2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(全國卷I,含答案)

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(全國卷I ,含答案)本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。第I卷1至2頁。第n卷3 至4頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷 注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2 .每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡一皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效。 3 .第I卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的。

2、參考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A B) P(A) P(B)如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P(AgB) P(A)gP(B)如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p ,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A恰好發(fā)生k次的概率_ k kn k%(k) Cnp(1 p) (k 0,1,2,n)球的表面積公式S 4 R2其中R表示球的半徑球的體積公式3 r34其中R表示球的半徑一、選擇題3 2i復(fù)數(shù)3二2 3i(A) i (B) i (C)12-13 i (D) 12+13 i(2)記 cos( 80k,那么 tan100y若變量x, y滿足約束條件Xx(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(4)已知各項(xiàng)均為

3、正數(shù)的等比數(shù)列1,y 0, 則z x 2 y的最大值為y 2 0, an , a1a2a3 =5, a7a8a9=10,則(A) 5、2 (B) 7(C) 6(D)4.2 (1 2折3(1 雙)5的展開式中:x的系數(shù)是(A) -4(B) -2(C) 2(D) 4(6)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選 3門，若要求兩類課程 中各至少選一門，則不同的選法共有(A) 30 種(B)35 種(C)42 種(D)48 種(7)正方體ABCD-AB1C1D1中，BBi與平面ACD1所成角的余弦值為A二B蟲C 2 D上3333i(8)設(shè) a=log32,b=In2,c= 5 2,則A

4、 a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知Fi、F2為雙曲線C: x2 y2 1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) p在C上，/ FipF2 = 600,則P 到x軸的距離為(A)仔(B)(C).3(D),6(10)已知函數(shù)f(x) | lg x |,若0<a<b,且f(a)=f(b),貝U a+2b的取值范圍是(A) (2 .2,) (B) 2 <2,)(C) (3,) (D) 3,(11)已知圓。的半徑為1, PA、PB為該圓的兩條切線,ULV UUVA B為倆切點(diǎn)，那么 PA?PB的最小值為(A)4,2(B)3 .

5、2 (C)4 2.2 (D)3 2.2(12)已知在半徑為 2的球面上有 A、R C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2則四面體ABCD勺體積的 最大值為(A) 2-(B)4-(C)2x3(D)8333絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(必修+選彳II)第n卷注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2 .第n卷共2頁，請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。 3 。第n卷共10小題，共90分。二.填空題：本大題共 4小

6、題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.(注意：在試題卷上作答無效 )(13)不等式J2x2 1 X 1的解集是.3(14)已知 為第二象限的角，cos2一，則tan( 2 ).54(15)直線y 1與曲線y x2 x a有四個(gè).交點(diǎn)，則a的取值范圍是.(16)已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段 BF的延長線交C于點(diǎn)D , a b acot A bcot Buiruur且BF 2FD ,則C的離心率為.三.解答題：本大題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分10分)(注意：在試題卷上作答無效 ) 已知VABC的內(nèi)角A , B及

7、其對(duì)邊a ,b 滿足a b acot A bcot B,求內(nèi)角C.(18)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效 ) 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審.若能通過兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用.設(shè)稿件能通過各初審專家評(píng)審的概率均為0. 5,復(fù)審的稿件能通過評(píng)審的概率為0. 3.各專家獨(dú)立評(píng)審.(I) 求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(II) 記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求 X的分布列及期望.(19)(本小題滿分12分

8、)(注意：在試題卷上作答無效) 如圖，四棱錐 S-ABCD, SD 底面 ABCD AB/DC, AD DG AB=AD=1 DC=SD=2 E 為 棱SB上的一點(diǎn)，平面 EDC平面SBC.(I)證明：SE=2EB(n )求二面角 A-DE-C的大小(20)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效) 已知函數(shù) f(x) (x 1)ln x x 1 .(I)若xf '(x) x2 ax 1 ,求a的取值范圍；(n)證明：(x 1)f(x) 0 .(21)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效 ) 已知拋物線C:y2 4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)K( 1,0)的直線l與C相交于A、B

9、兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D .(I )證明：點(diǎn) F在直線BD上；uuir uuu 8(n)設(shè)FAgFB ,求 BDK的內(nèi)切圓M的方程.9(22)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效) 一一一1已知數(shù)列 an中，a1 1,an 1 c. an51一(I)設(shè)c -,bn ,求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；2 an 2(n)求使不等式anan 1 3成立的C的取值范圍2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國I卷) 理科數(shù)學(xué)試題(必修+選修n)參考答案a； bi 口 1 n-I A C.0) CI：lli D、選擇題 l-iA 口二、填空題二xjo E m M 2) _!5一!4,三.解答題

10、C17) 解:由耳+b = a cotH+Got3及正弦定理得 sinA-ksinB = cosA +cosB .HnA - cosA - cosB 一 sinE從而_. ?T. . JF門.sin-Acc>s - - cos A sm = cos 8 smrMjcosr所以X0<, + E v乃州 4 c A = B4 42C，2(18)解：(I )記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評(píng)審；B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評(píng)審；C表示事件：稿件能通過復(fù)審專家的評(píng)審；D表示事件：稿件被錄用.則D=A+B C,P(A) 0.5 0.5 0.25,P(B) 2 0.5 0.5

