空間直線異面關(guān)系的判定與度量

1、幾何精練空間直線異面關(guān)系的判定與度量考點(diǎn)動(dòng)向空間直線的位置關(guān)系，除了初中就熟悉的相交與平行外，立體幾何中新增加了異面關(guān)系，這部分是立體幾何的傳統(tǒng)重點(diǎn)知識(shí)，從客觀小題到解答大題都會(huì)涉及到，有對(duì)異面關(guān)系的判定問(wèn)題，也有對(duì)異面程度的度量問(wèn)題，涉及異面成角與異面直線間的距離，這些問(wèn)題可以充分考查考生的空間想象能力， 解題方法主要是平移直線與借助直線的方向向量等，可以預(yù)測(cè)考查空間異面直線的問(wèn)題仍將保持熱度.方法范例故可以利用幾何體的性質(zhì)，構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系,例如圖11,已知兩個(gè)正四棱錐P - ABCD與Q - ABCD的高分別為1 和 2, AB = 4 -(I)證明PQ _平面ABCD ;(n)求異面

2、直線 AQ與PB所成的 角；(川)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.解析 本題設(shè)置的三問(wèn)，有證有算， 由于已知為兩個(gè)同底的正棱錐組合而成的，借助向量解答，對(duì)于求異面直線所成的角，也可利用定義實(shí)施平移解答.解法1(I)連結(jié)AC, BD，設(shè)AC|BD 9 .因?yàn)镻-ABCD與Q- ABCD都是正四棱錐，所以 P0 _平面ABCD , Q0 _平面ABCD 從而P, O, Q三點(diǎn)在一條直線圖1 2上，所以PQ _平面ABCD .(II)由題設(shè)知， ABCD是正方形，所以AC _ BD 由(I), PQ _平面ABCD，故可分別以直線CA, DB, QP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖12)由題設(shè)條

3、件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 P(0,01) , A(2Q0,0, Q(0,0, 2), B(0,2Q,0).所以 AQ =(一2 J2,0, _ 2),PB =(0,2 /2, -1) 曰是 COS :忌亂噩再-從而異面直線3AQ與PB所成的角是arccos 9(III)由(II)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)是(0, 2Q0), AD=(_2T2_2庖,0)花=(0,0, _3),設(shè) n =(x, y,z)是平面QAD的一個(gè)法向量，由二0得Vx z = 0nL_AD = 0取x =1，得n =(1, -1, -、.2) 所以點(diǎn)P到平面QAD的距離d二TQM3/2M，連結(jié) PM , QM 因?yàn)?P-ABCD

4、與 Q- ABCD 都是正四棱錐，A_D,P _ M從而PQM 又PQ平面P Q(I)取AD的中點(diǎn)解法2所AD _平面M，所以P Q_ A D同理PQ _ AD，所以PQ _平面 ABCDPABHQ圖13(II)連結(jié) AC, BD，設(shè) AC CB3 O由PQ _平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P, A Q, C四點(diǎn)共面.PO取OC的中點(diǎn)N，連結(jié)PN .因?yàn)镺QNONOAQ2' OAOC=1，所以尸°2OQ凹，從而OA/ PN, Z BPN (或其補(bǔ)角)是異面直線 AQ與PB所成的角.連結(jié)BN 因?yàn)镻B = OB2 OP2 = (2、. 2)2 1 = 3 PN

5、 = ,ON2 OP2BN=，OB2 ON2 - (2、2)2 (2)2 = ,10 從而異面直線 AQ與PB所成的角是arccos 所以 cosZ BPN=PB2 PNBN29 3T°32PBJPN2 3.399(III)由(I)知，AD _平面PQM ,所以平面QAD _平面PQM .過(guò)P作PH _ QM于H，貝U PH 平面QAD，所以PH的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面QAD的距離.連結(jié) 0M，因?yàn)?OM = AB =2 =OQ ，所以/ MQP =45° .又 P Q P O C30 于是 2P H= PsQ n 4二.即點(diǎn)P到平面QAD的距離是 土2 .2 2規(guī)律小結(jié)(1) 涉

