隨機(jī)變量數(shù)字特征習(xí)題課

1、第12講 隨機(jī)變量的數(shù)字特征習(xí)題課教學(xué)目的：掌握隨機(jī)變量的數(shù)字特征，了解切比雪夫不等式和大數(shù)定律。教學(xué)重點：理解數(shù)學(xué)期望和方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計算，熟悉常用分布的數(shù)學(xué)期望 和方差。教學(xué)難點隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。教學(xué)時數(shù) 2學(xué)時教學(xué)過程、知識要點回顧1 .隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2 .對離散隨機(jī)變量E(X)x1P (Xi)i3 .若i 1,2,L ,則假定這個級數(shù)絕對收斂，否則就沒有數(shù)學(xué)期望。4 .對連續(xù)隨機(jī)變量E(X) xf (x) dx5 .假定這個廣義積分絕對收斂，否則就沒有數(shù)學(xué)期望。6,隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望Eg(X),其中g(shù)(X)為實函數(shù)。7 .對離散隨機(jī)變量

2、Eg(X)g(xi)p(xi)i8 .對連續(xù)隨機(jī)變量Eg(X) g(x) f (x) dx9 .假定所涉及的無窮級數(shù)絕對收斂，所涉及的廣義積分絕對收斂。10,二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望Eg(X,Y)L其中晨X,Y)為二元實函數(shù)。11 .對離散隨機(jī)變量 Eg(X, Y)g(x£, yj)p(x”y$)12 .對連續(xù)隨機(jī)變量 Eg(X, Y)g(x, y)f (x, y) dxdy13 .假定所涉及的無窮級數(shù)絕對收斂，所涉及的廣義積分絕對收斂。14 .數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(假定所涉及的數(shù)學(xué)期望都存在)15 . E(c) c, (c 為常數(shù))16 . E(cX) cE (

3、X),心為常數(shù))17. E(aX b) aE(X) b, (a, b 為常數(shù))18. E(X Y)E(X)E(Y)nn19. E( Cx Xi) CxE (XO il£120.若 X,Y 相互獨立,則 E(XY) E(X)E(Y)o21.若 Xi,X2,L 相互獨立，則 E(XiX2LXn) E (Xl) E (X2)L E (Xn)o22 .隨機(jī)變量X的方差D(X) E XE (X), E (X:)都存在。23 .方差的性質(zhì)24 . D(c) 0, (c 為常數(shù))25 . D(cX) c2D (X), (c 為常數(shù))26 . D(aX b) a2D (X), (a, b 為常數(shù))2

4、7 .若X,Y相互獨立，則D(X Y) D(X)E(X)2E(X2)E(X):,這里假定D(Y),28 .若Xi,X2,L 相互獨立,29 .隨機(jī)變量X的k階原點矩30 .隨機(jī)變量X的k階中心矩Cl, C2,L ,Cn 為常數(shù)，則 D( Ci Xi) ilMX) E(Xk)E( X E(X)kCi2D(Xx)031 .易知，i(X) E(X), i(X) 0, 2(X) D(X)032 .隨機(jī)變量乂與丫的協(xié)方差33 . cov(X, Y) E X E(X) Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y) on34 n/aY a k nfvAk 為晉羽八35. cov(X, Y) cov(Y, X)

5、36. cov (aX, bY) abcov (X, Y), (a, b 為常數(shù))37. cov(X Y,Z) cov(X, Z) cov( Y, Z)38. 若cov(X, Y) 0,則稱*與丫不相關(guān)。定不相關(guān)，反之不成立。39. 隨機(jī)變量乂與丫的相關(guān)系數(shù)R(X,Y)40. |R(X, Y) | 1若隨機(jī)變量工與丫相互獨立，則乂與丫cov( X, Y)7D (X “(Y)41. Y a bX |R(X, Y) | 1D(X)42. 切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E (X)與方差D(X)存在，則對任意正P X E(X)由切比雪夫不等式可證明切比雪夫定理，進(jìn)而推出伯努利定理。后而兩個定理

