2020年湖南省A佳教育湖湘名校數(shù)學(xué)考試試卷答案解析(3月份)

1、第5頁（共15頁）2020年湖南省A佳教育湖湘名校數(shù)學(xué)考試試卷答案解析(3月份)一.選擇題(共12小題)1 .若集合A=x|xw 1,則滿足AA B = A的集合B可以是()A . x|x<0B , x|x<2C. xX>0D. xX>2【解答】解：滿足AAB = A, A?B,根據(jù)選項，B成立，故選：B.2 .若(4-mi) (m+i) > 0,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù) m的值為()A.-2B. - 4C. 4D. 2【解答】 解：( 4mi) (m+i) = 5m+ (4m2) i>0,fn00.一,即 m= 2.L 4-m =0故選：D .3 .已知向

2、量AB= (2, 2),正=(1, a),若前|=1,則忘澗=()A. 2B . 4C. 6D. 8【解答】解：EC=AC-AB= (- 1, a-2),由 |BC|=1,可得(-1) 2+ (a - 2) 2= 1,可得 a=2.則二？=2X 1+2X 2 = 6.4 .已知函數(shù)f (x) =2sin (必+1),若對于任意的xCR,都有f (x1) wf(x) wf (x2)成立,貝U |x1 x2的最小值為()A. 2B . 1C. 4D.-2JT【解答】解：由于函數(shù)f(x) =2sin (兀x+1)的周期為=2,對于任意xCR,都有f (x1)Wf (x) < f (x2)成立，

3、可知f (x1)是函數(shù)的最小值，f (x2)是函數(shù)的最大值，|x1 - x2|的最小值就是函數(shù)的半周2期三=1,5 .在圓M: x2+y2-4x- 4y- 1 = 0中，過點E （0, 1）的最長弦和最短弦分別為 AC和BD,則四邊形ABCD的面積為（）A. 6B. 12C. 24D. 36【解答】解：根據(jù)題意，圓 M: x2+y2-4x-4y-1 = 0即（x-2） 2+ （y-2） 2=9,其圓心為（2, 2）,半徑r=3,過點E （0, 1）的最長弦 AC為圓M的直徑，則AC|=6,最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦，且|ME|=也2口）2十2- ） 2則有 |BD |= 2x ,工 2T

4、ME | 2 = 4,又由ACXBD,則四邊形 ABCD 的面積 S= 2X Saabc=2X （Ax AC X BE） =12;2故選：B.6.“勾股定理”在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”.三國時期，吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角a干，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲100枚飛鏢,則估計飛鏢落在區(qū)域1的枚數(shù)最有可能是（B. 40C. 50D.60【解答】解：觀察這個圖可知:設(shè)大正方形的邊長為1,總面積為1,區(qū)域2的直角三角形的邊長分別為a

5、, b, c; (a< bvc)則 a = 1 x siH127T,b = 1 x cos ；12中間小正方形的邊長為b - a = co，中間小正方形的面積為:(COsi2-Sini2)2= 1 - 2siX co=1 sin6=0.5;，小正方形的面積與大正方形的面積之比為：義工=;P1 2現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲100枚飛鏢，則估計飛鏢落在區(qū)域1的枚數(shù)最有可能是 100X 二=50；2故選：C.227.已知拋物線 x2=- 4y的準線與雙曲線 二-2一=1 （a>0, b>0）的兩條漸近線圍成一個等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率是（）A.描B. 5C.近D. 2

6、22【解答】解：因為拋物線x2= - 4y的準線與雙曲線£-金一 =1 （a>0, b>0）的兩條漸2 近線圍成一個等腰直角三角形，所以雙曲線的兩條漸近線互相垂直,雙曲線的漸近線為 y= ±x即 a2= b2,8.已知二進制數(shù)1010化為十進制數(shù)為n,若（x+a） n的展開式中,x7的系數(shù)為15,則實數(shù)a的值為（）A-lB看C. 1【解答】解：根據(jù)二進制的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制的方法可得:D. 21010（2）=1X23+1 x21=10,（x+a） 10的展開式的通項公式為+1 = C10r?x10r?ar,令 10-r=7,求得 r = 3,可得 x7 的系數(shù)為 a

