2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1.2數(shù)列的遞推公式(選學(xué))學(xué)案新人教B版必修

1、2.1.2數(shù)列的遞推公式（選學(xué)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解遞推公式是數(shù)列的一種表示方法2 能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng) 3 掌握由一些簡(jiǎn)單的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法.戸預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)聾挑戰(zhàn)亙我點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)_知識(shí)鏈接1.數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中的元素進(jìn)行對(duì)比，數(shù)列中的項(xiàng)具有的性質(zhì)有_.答案（1）確定性；（2）可重復(fù)性；（3）有序性；（4）數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù).2數(shù)列的項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的序號(hào)能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？類比函數(shù)的表示方法，想一想數(shù)列有哪些表 示方法？答案 數(shù)列的項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的序號(hào)能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系數(shù)列的一般形式可以寫成：a1,a2,a3,，勿，.除了列舉法外，數(shù)列還可以用公式法、列表法、圖象法來表示.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1遞推公式如果已知數(shù)列

2、的第 1 項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示， 那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.2. 數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有列舉法、通項(xiàng)公式法、圖象法、列表法、遞推公式法.h 課堂講義聾 重點(diǎn)難點(diǎn).個(gè)個(gè)擊破_要點(diǎn)一由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)例 1 已知數(shù)列an滿足下列條件，寫出它的前5 項(xiàng)，并歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)a1= 0,an+1=an+ (2n 1);2ana1=1，an+1=a+2.解(1)Ta1= 0,an+1=an+ (2n 1), a2=a1+(2x11)=0+1=1；a3=a2+(2x21)=1

3、+3=4；a4=a3+(2x31)=4+5=9；a5=a4+(2x41)=9+7=16.故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an= (n 1)2.22ai22a21/.a2=,a3=_,2 +ai3，2 +a22，2a322a41a4= 一，a5=2 +a352 +a43、 2 12 1 它的前 5 項(xiàng)依次是 1, 3， 2，5, 3.2 2 2 2 2它的前5項(xiàng)又可與成 1+1，2+1，3+1，4 + 1，5+1，2故它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=.n+ 1規(guī)律方法(1)根據(jù)遞推公式寫數(shù)列的前幾項(xiàng)，要弄清公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可.(2)若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形

4、式；若知道的是 末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式.召=1 n= 1,跟蹤演練 1 設(shè)數(shù)列an滿足1.an=1+ n興an111解由題意可知a1= 1,a2= 1 + = 1 + ：= 2,a1111312a3= 1 + 一= 1 +=;,a4= 1+一 = 1 +-=a222a3313a5=I+=1+5=要點(diǎn)二由遞推公式求通項(xiàng)n1例 2 已知數(shù)列an滿足：a1= 1,2an=an-1(n N,n2).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；In21211(2).()(；)i ai= 1,an+1=2an2+an，寫出這個(gè)數(shù)列的前 5 項(xiàng).31=(2)n-11=(2)1+2+(n-1)

5、(n)n丄 h2(2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始及其以后各項(xiàng)均小于1 ?1 000 ”anan1解(1)an=arr 不a3a2(n)n4n-1n1121(2)tbn=2=2(n-2)-8,n N+時(shí)，bn遞增，即an為遞減數(shù)列,1從第 5 項(xiàng)開始各項(xiàng)均小于1 000規(guī)律方法由遞推公式求通項(xiàng)公式的技巧(1) 由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式是數(shù)列的重要問題之一，是高考考查的熱點(diǎn)，累加法、累乘法、迭代法是解決這類問題的常用技巧.(2) 當(dāng)anan-1=f(n)且滿足一定條件時(shí)，常用an= (aan-1) + (an-1an-2) + (a2a)+a1來求an.an. ,anan1a3a2(3) 當(dāng)=f(n)

6、且滿足一定條件時(shí)，常用an=. a1來求an.an1an1an2a2a122跟蹤演練 2 已知數(shù)列an,a1= 1,以后各項(xiàng)由an=an-1+(n2)給出.n n丄(1) 寫出數(shù)列an的前 5 項(xiàng)；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.小1315解(1) a1=1；a2=a1+2X1=2；a3=a2+3X2 =3；當(dāng)nw4時(shí)，n-n十W6,當(dāng)n5時(shí),n-1n210,an=(n J)n21w-1 024 -a4=a3+14X3(2)由an=an-1+1e1得an-an-1=(n2)，25an= (anan-1) + (an-1-an-2) + (a3-a2)+ (a2ai) +ai11 11 1 1 1