6、是常用的大數(shù)定律。典型例題解析1.已知隨機(jī)變量X的概率分布為求 E (4X26) o分析由要點2,令g(X) 4X3 6,代入公式即可。X-20PiE(4X26) (4Xr 6) Pii i22 0.3 6 0.4 10 0. 312注計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望原則上有兩種方法：一種是先求出隨機(jī)變量的概2種所列的公式。率分布或概率密度，再按數(shù)學(xué)期望的定義計算：一種是直接帶入要點通常用后一種方法較簡便。2 .設(shè)二維隨機(jī)變量& 丫的概率密度f(x,y),0小，其它小求 E(X), E(Y), D(X), D(Y),E(XY ),cov( X, Y), R(X ,求。題中前五項計算均可按要點

7、3所列公式計算，后兩項按要點8與9計算。 分析所以D(X) E(X2)E(X)：1E(X)xf (x, y) dxdy xdx o(x yi 時0AfE(X-)v f G0 * * 0 (x y) dyXx2 (xJL) dx A。2 12按對稱性有 711E (Y) i *L144E(X Y)xyf (x, y) dxdy 1 ,y) dycov( X, Y) E(X Y) E(X)E( Y)3 12 12144R(X,Y)_L/ 血4v1144/12n所以注二維隨機(jī)變量的許多計算都可歸結(jié)為計算二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望, 要點3所列公式應(yīng)會靈活應(yīng)用。3 .填空(1)已知 D(X) 4, D

8、 (Y) 1,R(X, Y) 0.6,貝 U D(3X 2Y)1隨機(jī)變量X, Y相互獨立，又X : P(2), Y: B(8,),則E(X 2Y) ， D(X 2Y)4X設(shè)X, Y獨立日同分布 .P隨機(jī)變量X的方差為 2 ,則根據(jù)切比雪夫不等式，估計p X E(X) 2分析在要點8中取a 3,b2代入公式解答(1);由已知公式得E(X) 2,D(X) 2 E(Y) 81-2, D(Y) 8 -3 342,在利用方差性質(zhì)解答：對于,可求出隨機(jī)變量ZXY的概率分布再求 E (XY),或由X,Y都服從“ 0-1 ”分布得,再代相應(yīng)公式;對于(4),用2,D(X)2帶入切比雪夫不等式。D(3X 2Y)

9、 9D (X) (1)4D(Y) 12R(X, Y) JD(X) Jd(Y)011 F，則 E (X, Y)3 325.612 0.6E(X 2Y) E(X) 2E( Y)D(X 2Y)D(X) 4D( Y)解一XYE(X Y)解二E(XY)E(X)E( Y)P(lE(X) |填空主要用于復(fù)習(xí)概念，熟悉各種計算公式，通常計算量較小。4 . 一臺設(shè)備有三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為,設(shè)各部件相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，求數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)o八出牛利二弋君知十日1,第i個部件需要調(diào)整/分析先引入新隨機(jī)變量” 0,第i個部件無需調(diào)整(，3),則Xx, X

10、:相互獨立,利用E(X)E(XO,D(X)D(XJ完成計算。解由先服從“ 0-1、分布,E(X0 K, D(X0 px(i px), i 1,2,3 ,得E(X：)0. 1 , D(X：) 0.09, E(Xz) 0.2, D(Xz)0. 16, E(Xs) 0. 3, D(Xs) 0.21故 E(X) 0. 10. 2 0. 3 0.6 , D(X) 0. 09 0. 16 0. 21 0. 46 。注利用性質(zhì)來計算數(shù)學(xué)期望和方差往往較有效,應(yīng)該學(xué)會這種方法。 另外，應(yīng)記住常用分布相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望和方差。5 .甲乙兩隊比賽，若有一隊先勝四場，則比賽結(jié)束。假定甲隊在每場比賽中獲勝的概率為，乙隊為