11、0.5, P(C)P(D) P(A BgC)=P(A) P(BgD)=P(A) P(B)P(C)=0.25+0.5 X0.3=0.40.0.3,(n) X B(4,0.4),其分布列為:0.1296,P(X 0) (1 0.4)4_ 13P(X 1) C4 0.4 (1 0.4)0.3456,P(X2)C42 0.42 (1 0.4)2 0.3456,_ 33P(X3) C4 0.4 (1 0.4) 0.1536,一4- 一P(X 4) 0.40.0256.期望 EX 4 0.4 1.6.(19) 解法一：(I)連接BD,取DC的中點(diǎn)G,連接BG,由此知 DG GC BG 1,即 ABC為直角

12、三角形，故 BC BD.又SD 平面ABCD,故BC SD, 所以，BC 平面BDS,BC DE.作BK EC,K為垂足，因平面 EDC 平面SBC ,故BK _L平面EDC, EC _LO況。匠與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK. BC部垂直DE _L平面SEC,DE _LEC,DE _LSB£5二衣序二的,“ 配32Da -二SB 出EB二而承二說二也甌二SB-/二巫 33所以，甌 (n)由 SA Jsd2 AD2 V5, AB 1,SE 2EB, AB SA 知22,12AE SA AB 1,又 AD=1 .,33故ADE為等腰三角形.取ED中點(diǎn)F,連接AF，則AFDE, AFA

13、D2 DF 2 6 .3連接 FG ,則 FG/EC,FG DE .所以， AFG是二面角 A DE C的平面角.:一2否連接 AG,AG= 2 , FG DG DF6 ,3cos AFGAF2 FG2 AG22gAF gFG所以，二面角A DE C的大小為120°解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 DA為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D xyz,設(shè)題,0,0)Tffll E(IJO) QQ2,0). S(0Q2).（；而- 2）交=（一110） 設(shè)平面S3C的法向量為口=由,c）.由r _1_前，用_1_ 西導(dǎo)n次=5罐芯=0故 28 =0,次 +3 = 0.令 口 = L 則占

14、=1,二 一 L 坪=（L L D，又俁SE二兔EB（鼻0）,則麗=1冷£翕其=如）世平面CDE的法向量m -）由 m DE,m DC ,得m DE 0, m DC 0,x y 2z故-0,2 y 0.111令 x 2,則 m (2,0,).由平面。區(qū)C J_平面SBC得用，用產(chǎn)小=。,2幾=02=2則 3/故m=2EB，2 2 2、1 ir：由（1）知£ .取中點(diǎn)f, （3 3 ”故瓦心礪=0由此得尸H_LZ；E一 2 4 n口又片。=（一.一二一）.故君CE£ = 0,由此得月CLAEi3 3 3于是向量成馬擊 的夾角等于二面角A - DE- C的平面角刊因（

15、7所以，二面角用D直C*的大小為3120.解：- x 11(I) f (x) ln x 1 Inx 一，xxf (x) xln x 1,2題設(shè)xf (x) x ax 1等價(jià)于In x x a.人，、，1令 g(x) In x x ,則 g (x) 1 x、一一 ' . 當(dāng) 0X x< 1, g(x)>0；當(dāng) x >1 時(shí)，g(x)w0, x 1 是 g(x)的最大值點(diǎn),-g(x)wg(1)1綜上，a的取值范圍是1,(n)有(i)知，g(x)<g(1)1 即 Inx x 1<0.當(dāng) CXx< 1 時(shí)，f (x) (x 1)ln x x 1 x In x

16、 (In x x 1)< 0；當(dāng)x21時(shí)，f (x) In x (xln x x 1),八1,、Inxx(ln x-1)x, 11)、lnxx(ln -1)xx>0所以(x 1)f (x)>0(21)解：設(shè) A(x1,y1), B(x2,y2), D(x1, y1), l 的方程為 x my 1(m 0).(I )將工=可一11弋人/ 二d工并整理得V - 4w+4 = 0，從而 M +必=4例,因仍二4直線的方程為G 一1】EP y洛=4 (>-?)名一乃 4令蚱口,怖二空二14所以點(diǎn)棄(。)在直線30上(H)由知，2x1 x2 (my1 1) (my2 1) 4 m

17、 2取2 (my1 1)(my2 1) 1.uuruir因?yàn)镕A (x1 1,yJ FB 乂 1佻)，4m2uur uurFA FB (x1 1)(x2 1) y1y2 x1x2 (x1 x2) 1 4 828故 8 4m ， 9-，-4斛得 m3所以l的方程為3x 4y 3 0,3x 4y 3 0又由知Y2 V1. (4m)2 4 43-7因而直線BD的方程為3x J7y 3 0,3 x J7y 3 0.因?yàn)镵F為 BKD的平分線，故可設(shè)圓心 M (t,0)( 1 t 1) , M (t,0)至M及BD的距離分叩出 3t I 3t 1別為!，I.54由 31tli3tli出倚t541，,八八，一,或t 9 (舍去)，9圓M的半徑r3t4所以圓M的方程為(x -)21鳥+i斗孑=4(4+1)，又 = i,狼耳二=1 3口1 - 2 y2 499(22)解=(【)k-2=92 =*2%21 所以14十£ 、 3是首項(xiàng)為-)，公比為二的等比數(shù)列I, 32a*01AB+i = -x4H-14*-i 2穌二一丁 i 三(n)4 1,a2 c 1,由 a2 a1 彳導(dǎo) c 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)