論正交變換的理論基礎(chǔ)及其在圖像處理中的應(yīng)用

1、濱江學(xué)院計算機圖像處理課程設(shè)計報告 題 目 論正交變換的理論基礎(chǔ)及其在圖像處理中的應(yīng)用 專 業(yè) 12計算機科學(xué)與技術(shù) 學(xué)生姓名 學(xué) 號 二一五 年 六 月 十 日 目錄1課程設(shè)計目的12課程設(shè)計要求13 正交變換的概述13.1 信號的正交分解13.2 正交變換的定義23.3 正交變換的分類33.4 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基33.4.1 一維DFT的標(biāo)準(zhǔn)基33.4.2 二維DFT53.4.3 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基圖像63.5 正交變換在圖像處理中的應(yīng)用76 總結(jié)87 參考文獻81課程設(shè)計目的 (1) 理解正交變換的基本概念及分類。 (2) 了解正交變換在圖像處理中的應(yīng)用2課程設(shè)計要求（1）掌握課程設(shè)計的相關(guān)

2、知識、概念清晰。（2）查閱資料，根據(jù)不同處理需求，設(shè)計完成對數(shù)字圖像的處理與分析。（3）熟練掌握matlab軟件的基本操作與處理命令。（4）進一步理解數(shù)字圖像處理與分析的過程與意義。3 正交變換的概述 3.1 信號的正交分解完備的內(nèi)積空間稱為希爾伯特空間。折X 為一希爾伯特空間,1 ,2 , ,n 是X 空間中的一向量,如果它們是線性獨立的,則稱之為空間X 中的一組“基”。某一信號x 就可以按這樣的一組基向量作分解,即X= （式3-1） 式（3-1）中a1 , a2 , , an 是分解系數(shù), 它們是一組離散值。假設(shè)1 ,2 , ,n是一組兩兩互相正交的向量,則式(3-1) 稱為x 的正交展開

3、, 或正交分解。系數(shù)a1 , a2 , , aN 是x在各個基向量上的投影 ,若N=3 ,其含義如圖3-1 所示。 圖3-1 信號的正交分解3.2 正交變換的定義 一維序列 可以表示成一個N維向量 其酉變換可以表示為 或 ，其中變換矩陣A滿足（酉矩陣），若A為實數(shù)陣，則滿足，稱為正交陣。向量 由此，U可以表示為 或 可知，給定基向量 ，原序列f（x）可以由一組系數(shù)g（u）（）表示，這組系數(shù)（變換）可以用于濾波，數(shù)據(jù)壓縮，特征提取等。若矩陣 滿足：則矩陣A就成為正交矩陣。對于某向量f，用上述正交矩陣進行運算： 若要恢復(fù)f，則 以上過程稱為正交變換（酉變換）。 3.3 正交變換的分類正交變換總的可

4、分為兩大類,即非正弦類正交變換和正弦類正交變換。我們經(jīng)常使用的離散傅立葉變換(DFT) 、離散余弦變換(DCT) 、離散正弦變換(DST) 等屬于正弦類變換,其中還包括離散Hartley 變換(DHT) 及離散W 變換(DWT) 等。非正弦類變換包括Walsh Hadamard 變換(WHT) 、Haar 變換( HRT) 等。由于正弦類變換在理論價值和應(yīng)用價值上都優(yōu)于非正弦類變換,從而在正交變換中占據(jù)主導(dǎo)地位。除了正弦類和非正弦類正交變換,還有兩種特殊的正交變換,K-L變換和正交小波變換。K-L變換去除信號中的相關(guān)性最徹底,且有著最佳的統(tǒng)計特性,被稱為最佳變換。但是K-L變換的基函數(shù)依賴與原

5、始數(shù)據(jù),沒有固定的變換核,限制了它的普遍應(yīng)用。小波變換能夠具有很高的時頻分辨率,進行局部化分析,通過伸縮平移運算對信號進行多尺度細(xì)化,達(dá)到高頻處時間細(xì)分,低頻處頻率細(xì)分。但是小波正交基的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,具有緊支集的小波正交基不可能具有對稱性。隨著小波理論及算法的成熟,必將大有作為。3.4 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基傅立葉變換是正交變換中最常用的變換,以它為例來討論正交變換標(biāo)準(zhǔn)基具有普遍意義。3.4.1 一維DFT的標(biāo)準(zhǔn)基首先從傅立葉級數(shù)進行考慮。假設(shè)函數(shù)f ( t)滿足收斂定理,則函數(shù)f ( t) 的傅立葉級數(shù)為 （式3-2）a0 , a1 , b1 , 是函數(shù)f ( t) 的傅立葉系數(shù)。例如,一矩形波f (

