方法大全

1、初中數(shù)學(xué)添加輔助線的方法匯總作輔助線的基本方法一：中點(diǎn)、中位線，延長(zhǎng)線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或 中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線 是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等 的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法， 并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法 就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 有時(shí)邊角互相配合, 然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形

2、，這時(shí)輔助線的做法 仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒有中心。故可分“有 心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和 差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的 某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離

3、（內(nèi)含、外離）， 那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點(diǎn)的直徑或半徑使 出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或 半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔 助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角一一直 角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦

4、相等，距離和 所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān) 系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為 求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考 的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法， 即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。一.添輔助線有二種情況：1按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們 ，相交后證交角為90 ° ;證線 段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加

5、倍；證角的倍半關(guān)系也可 類似添輔助線。2按基本圖形添輔助線：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防 止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：(1)平行線是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都 相交的等第三條直線(2)等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整 等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的 二邊相交得等腰三角形。(3)等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形

6、底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分 線與垂線組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重 要線段的基本圖形。(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線 段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊 上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。(5)三角形中位線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形 進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形 不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有 公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三 角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半

7、線段的端點(diǎn)是 某線段的中點(diǎn)，則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三 角形中位線基本圖形。(6)全等三角形：全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就 可以添加軸對(duì)稱形全等三角形：或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱 軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角 兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱形全等三角形加以證明，添加 方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行線(7)相似三角形：相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形)，相交線 型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)(中點(diǎn)可看成比 為1)可添加平行線得平行線型相似三

8、角形。若平行線過端點(diǎn)添 則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多 種淺線方法。(8)特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30 , 45 , 60 , 135 , 150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用 45角直角三角形三邊比為1 : 1 :，2; 30度角直角三角形三邊比為 1:2:進(jìn)行證明(9)半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添 90度的圓周角；出現(xiàn) 90度的圓周角則添它所對(duì)弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖 形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二.基本圖形的輔助線的畫法1 .三角形問題添加輔助線方法方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題

9、 目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)?轉(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平 分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形 的知識(shí)解決問題。方法3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形， 或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類 題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩 部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2 .平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì) 角線都具有某

10、些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目 的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四 邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下 列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：(1)連對(duì)角線或平移對(duì)角線：(2)過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平 行線，構(gòu)造線段平行或中位線(4)連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角 形相似或等積三角形。(5)過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等 .3 .梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合, 通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化

11、歸為平行四邊形問題或三角形 問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁， 梯形中常用到的輔 助線有：(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3)梯形內(nèi)平移兩腰(4)延長(zhǎng)兩腰(5)過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高(6)平移對(duì)角線(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。(8)過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。(9)作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定 不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊 形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。4 .圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o 助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使

12、問題化難為易，順其自然地 得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對(duì)提高 學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。(1)見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑)，通 過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。(2)見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用 直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一特征來證明問題。(3)見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，利用 切線與半徑垂直”這一性質(zhì)來證明問題。(4)兩圓相切作公切線對(duì)兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的 連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)

13、系。(5)兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。7 / 7410 / 7415 / 74三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾 個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1 :已知如圖1-1 : D、E為AABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB +AC>BD + DE + CE.證明：(法一)將DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB、AC于M、N,在AAMN 中，AM +AN > MD+DE + NE;

14、(1)在Z1BDM 中，MB + MD>BD;(2)在3EN 中，CN+NE>CE;(3)由(1) + (2) + (3)得：AM +AN +MB + MD +CN + NE>MD +DE + NE+BD + CE. AB + AOBD + DE+ECA（法,M_D_E_N_圖B圖1-1CB長(zhǎng)BD交 AC于F,延長(zhǎng)CE交BF于G,在zABF和晶FC和zGDE中有：AG F/DE、二：）如C一圖 1-2 C 1-2 ,延AB+AF> BD + DG + GF （三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FOGE+CE (同上)21DG+GE>DE (同上)3)(由(1)