11、，求比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望。分析X可能取值為4, 5, 6,7,按古典概型計算X取各值的概率得到X的概率分布，由此算出E(X) 0PX40.61 0.4, 0. 1552PX5C40. 6, 0. 4 Ci 0. 6 0. 4' 0. 2688PX6C：0.64 0.4, C； 0.6: 0.4'0.2995PX7C30. 6, 0.43 C3 0. 63 0. 4'0.2765E(X) 4 0. 1552 5 0. 2688 6 0. 2995 7 0. 27655.7注對應(yīng)用題而言，大量計算是計算概率，這就要求掌握好以前所學(xué)過的各種計算概率的方法。333_X )。，其中

12、6.設(shè)隨機(jī)變量X服從 分布，其概率密度f(x) ()000,0 是常數(shù)，求 E(X), D(X) o函W分析按定義求E(X),又D(X) E(X2) E(X)，計算中涉及o x=1e=dx, (s 0),(1)( ) o有用的.分布是E(3X度 f(x, y)E(X)(1)0E(X2)D(X)分布，統(tǒng)計中很設(shè)(X, Y)在區(qū)域2Y), E(XY)o分析設(shè)區(qū)域(X, y)A0,(x, y )dx二d( x)(令 t x)d( x)(令 t x)點3計算。E(3X2)2的分布。D (x, y) |xD的面積為A,D,本題中ADE(X)2Y)DO分布也是一種常用分布，例如指數(shù)分布是0, y 0,x

13、y 1上服從均勻分布,求E(X),則(X,Y)在D上服從均勻分布時，聯(lián)合概率密 所以 f(x,y);(xy)Di1dx 2xdy 2x(1 x)dx 一o03ox o 2(3x 2y)dy (2 10x o 其它8x-) dx接著按要11231E (XY) dx 2xydy (x 2xx3) dx 一1 . o o ,o' /12注二維隨機(jī)變量服從均勻分布也是常見的情形?？梢宰匀坏耐茝V到n維隨機(jī)變量服從均勻分布，其聯(lián)合概率密度寫法是類似的。8.計算下列各題(1)設(shè) X 與 Y 相互獨立，E(X) E(Y) 0, D(X) D( Y) 1,求 E(X Y )1D(X Y)E(Y )E(Y

14、)(2)設(shè)X與Y相互獨立，其數(shù)學(xué)期望與方差均為已知值，求解E(X分析根據(jù)要點4, 5, 6中相關(guān)公式計算。Y) E(X 2XY y ) E(X ) 2E(XY)D (X) E (X) 2E (X)E (Y) D(Y)(2) D(XY) E (xy E(xY) ： E (XT) E (X) E (Y)'E (X：) E (Y2) E (X 廠 E (Y) D(X) E(X) D( Y) E( Y) E(X) E(Y)9.設(shè)二維隨機(jī)變量“ J的概率密度矍x1,試I可：(D X 其它與Y是否相互獨立(2)是否相關(guān)分析根據(jù)f & y) A(x)fY(y)是否成立回答(1);根據(jù)cov(

15、X,Y) 0是否成X與Y相互獨立 立回答(2) 0D (X) D (Y) E(Y) D(X) E(X) D(Y)注由已知值導(dǎo)出未知值，通常要熟練掌握相關(guān)公式。使用公式應(yīng)注意其成立條件，其中獨立性這一條件是很重要的。關(guān)于獨立性，有以下重要結(jié)論：互獨立，g(x), h(y)是連續(xù) 函數(shù)，則g(x)與h(y)相互獨立。本題用到, 時，X。與Y，也相互獨立，這里，g(x) x2, h(y) y2 o解（1） X,Y的邊際概率密度分別為fx(X)y) dyfy(y) f(x, y) dy0,y 1其它±dy -71 x12* X0,其它2由于f(X, y)(2) E (X )fx (x) fY (y),所以乂與丫不相互獨立。(利用奇函數(shù)性質(zhì))，正2xfx(x) dx i 一VI x:dx 0,E(Y) yfy(y) dy ：/y:dy 0,E(XY)xyf(x,xydxdyy) dxdyx 7a is 2 ,r3dr 00 r cos sin 所以 cov(X, Y) E(X Y) fe(X)E(