6、 t) 是周期為2的周期函數(shù),在 -, 上 -1 -t0 （式3-3）1 0t由下式求得傅立葉系數(shù), （式3-4）得到矩形波f（t） 的傅立葉級數(shù)展開為:= （式3-5） 上面得到的展開式表明:矩形波是由一系列不同頻率的正弦波乘以一個權(quán)值疊加而成。這些波的頻率依次為基波頻率的奇數(shù)倍?？梢钥吹?求傅立葉系數(shù)的過程相當(dāng)于傅立葉變換的過程,把原始信號展開,相當(dāng)于傅立葉逆變換的過程。實際上,“任意”滿足收斂的一個波、一個信號都可以分解成無窮多個不同頻率的信號。這里說的這些無窮多的不同頻率的信號就是標(biāo)準(zhǔn)基波。在DFT中也是類似的意思。假設(shè)有限長序列f( x) ( x = 0 ,1 , , N - 1)

7、,一維DFT變換對如下:其中稱為變換核。將式（6）寫成矩陣形式F = W ·f 即: W 是正交變換矩陣, 矩陣元素是變換核函數(shù)不同次冪構(gòu)成。W 是正交矩陣,有W - 1 = W T ?？梢钥闯鯢( u) 是角頻率為2u/ N 信號的加權(quán)系數(shù),也就是它在原始信號中分量的大小。如此諸多標(biāo)準(zhǔn)基波乘以其各自系數(shù)再求和得到了原始信號,這也就是離散傅立葉反變換。3.4.2 二維DFT一幅數(shù)字圖像可以用一個二維矩陣來表示, f( i , j) 表示i 行j 列這個像素點的灰度值。數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。假設(shè)f ( x , y) ( x =0 ,1 , , M - 1 ; y = 0 ,1

8、 , , N - 1) 是一幅M ×N 圖像,則二維離散傅立葉變換為: u=0，1,M-1;v=0,1,N-1 （式3-9）逆變換為： x=0，1,M-1;y=0,1,N-1 (式3-10）其中，稱為正交變換核。在二維DFT中同樣可以將（式2-9）寫成矩陣形式： F = W ·f ·W T其中f 是原始的二維矩陣, F 是二維DFT 系數(shù)矩陣,W 是正交變換矩陣。從式(10) 就可以得到逆變換的矩陣形式,兩邊左乘W - 1 ,右乘W 得: （式3-11）因為整段數(shù)據(jù)或整幅圖像的相關(guān)性小,相對冗余度低, 所以如果對整段數(shù)據(jù)或整幅圖像進行DFT ,很難保證能量較大的系

9、數(shù)處在相對集中的位置。這不符合我們正交變換的目的。為了消除對整幅圖像進行DFT 帶來的大能量系數(shù)不能集中的問題,在實際應(yīng)用中一般都將圖像劃分為8 ×8 或16 ×16 的小方塊來做。一幅圖像在空間上作周期性變化, 則該周期的倒數(shù)稱為空間頻率。在圖像中, 空間頻率的大小表征圖像明暗變化的快慢, 決定著圖像的細(xì)節(jié)是否豐富 。灰度變化緩慢的區(qū)域頻率低, 而物體邊緣或噪聲對應(yīng)高頻。F( u , v) 表示在對應(yīng)( u ,v) 的頻率點的標(biāo)準(zhǔn)基上的分量大小。這里的標(biāo)準(zhǔn)基類似一維DFT 的標(biāo)準(zhǔn)基, 一維DFT 中標(biāo)準(zhǔn)基是特定頻率的波,在二維DFT 中每個標(biāo)準(zhǔn)基就應(yīng)該是一幅圖像,將在2.