15、 + (2) + (3)得:AB +AF + GF+FC+DG +GE>BD + DG +GF+GE+CE+ DE. AB + AOBD + DE+ EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出 來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三 角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上， 再利用外 角定理： 例如：如圖2-1 :已知D為gBC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：ZBDOZBACoSI因?yàn)?BDC與/BAC不在同一個(gè)三角形中， 沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角 形，使/BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置;證法一：延長(zhǎng)BD

16、交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/BDC是AEDC的外角,.zBDC>/DEC,同理/DEO/BAC, .zBDC>/BAC證法二：連接AD,并延長(zhǎng)交BC于F zBDF是MBD的外角.zBDF>/BAD,同理，/ CDF >/CADzBDF + /CDF > /BAD + /CAD即：/BDC>/BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三 角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明 三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的例如：如圖3-1 :已知AD為2BC的中線，且/線段，構(gòu)造全等三角形，如：1 = /2,/3 =

17、/4,求證：BE + CF>EF。分析：要證BE+CF>EF上可利用三角形三邊關(guān)系定理證明工須把 BE, CF, EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知/ 1=/2, /3 = /4,可在角的兩邊截取相等的線段、利用三角形全等 _ *. fs “'ff . r- -" ： 11 *-* -i> " l " - - - - " i - ：- -fc " - -. 1 - r- " r - - =-4- - - . I " « -1. LL .- ,- -. LL 1 11對(duì)應(yīng)邊相等一把EN/心EF

18、移到同一個(gè)三角形中。證明：在DA上截取DN = DB ,連接NE, NF ,則DN = DC ,在Z1DBE和4NE中：DN = DB （輔助線的作法），/1 =/2（已知）ED = ED （公共邊）/.zDBEzDNE(SAS)BE=NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF= NF在任FN中EN + FN>EF （三角形兩邊之和大于第三邊）. BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線 段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相 等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三 角形。例如:如圖4-1 ；AD.為A

19、ABC冏中線,且/1 = 22, Z3一三./4,.求證：證明：延長(zhǎng)ED至M ,使DM=DE ,連接BE+CF>EFCM, MF。在 ABDE 和Z1CDM 中,BD =CD（中點(diǎn)的定義），N1 =/CDM （對(duì)頂角相等）ED =MD（輔助線的作法）二:/WE"DM（SAS）又/1=/2, /3 = /4 （已知）/1 +/2 + /3 + /4 = 180° 平角的定義） /3 + /2=90,即 /EDF = 90/FDM =/EDF =90在EDF和MDF中'ED = MD（輔助線的作法）；ZEDF /FDM （已證）DF -DF （公共邊） 任D

20、87; zMDF（SAS） .EF= MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在笈MF中，CF+CM>MF （三角形兩邊之和大于第三邊） .BE+ CF>EF注：上題也可加倍FD,證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1 : AD為 AABC的中線，求證：AB +AO2AD分析.：.要證.AB.± AC .Z 2AD_,由圖想到.:.AB+BD >, AD,AC+CD >=2AD e左邊比要證結(jié)論多 BD + CD »故

21、不2AD .即加倍中線.把所要證的線段轉(zhuǎn)移到L LL ” LLL -./- -. .- < ?. *L尸.1, 11- -f- -. "I - S,! aAD,所以有 AB + AC+ BD + CD>AD+AD同一個(gè)三角形中去。證明：延長(zhǎng) AD至E,使DE=AD ,連接BE,則AE = 2AD.AD為AABC的中線（已知）.BD = CD （中線定義）在ACCD和AEBD中BD =CD（已證）圖5-1/ADC =/EDB （對(duì)頂角相等）1AD =ED（輔助線的作法）/.zACDzEBD （SAS） BE= CA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在ZABE中有：AB + BE&

22、gt; AE （三角形兩邊之和大于第三邊）. AB+AO2AD 。（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形） 練習(xí)：已知AABC, AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 5-2 ,求證EF= 2AD。六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 :在MBC中品AB>AC.12-P/1 = /2 , P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB AC>PB-PCO 分析：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系定理證 之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到 構(gòu)造笫三邊.AB. AC.,.故可荏,A.B,上截取.AN等于AC,得AB.