7、3?C103= 120a3=15, 可得：凸.故選：A.9.若兩個等差數(shù)列an , bn的前n項和分別為An、Bn,且滿足2n-lBn2n+la"+食7 +2,1 1則b5 + b9的值為（）B.15【解答】解:D.1322xa13 _3 X2X1：>1|_八B13 2 3X 1:111516 .故選：C.10.已知傾斜角為”的直線過定點（0,-2）,且與圓x2+ （yT）21相切,lj<cs2的值為（）A考B考C.【解答】解：由題意知0° & a< 180。且并90。，則直線斜率直線方程為 y+2 = kx,即kxy 2=0,圓心坐標（0, 1）

8、,圓心到直線的距離1-1-213Vlk2 V Itk2=1,2 | -則 sin2a= 一二si n 0( +co g Cltan2 口 81+ta / Q HS即 9=1 + k2,得 k2= 8,即 tan2 a= 8,故選：A.2sin a=11.已知四棱錐S-ABCD的所有頂點都在同一球面上,底面ABCD是正方形且和球心 O在同一平面內(nèi)，當此四棱錐體積取得最大值時，其表面積等于2+2/3,則球O的體積等于4n3B.C.16兀322兀3第11頁(共15頁)【解答】解：由題意，當此四棱錐體積取得最大值時，四棱錐為正四棱錐,該四棱錐的表面積等于2+2初,設(shè)球。的半徑為 R,則AC=2R, S

9、0= R,如圖,，該四棱錐的底面邊長為 AB=d5R,則有(6R)*十苗|勺。必=2+蓊,.r= i,得球o的體積是芻兀x33故選：A.12.已知函數(shù) f (x) =ax-lnx, x可1 , e的最小值為 3,若存在 xi, X2xnC1, e,使得fD. 5(X1) +f (x2)+f (xn-1) = f (xn),則正整數(shù)n的最大值為()A. 2B. 3C. 4【解答】解：求導(dǎo)，二靠界上， I JC當aw?；?<日(工時，f ( x) < 0在xq1, e恒成立, e從而 f (x)在1 , e單調(diào)遞減，f (x) min = f (e) = ae - 1 = 3,4 /1

10、 .解得a=一任(yq,一,不合題意， ee當二員<1時，易得f (x)在1,工)單調(diào)遞減，在(,。單調(diào)遞增, Q且注f(x)= 3，解得好 日"后上, 1)不合題意，丸in就ae當a>1時，f (x)在1, e單調(diào)遞增，所以f (x) min=f (1) = a=3>1,滿足題意,所以a=3,所以 f (x) = 3x lnx , x C1 , e,所以 f ( x) min= f (1) =3, f (x) max= f (e) = 3e 1,依題息有(n-1) f (x) min w f (x) max,即(n 1) 3W3e 1,得口(曰,又因為 n CN*

11、 ,所以nw 3,所以n的最大值為3,.填空題(共4小題)13 .已知實數(shù)x, y滿足不等式組, 2工仃-440,則z= log2 (x+y+1)的最大值為2Ly>0【解答】解：作出，2x+y-4< 0所對應(yīng)的可行域(如圖陰影) 、V。令t= x+y+1可得y= - x+t - 1,作出直線 y=-x,經(jīng)平移直線知，當直線過點C時，t= x+y+1取最大值，卜-心。?P=1.12x+y-4=0 1y=2C (1, 2)故1=*+丫+1的最大值為：4;，z= log2 (x+y+1)的最大值為：10g24 = 2故答案為：214 .我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面

12、積的“三斜求積”，設(shè) ABC的三個內(nèi)角 A, B, C所對的邊分別為a, b, c,面積為 S,則“三斜求積”公式為J222 空a2c2_,若 a2sinC=5sinA, (a+c)2=16+b2 則用“三斜求積”公式求得 ABC的面積為 2【解答】 解：a2sinC= 5sinA, . a2c= 5a,即 ac= 5.又(a+c) 2= 16+b2,a2+c2- b2= 6用“三斜求積”公式求得4ABC的面積S=2.故答案為：2.15 .某三棱錐的三視圖如圖所示，且圖中的三個三角形均為直角三角形，則x+y的最大值為16相視圖(1)若曲線C1在x=0處的切線與 C2在x=TV2處的切線平行，則

13、實數(shù)a=- 2【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:如圖所示：所以：x2= 28+100 - y2,整理得 x2+y2= 128,故(x+y) 2<2 (x2+y2) = 256,解得x+yw 16,當且僅當x = y=8時等號成立.ex-2x,曲線 C2： g (x) = ax+cosx,(2)若曲線C1上任意一點處的切線為11,總存在C2上一點處的切線12,使得1口12則實數(shù)a的取值范圍為"y<a<1【解答】解：(1) f' (x) =- ex-2,曲線C1在x= 0處的切線的斜率 k1 = f (0) =- 3,g' ( x) = a