7、=(百n)+(n-2 n-1)+(2-3)+(12)+1112n- 1-1+1+1=2 1=(nCN+)-要點(diǎn)三數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用n n-1+n-1 1+3X2+2X1+126例 3f(x)= log2X ggggx x(0 x1)，且數(shù)列an滿足f(2an)= 2n(nN+).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；判斷數(shù)列an的增減性.解 f(x) = log2X jog，又f(2an)= 2nma22* * log22n= 2n,即an = 2n.log22%an整理得an2 2nan 2= 0,*an=nn2+ 2.又 0 x1，故 02an1，于是an0,* an=nn2+2(nN+). an

8、an,*數(shù)列an是遞增數(shù)列.規(guī)律方法 數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，用函數(shù)與方程的思想處理數(shù)列問題.在判斷數(shù)列 單調(diào)性時(shí)，可以用作差法或作商法.n N+,n為奇數(shù) ，nN+,n為偶數(shù) I數(shù)列an的通項(xiàng)an=f(1) +f(2) +f(3) +f(2n)(n N).(1) 求a1,a2,a的值；寫出an與an1的一個(gè)遞推關(guān)系式(注：1 + 3+ 5 + (2n 1) = 4n1).解(1)a1=f(1) +f(2)=f(1) +f(1) = 2.a2=f(1) +f(2) +f(3) +f(4)=f(1) +f(3) +f(1) +f(2)=1 + 3 +a1= 6.a4=f(1) +f(2) +f(3

9、) +f(16) = 86.n1(2)an1=f(1) +f(2) +f(2),an=f(1) +f(2) +f(2n),an+1Mn+ .n+nn2+2n+n2+ 2n+1 +n+12+21.an的跟蹤演練 3函數(shù)f(n) =nfn27=f(1) +f(3) +f(5) +f(2n 1) +f(2) +f(4) +f(6) +f(2n)=1 + 3 + 5+-+ (2n 1) +f(1) +f(2) +f(3) +f(2n1),8n1 ,、 an=ani+ 4 (n2).戸當(dāng)堂檢測(cè)J當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功_1.數(shù)列 1,3,6,10,15，的遞推公式是()A. an+1=an+n,nN+B.an

10、=an-1+n,nN+,n2C. an+1=an+(n+ 1),nN+,n2D. an=an1+ (n 1),nN+,n2答案 B2.已知數(shù)列an滿足a1= 2,an+1an+ 1 = 0(n N+)，則此數(shù)列的通項(xiàng)an等于()2A.n+ 1B.n+1C. 1 nD. 3n答案 D解析an+1an= 1. -an=a1+ (a2 a + (a3az) + (anan1) = 2+ ( 1) + ( 1)+ +(1)=2+(1)x(n1)=3n.3.用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系式可以是答案an= 2n+ 1解析a1= 3,a2

11、= 3+ 2 = 5,a3= 3+ 2 + 2 = 7,a4= 3+ 2 + 2 + 2= 9,，an= 2n+ 1.4.已知：數(shù)列an中，a1= 1,an+1= ann+ 1(1) 寫出數(shù)列的前 5 項(xiàng)；(2) 猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式.猜想：an=n課堂小結(jié)1.遞推公式的理解與應(yīng)用 (1)與所有的數(shù)列不一定都有通項(xiàng)公式一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.(2)遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法，遞推公式和通項(xiàng)公式一樣都是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的恒9等式，如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n,就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).(3) 遞推公式通過賦值逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出數(shù)列的任何一項(xiàng)和所需的項(xiàng).(4) 運(yùn)用遞推法給出數(shù)列，不容易了解數(shù)列的全貌，計(jì)算也不方便，所以我們經(jīng)常用它得出 數(shù)列的通項(xiàng)公式或者得到一個(gè)特殊數(shù)列，比如具有周期性質(zhì)的數(shù)列.2數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式的作用和聯(lián)系通項(xiàng)公式遞推公式作用通項(xiàng)公式是給出數(shù)列的主