23、AC = BN, 再連接 PN ?則 PC=PN,又在4PNB 中，PBPN<BN, 即：AB-AC>PB-PCO證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN =AC連接PN , 在gPN和gPC中AN = AC（輔助線的作法）；/1 =. 2（已知）1Ap =AP（公共邊） /APN 里公PC （SAS） PC= PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在zEPN中，有PB-PNCBN （三角形兩邊之差小于第三邊）. BPPC<ABAC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M ,使AM = AB ,連接PM ,在MBP和AAMP中AB =AM （輔助線的作法）上1 - . 2（已知）AP =AP（公共邊）

24、/.zABPAMP （SAS）PB= PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又在ZPCM中有：CM >PMPC（三角形兩邊之差小于第三邊). AB-AOPB-PCo七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形: 例如：如圖 7-1 :已口 AC = BD , AD，AC 于 A ,88口于8,求證：AD=BC 分析：欲證 AD=BC,先證分別含有 AD, BC的三角形全等，有幾種方案：zADC與四CD, AAOD與四OC, AABD與ABAC,但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA, CB,它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，.ADLAC BCXBD（已知）

25、 #AE=/DBE =90（垂直的定義）在zDBE與笈AE中PE =. E（公共角） ，/DBE =/CAE（已證） BD =AC（已知） .RBECAE(AAS)ED = EC EB= EA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）. ED EA=EC EB即：AD = BC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1 : AB /CD, AD /BC 求證：AB=CD 。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化 為三角形來解決。證明：連接AC （或BD）.AB/CD AD/BC （已知）

26、/ = /2 , /3 = /4在AABC與3DA中Z = - 2（已證）:AC=CA（公共邊）/3=/4（已證）（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） AABC 二 CDA （ASA） AB = CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)37 / 74例如：如圖 9-1 :在 Rt AABC 中，AB=AC, /BAC = 902 , CE±-BD的延長(zhǎng)于E。求證：BD=2CE分析：要證 BD = 2CE,想到要構(gòu)造線段2CE,同時(shí)CE與/ABC的平分線垂直,想到要將其延長(zhǎng)。證明：分別延長(zhǎng)BA, CE交于點(diǎn)F。F-.BEXCF （已知）. zBEF= /BE

27、C= 90 ° （垂直的定義）在Z1BEF 與ABEC 中,J>1 =. 2（已知） BE=BE （公共邊）I /BEF =，BEC（已證）/BEzBEC （ASA）.CE=FE= 1CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.zBAC=90BEXCF （已知）.zBAC=/CAF = 90/1+/BDA=90 7 + /BFC=90. zBDA = /BFC在Z1ABD與MCF中/BAC =/CAF （已證）BDA =,BFC （已證） （AB = AC（已知）/.zABDACF (AAS) . BD = CF (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)BD = 2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：

28、已知：如圖10-1 ; AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB = DC, AC = BD,求證：/A = /D。分析：要證/ A = /D,可證它們所在的三角形4 ABO和ADCO全等，而只有AB = DC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等工.只有另尋有它的三角形全等，由 AB = DC, AC = BD,若連接圖 10-1BC,則MBC和垣CB全等，所以，證得/ A=/D。證明：連接BC,在MBC和RCB中AB =DC（已知）;AC =DB（已知）BC =CB（公共邊）/ABCSCB （SSS）. A = ZD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如二.如圖11-1:.