14、- sinx,曲線C2在x=-處的切線的斜率 上廣g=:aT ,由題意，a= - 2;(2)曲線C1上任意一點處的切線的斜率 k廣 則與11垂直的直線的斜率為-0-e (0,),而過曲線C2上任意一點處的切線的斜率k2 = g' ( x) =a-sinxa- 1, a+1,fa-l<0由題意，|十1)口 解得邕4 1 故答案為：(1) -2; (2) -1<a<i,三.解答題(共24小題)17 .設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1,且 2an= an+1+an-1 (n>2), a3+a4=12.(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列-的前n項和.anan+2【解答】解：(

15、1)依題意，由2an=an+1+an 1 (n>2)可知數(shù)列an是等差數(shù)列.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a3+a4= ( a1+2d) + (a1+3d) =2+5d=12,解得d=2. .an=1+2 (n-1) = 2n- 1, nCN*. 由(1)知，一-q 一aiia rri-2 1) (.2n+3j4 2n-l 2n+3設(shè)數(shù)列-的前n項和為Tn,則 ananH-2丁 111 I 1 1 11 ITn+ +ala3 a2a4 a3a5 an-2an an-l an+l anan±2I(1-l)+ 4(-3_i)+ 4(5 4)+,"+露)卷-一點= (1+-

16、-)43 2n+l 2n+3|1n+13 (2n+l)(2n+W)18 .如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為直角梯形， AB/CD , ABXAD, PAL平 面ABCD, E是棱PC上的一點.(1)證明：平面 ADEL平面FAB;(2)若 PE=EC, F 是 PB 的中點，AD=代，AB = AP=2CD = 2,且二面角 F - AD - E的正弦值為xM,求入的值.10D 【解答】 解：(1)證明：由FAL平面ABCD, AD?平面ABCD,所以 FAXAD,又 ABXAD, FAAAB=A,所以 ADL平面 PAB,又AD?平面ADE,所以平面 ADEL平面PAB;(2

17、)以A為原點，AD, AB, AP分別為x, y, z軸建立空間直角坐標系，則 A (0, 0, 0), B (0, 2, 0), P (0, 0, 2), C (5/3, 1, 0), D (北，0, 0), F (0,1, 1),由(1)知，ADXPB,又 PBXAF,故 PBL平面 ADF , PB= (0, 2, - 2),k X , a/s 入 X - 2 入、 PE= c, 所以 peftPCEtt, 瓦五' W)， 所以 AE±AP4PE，(4,上，)，九+1 A +L A +1設(shè)平面ADE的法向量為yr工),廣frIin jc=02z ,得 m=(。，b與k&

18、#176;2二面角F - AD - E的正弦值為 力口，10所以 1cos同，即=,哂R y得入=1或4.19.已知橢圓 C:3彳/=1(a>b>0)的離心率為萼，直線l: x-y+2=0與以原點為a b2圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓 O相切.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在直線與橢圓 C交于A, B兩點，交y軸于點M (0, m),使忌+2通|=前-2位|成立？若存在，求出實數(shù) m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解答】解：(1)由已知得ca 2（a -b +c,解得b=x/2, c=V,.橢圓C的方程為(2)假設(shè)存在這樣的直線，由已知可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為y

19、= kx+m,ry=kK+m聯(lián)立,得（4k2+1）x2+8kmx+4m28= 0. = 16 (8k2 - m2+2) > 0CD ,設(shè)A(x1, y1), B (x2, y2),則2_k2y1y2= (kx1+m)(kx2+m)=k2i1i?-bkm(x1 -Hx9)+m3=£L-;， 1 J 4k2+l由（0A+20B |=|0A-2OE h得而1而，即而，屈=出即 x1x2+y1y2= 0,故8k2 = 5m2 - 8> 0,代入 式解得m >芻旦或m< -520.甲、乙兩位同學(xué)參加某個知識答題游戲節(jié)目，答題分兩輪，第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”，第二輪為“輪