6、及異面直線的求夾角與距離的問(wèn)題，求距離在高考最新大綱要求下，只要能解決異面直線的公垂線已知的問(wèn)題，只需要記住異面直線的公垂線是和它們均垂直且相交的直線即可因此，求異面直線的夾角是很重要的問(wèn)題，主要借助異面直線夾角的定義進(jìn)行，注意定義中平移的不確定性使問(wèn)題的解法多樣化，常見(jiàn)的有外移，內(nèi)移，補(bǔ)形等方法注意平移的好壞取決于是否有利于第二步構(gòu)造三角形求角.(2) 借助直線的方向向量求異面直線的夾角，注意選取點(diǎn)的坐標(biāo)要容易確定，向量的夾角可以是鈍角，而異面直線的夾角只能是銳角或直角.有時(shí)，也可以借助基向量的方法解答，而不是建立空間直角坐標(biāo)系解答.考點(diǎn)誤區(qū)分析(1)注意第一步的平移十分重要， 不可隨意而作

7、，否則往往會(huì)帶來(lái)繁雜的運(yùn)算， 要注 意實(shí)施多次嘗試平移， 尋找最佳解題方案，此類問(wèn)題顯然需要構(gòu)造輔助線解答， 充分考查考 生的空間想象能力，一般若平移能夠很好解決， 可以不考慮運(yùn)用向量的方法. 當(dāng)借助直線的 方向向量解決時(shí)，若不是特殊角，注意借助反三角函數(shù)表示角的基本知識(shí).(2 )向量之間的夾角公式COST = *b求出的可能是鈍角，不妨直接利用|a|b|cos i| .而若成角為直角，有時(shí)也用證明代替求解的特殊方法.如對(duì)正四面體|a|b|ABCD，求直線AB與CD所成的角，容易證明它們互相垂直，則成角為90 .同步訓(xùn)練1.已知二面角a - l- b的大小為60 , m, n為異面直線，且a、

8、n b，則m, n所成的角為(A) 30°(B) 60°(C)90°2.在四棱錐P - ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的 菱形.Z DAB二60，對(duì)角線 AC與BD相交于點(diǎn) O , PO丄平面ABCD , PB與平面 ABCD所成 角為60 .(1) 求四棱錐P - ABCD的體積；(2) 若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線 DE與PA所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).3 如圖5所示，AF, DE分別是 L O, _的直徑，AD與兩圓所在的平面均 垂直，AD =8 . BC是O的直徑， AB二 AC6 , OE / AD .(1) 求二面角 B - AD - F的大小

9、；(2) 求直線BD與EF所成的角.4 .如圖，四面體 ABCD中，O , E分 別是 BD , BC 的中點(diǎn)， C A C B =C2 , DAB 二 ADD.2 .(1) 求證：AO丄平面BCD ;(2) 求異面直線 AB與CD所成角的大??；(3) 求點(diǎn)E到平面ACD的距離.(D)120°圖1 5FC1.解析直接作草圖或想象，不難得出夾角為60°,注意120°的干擾.參考答案答案(B).2.解析對(duì)(1),底面菱形的形狀確定，實(shí)際是兩個(gè)正三角形拼接成的，求出其1面積，再根據(jù)已知的線面角求出高， 則借助錐體的體積公式 VSh可得；對(duì)(2)，以O(shè)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線O

10、B, OC，OP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.求出DE與AP的夾角即為所求.或者，取 AB的中點(diǎn)F，連接EF, DF , ZFED是異面直線DE與PA所成角（或它的補(bǔ)角），在 FED中解出該角即可.答案(1)2；(2)arccos-43 .解析對(duì)（1）,可知.BAF即為所求平面角；對(duì)（2）,可以0為原點(diǎn)，BC,AF,OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，確定bd/fE的坐標(biāo)即可求出.V82答案(1)45 ; (2) arccos一104.解析對(duì)（1）,可證 AO _ BD, AO _ 0C ；對(duì)（2），取 AC的中點(diǎn)M ,直線0E與EM所成的銳角就是異面直線 AB與CD所成的角.對(duì)（3），由Vecd二Vade可得.（