29、AB. = DC.,/A = /D 求證：/ABC=/DCB一。 分析：由AB = DC, /A = /D,想到如取AD的中點(diǎn)N,連接NB,NC,.再.由SAS.公理有. ABN .三一 QC.N.,故B.N.三CN.ZABN =2DCN 。下面只需證/ NBC = /NCB ,再取BC的中點(diǎn)M ,連接MN ”則由SSS公理有ANBM WzNCM，所以/NBC = /NCB。問題得證。證明：取AD, BC的中點(diǎn)N、M ,連接NB,NM , NC。貝U AN=DN , BM=CM ,在AABN 和AN =DN（輔助線的作法）RCN 中<ZA=/D（已知）AB = DC （已知）/ABN &

30、quot;CN（SAS）.zABN=/DCNNB = NC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在5IBM與ANCM中NB= NC（已證）.BM=CM （輔助線的作法）NM = NM （公共邊）/NMB二加CM ,（SSS） /. zNBC = ZNCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）zNBC + /ABN = /NCB + /DCN 即 ZABC = /DCB。巧求三角形中線段的比值例 1.如圉 1 ? ftAABC 12BD二DC =1；3 , AE: ED = 2 : 3 ,求AF: FC。 fii "run* ， a if解：過點(diǎn)D作DG/AC ,交BF于點(diǎn)G所以 DG: FC= BD:

31、BC因?yàn)?BD: DC = 1: 3 所以 BD: BC=1:4即 DG: FC=1 : 4, FC= 4DG因?yàn)?DG: AF=DE: AE 又因?yàn)?AE: ED=2:所以 DG: AF = 3: 222AF = -DG-DG即 3所以 AF: FC= 3: 4DG=1: 6例 2.如圖 2, BC=CD, AF = FC、求 EF: FD解：過點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G,則有EF: GC=AF: AC即 DE=2GC因?yàn)?AF = FC 所以 AF: AC = 1: 2F=-GC即 EF: GC=1 : 2,2因?yàn)?CG: DE=BC: BD 又因?yàn)?BC=CD所以 BC: BD=1 :

32、 2 CG: DE=1 : 2-1 3 一 2GC-GC= -GC因?yàn)?FD = ED-EF=22 所以 EF: FD =13-GC, -GC = lr 322小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了 “已知”條 件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔 助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，?我們感受其中的奧妙!例 3.如圖 3, BD : DC=1 : 3, AE: EB = 2: 3,求 AF: FD。解：過點(diǎn)B作BG/AD ,交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G 所以 DF: BG = CD: CBEB=因?yàn)?BD: DC=1 : 3所以 CD: CB = 3:3 DF=-BG即 DF: BG = 3:

33、4,4因?yàn)锳F: BG = AE: EB 又因?yàn)锳E:2: 32 AF=-BG 所以 AF: BG = 2: 3即 323-BGi -8G=8工 9所以 AF: DF= 34例.4.如圖 4, BD :DC =： 3. AF = FD ,求 EF: FC。解：過點(diǎn)D作DG/CE ,交AB于點(diǎn)G所以 EF: DG = AF: AD因?yàn)锳F = FD所以AF: AD=1: 2圖4EF=-DG即 EF: DG = 1 : 22因?yàn)?DG: CE= BD: BC,又因?yàn)?BD: CD = 1: 3, 所以 BD :BC=1 : 4即 DG: CE= 1 : 4, CE= 4DG17 24DG-DG=-

34、DG因?yàn)?FC=CEEF=二17 2-DGi -DG 所以 EF: FC= 22=1：7練習(xí)：1. Jnffl.5,.BD = DC ,AEj ED =1 :.上 求.AF.：,里2.如圖 6, AD : DB =1 : 3, 答案：1、1 : 10;A AAE: EC= 3: 1 ,求 BF: FC。2. 9: 1M6 DC初中幾何輔助線一初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段

35、垂直平分線,常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式,移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn),對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂谄揭蒲茖?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上 中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行 成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換 少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心 半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線 仔細(xì)辨。是直徑，成半圓,

36、想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓,各邊作出中垂線還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓如果遇到相交圓,不要忘作公共弦內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線,切點(diǎn)肯定在上面要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。汪息點(diǎn)輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié) 方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多 也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將

37、圖對(duì)折看，對(duì)稱以后 關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線 合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角 兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取 短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形 和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種 嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的， 希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜

38、 想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助 線作以介紹。如圖 1-1 , /AOC= /BOC,如取 OE=OF ,并連接 DE、DF,則有8ED二QFD,從而為我們證明線段、 角相等創(chuàng)造了條件。例1 . 如圖 1-2 , AB/CD , BE 平分/BCD, CE平分/BCD,點(diǎn)E在AD 上，求證：BC=AB+CD 。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等 三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形， 同時(shí)此題也是證明線段 的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng) 法或截取法來證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等 于短的線段。

39、但無論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等， 延長(zhǎng)要證明 延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條 線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段 BC上截取BF=AB ,再證明CF=CD , 從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。 另 外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng) BE與CD的延長(zhǎng)線交 于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2.已知：如圖 1-3 , AB=2AC , ZBAD= /CAD, DA=DB ,求證DC，AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三 角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題 自已證明。例3. 已知：如圖1-4,在ABC

40、中，/C =2 ZB,AD 平分/BAC,求證：AB-AC=CD圖1-4分析：此題的條件中還有角的平分線， 在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還 是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取 法來證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段， 來證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢？練習(xí)1 , 已知在4ABC中，AD平分/BAC,/B=2 /C,求證：AB+BD=AC2, 已知：在 3BC中，/CAB=2 ZB, AE平分/CAB交BC于E, AB=2AC ,求證：AE=2CE3. 已知：在3BC中，AB>AC,AD 為/BAC的平分線，M為 AD 上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC4. 已知：

41、D是MBC的/BAC的外角的平分線 AD上的任一 點(diǎn)，連接 DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC 。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊圖2-1距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1. 如圖 2-1 ,已知 AB>AD, /BAC=ZFAC,CD=BC。求證：/ADC+ /B=180分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC與/B之和為平角例2. 如圖 2-2 ,在AABC 中，/A=90 , AB=AC , zABD= /CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DELBC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出全等三角形

42、，從而得證。此題是證明 線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的 方法。M F圖2-3例3. 已知如圖2-3 , MBC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：/BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP,證AP平分/BAC即可，也就是證P至UAB、A C的距離相等。1 .如圖 2-4ZAOP= /BOP=15 , PC/練習(xí):OA, PDXOA,如果 PC=4 ,則 PD=()A 4 B 3 C 2 D 12,已知在AABC中,/C=90 ,AD平分/CAB, CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3.已知：如圖 2-5, /BAC= /CAD,AB>AD ,CE± AB,1A

43、E= 2 (AB+AD ).求證：/D+/B=180 。4.已知：如圖2-6，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，/FAE=/DAE。求證：AF=AD+CF5. 已知：如圖 2-7 ,在 RtABC 中，/ACB=90 ,CD LAB, 垂足為D, AE平分/CAB交CD于F,過F作FH/AB 交BC于H 求證CF=BH 。（三）：作角線構(gòu)造等腰平分線三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交， 則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底 邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性 質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則

44、延長(zhǎng)該線段與角的另 一邊相交）例1. 已知：如圖 3-1 , /BAD= /DAC, AB>A一一 1C,CD±AD 于 D, H 是 BC 中點(diǎn)。求證：DH= - (ABAC)分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。F問題可證。例 2 . 已知：如圖 3-2 , AB=AC , /BAC=90 , AD為/ABC的平分線，CELBE求證：BD=2 CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可 延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3.已知：如圖3-3在zBC中，AD、 AE分別/BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作 BFAD,交AD的延長(zhǎng)線于

45、F,連結(jié)FC并延長(zhǎng) 交AE于M。求證：AM=ME 。分析：由AD、AE是/BAC內(nèi)外角平分線，可得EAXAF,從而 有BF/AE ,所以想到利用比例線段證相等。例4.已知：如圖3-4 ,在母BC中，AD平分/BAC, AD=A1B, CM ±AD 交 AD 延長(zhǎng)線于 M。求證：AM= 3 (AB+AC )分析：題設(shè)中給出了角平分線 AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作4ABD關(guān)于AD的對(duì)稱AAED,然后1只需證DM= £ EC,另外由求證的結(jié)果 AM=12 (AB+AC),即 2AM=AB+AC ,也可嘗試作gCM關(guān)于CM的對(duì)稱4FCM ,然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：