10、4.3 節(jié)中詳細(xì)描述標(biāo)準(zhǔn)基圖像?？紤]二維離散傅立葉逆變換, IDFT 就是將原始圖像表示成各個標(biāo)準(zhǔn)基圖像的加權(quán)和。在圖像壓縮中常用的就是舍去能量小的標(biāo)準(zhǔn)基圖像,只取主分量。以此來達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。這樣壓縮后的圖像對視覺效果的影響一般不是很明顯,略去的只是細(xì)節(jié)。但如果舍去的閾值設(shè)置過高,就會造成圖像模糊。3.4.3 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基圖像由于DFT 得到的變換矩陣元素是復(fù)數(shù), mat-lab 圖像顯示工具不能顯示復(fù)數(shù)數(shù)值,所以選擇了DCT 為例來繪制標(biāo)準(zhǔn)基圖像。如前面的講述,取8×8 的小方塊來進行二維DCT 變換。假設(shè)F( u ,v) 對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)基圖像是N uv , 它也是8 

11、15;8 的二維矩陣。則有 （式3-12）設(shè)G= W T ,則式(2-12) 變?yōu)? f = G ·F ·W 。將右邊前兩個矩陣乘積展開有: （式3-13）這里的G( i , :) , f ( : , j) 表示G的第i 行與F的第j 列所有元素對應(yīng)相乘再求和。實際上就是矩陣相乘得到新矩陣中在( i , j) 位置的元素。即: （式3-14）再設(shè)T = W T ·F, 則f ( X , Y ) 中任意位置( x0， y0 ) 的值有: （式3-15）將上式與式(2-12) 比較可以發(fā)現(xiàn), 這里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置對應(yīng)頻率上的分量, G(

12、x0 ,j)·W(j,y0)就是F( i ,j)對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)基圖像Nij 中(x0 ,y0)位置的元素數(shù)值,即: （式3-16）其中i 從1 到8 ,j 從1 到8 得到64個標(biāo)準(zhǔn)基圖像的二維矩陣, 每個矩陣中又有x0 從1 到8 ,y0 從1到8 得到8×8 個矩陣元素。經(jīng)過上面討論,得到了標(biāo)準(zhǔn)基圖像的表達(dá)式。圖2 就是8×8 二維DCT變換中的標(biāo)準(zhǔn)基圖像。圖2-2 8×8 二維DCT標(biāo)準(zhǔn)基圖像可以看出,只要給定了變換核函數(shù)或變換矩陣就可以得到標(biāo)準(zhǔn)基圖像。有了標(biāo)準(zhǔn)基圖像,就可以更直觀地將正交變換理解為對原始圖像在諸多標(biāo)準(zhǔn)基圖像上的分解。通過對權(quán)值矩陣的處

13、理即變換域處理,達(dá)到圖像處理的目的,得到新的權(quán)值矩陣再反變換得到處理后的圖像。實際上可以把標(biāo)準(zhǔn)基圖像作為一個抽象概念應(yīng)用到所有的二維正交變換中,并不局限于上面顯示的二維DCT。3.5 正交變換在圖像處理中的應(yīng)用窗體頂端窗體底端正交變換研究已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個領(lǐng)域，它的重要方面是圖象和信號處理?，F(xiàn)今，信號處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構(gòu)(或恢復(fù))。從數(shù)學(xué)地角度來看，信號與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號處理(圖象可以看作是二維信號)，小波分析的許多分析和

14、應(yīng)用問題，都可以歸結(jié)為信號處理問題。現(xiàn)在，對于其性質(zhì)隨時間是穩(wěn)定不變的信號（平穩(wěn)隨機過程），處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的（非平穩(wěn)隨機過程），而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。事實上正交變換的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處

15、理方面的圖象壓縮、分類、識別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高分辨率等。 (1)用于信號與圖象壓縮是一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖象的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾?；谛〔ǚ治龅膲嚎s方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。 (2)在信號分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱信號、求分形指數(shù)、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。 (3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括計算機視覺、計算機圖形學(xué)、曲線設(shè)計、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。圖像的正交變換作為圖像處理技術(shù)的重要工具, 通過正交變換改變圖像的表示域及表示數(shù)據(jù), 給圖像處理工作帶來了極大的方便。利用這個工具, 可以對 圖像的頻譜進行各種各樣的處理, 如濾波、降噪等。由于傅里葉變換和余弦變換的變換核由正