20、流坐莊答題環(huán)節(jié)” ？首先進行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機抽出 3道題進行答題，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，已知甲能答對備選95道題中的每道題的概率都是 母，乙恰能答對第11頁（共15頁）備選5道題中的其中3道題：第一輪答題完畢后進行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”規(guī)則是：先確定一人坐莊答題，若答對，繼續(xù)答下一題，直到答錯，則換人（換莊）答下一題以此類推.例如若甲首先坐莊，則他答第1題，若答對繼續(xù)答第 2題，如果第2題也答對，繼續(xù)答第 3題，直到他答錯則換成乙坐莊開始答下一題，直到乙答錯再換成甲坐莊答題，依此類推.當兩人共計答完20道題

21、游戲結(jié)束，假設(shè)由第一輪答n道題也由該同學(xué)（最先答題得分期望高的同學(xué)在第二輪環(huán)節(jié)中最先開始作答，且記第題的同學(xué)）作答的概率為 Pn （1<n<20）,其中P1=1,已知供甲乙回答的 20道題中,甲，乙兩人答對其中每道題的概率都是,如果某位同學(xué)有機會答第n道題且回答正確則該同學(xué)加10分，答錯（不答視為答錯）則減 5分，甲乙答題相互獨立：兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問題.（1）請預(yù)測第二輪最先開始作答的是誰？并說明理由.（2）求第二輪答題中P2, P3；求證 小口一支為等比數(shù)列，并求 Pn （1<n<20）的表達式.),【解答】解：（1）設(shè)甲選出的3道題答對的道數(shù)為

22、巳則 廣（3,設(shè)甲第一輪答題的總得分為x,則x= 102-5 （3 - 9 = 15）15Ex= 15E 丁 15= 15X 3X15 = 15,設(shè)乙第一輪得分為 V,則y的所有可能取值為 30, 15, 0,則 P (y= 30)=1ioP (y= 15)=cjcjci10P (y= 0)=C式cl310第16頁(共15頁)1- y的分布列為:y30150p163101010Ey=3Q 乂白 15 義務(wù)QX 第=12Ex> Ey, 第二輪最先開始答題的是甲.(2)依題意得Pi=1, P2=P3=證明：依題意有Pn=Pn-1X+ (1 Pn- 1)(n>2),Pn -,/P1-2(

23、Pn-1)，n>2,.p -4-是以W為首項，以為公比的等比數(shù)歹u, 匕223p昌產(chǎn)1rn 2 2、 3,Pn=.(1WnW20).21.已知對數(shù)函數(shù)f (x)過定點P(Ve»(其中e= 2.71828)函數(shù) g (x) = n- mf'(x) - f (x)(其中f' ( x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，n, m為常數(shù)).(1)討論g (x)的單調(diào)性(2)若對？xC (0, +8)有 g (x) wn - m 恒成立，且 h (x) = g (x) +2x- n 在 x=x1,x2 (x1Wx2)處的導(dǎo)數(shù)相等，求證： h (x1) +h (x2) >7-2ln

24、2.代入得a=e,【解答】解：(1)令 f (x) = logax (a> 1 且 aw1),將方)所以 f (x) = lnx,得式算)=門-巫，求導(dǎo)，(翼)='=1mA(x> 0), MM工J當mW 0時，gz ( x) < 0在x>0時恒成立，即g (x)在(0, +8)單調(diào)遞減;當 m>0 時，g' ( x) > 0,則 0vxv m, g' (x) v 0,則 x>m,即g (x)在(0, m)單調(diào)遞增，在(m, +8)單調(diào)遞減;綜上，當mw0時，g (x)在(0, +00)單調(diào)遞減；當m>0時，g (x)在(0

25、, m)單調(diào)遞增，在(m, +8)單調(diào)遞減;(2)證明：因為 g (1) = n - m,而？xC (0, +oo),有 g (x) < n - m= g (1)恒成立知g (x)當x=1時有最大值g (1),由(1)知必有 m=1,所以式x) -T-lnx ,所以 h(x)=ga)+2x-n=2KT-1nx，恃力2-k=0依題意，設(shè)h ( x1)= h' (x2)= k,即,所以上十1 M1,所以x什x2=x1x2> 9, 4飛所以 x1x2>4,=2x1x2 - 1 - Inx 1x2,(2)已知點P ( - 2, 0),直線1交曲線C于A, B兩點，求1 1iWWl的值.【解答】解：(1)已知曲線C: 片 T+2cos 口y=2sinCL(a為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為 (x+1 )所以二I，：二i.三)二,二 三， -匚