46、1 . 已知：在3BC中，AB=5 , AC=3 , D是BC中點(diǎn)，AE是 ZBAC的平分線，且 CE± AE于E,連接DE,求DE。2 , 已知BE、BF分別是3BC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFLBF于F, AELBE于E,連接EF分別交AB、AC于M、N ,求 證 MN= £bC(四)、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖 4-1和圖4-2 所示。DC如圖,HAGB圖4-2AB>AC,/1= Z2,

47、求證:ABAC>BD如圖,BC>BA ,+ /C=180如圖,AB /CD,AD=AB+CD 。練習(xí):BD 平分/ABC,且 AD=CD1DAC-CDcB各/ADEDE:DEE: AABC是直角三BAE、DE分別平分/B1.已知，如圖，/C=2，AC=2BC角形。2.已知：如圖，AB=2AC , /1= Z2, D/A=DB ,求證：DC LA3.已知CE、AD是AABC的角平分線,AE+CDB4.已知：如圖在AABC中，/A=90的平分線，求證：BC=AB+AD41 / 74三 由線段和差想到的輔助線 口訣：線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一 三角去。遇到求

48、證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)， 一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短 法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然 后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段 之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證 明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一 個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1 : D、E為4ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AC>BD+DE+

49、CE.圖1 -1證明：(法一)將DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB、AC于M、N ,在AAMN 中，AM+AN>MD+DE+NE; (1)在ABDM 中，MB+MD>BD ; (2)在ACEN 中，CN+NE>CE ; (3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE（法二：圖 1-2 ）.AB+AC>BD+DE+EC延長(zhǎng)BD交AC于F,在ABF和GFC和八GDE中有:AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FC>GE+CE (同上)(2)DG+GE>DE (同上)(3)

50、由(1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+AC>BD+DE+EC 。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上， 再 利用外角定理：例如：如圖2-1 :已知D為XBC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/BDC>ZBACo畫）因?yàn)?BDC與/BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系, 可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)

51、E,這時(shí)/BDC是AEDC的外角，.zBDC>/DEC,同理/DEC>/BAC,zBDC> /BAC證法二：連接 AD,并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)/BDF是MBD的外角，./BDF>/BAD ,同理，/CDF>/CAD, zBDF+/CDF> ZBAD+ /CAD,即：ZBDC> ZBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)， 通常將大角放在某 三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上， 再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1 :已知AD為MBC的中線，且/1= Z2,/3=

52、/4,求證：BE+CF>EF。國(guó)要證 BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE, CF, EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知/ 1=/2,/3= /4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN, FN, EF移到同個(gè)三角形中證明：在DN上截取DN=DB ,連接NE, NF,則DN=DC ,在ADBE和4NDE中：DN=DB （輔助線作法）/1= /2 （已知）ED=ED （公共邊）RBEFDE （SAS）.BE=NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FN>EF （三角形兩邊之和大于第三邊）. BE+CF>E

53、F。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線 段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 :在Z1ABC中，AB>AC , /1=Z2, P為AD 上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。叵要證：AB-AC>PB-PC ,想到利用三角形三邊關(guān)系，定理 證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu) 造第三邊AB-AC ,故可在AB上截取AN等于AC ,得AB-AC=BN , 再連接 PN,貝U PC=PN ,又在4PNB 中，PB-PN<BN ,即：AB-AC>PB-PC 。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC 連接PN,在AAPN和AAPC中AN=AC （輔助線作法）、/1= /2 （已知）43 / 74AP=AP （公共邊）ZAPNAPC （SAS） ,PC=PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在ZBPN中，有PB-PN<BN （三角形兩邊之差小于第三邊） .BP-PC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M ,使AM=AB ,連接PM ,在Z1ABP和MMP中'AB=AM （輔助線作法）/1= /2 （已知）AP=AP （公共邊）/.zABPAMP （