2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題文(全國卷1,含答案)

1、絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學本試卷共5頁，滿分150分?？忌⒁猓? 答卷前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上?？忌J真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3 考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的。A.X1 ,X2,，X

2、n 的平均數(shù)B.X1,C.X1,X2,，Xn的最大值D.X1,3 .下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是A. i(1+i) 2B. i2(1-i)C.4 .如圖，正方形 ABC內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖X2,，Xn的標準差X2,Xn的中位數(shù)(1+i) 2D. i(1+i).正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形1 .已知集合 A= x|x 2 , B= x|3 2x 0，則3A. AI B= x|x2B. AI B3C. AU B x|x -2D. AU B=R2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了 n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為X1, X2，,Xn，下面給出的指標中可以

3、用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是的中心成中心對稱在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A. 1B. nC. 1D.n48245.已知F是雙曲線C： x2-2M=1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1,3).則厶APF3的面積為A1f1c2r 3A.B.C.-D.-32326 .如圖，在下列四個正方體中,A B為正方體的兩個頂點,M N, Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQT平行的是A-MA. f (x)在(0,2 )單調(diào)遞增B. f(x)在(0,2 )單調(diào)遞減x 3y 3,7 .設(shè)x，y滿足約束條件x y 1,則z=x+y的最大值為y

4、 0,A. 0B. 1C. 2D. 38.函數(shù)ysi n2 x1 cosx的部分圖像大致為9.已知函數(shù) f(x) lnx ln(2 x)，則C. y= f (x)的圖像關(guān)于直線 x=1對稱D. y=f(x)的圖像關(guān)于點(1,0 )對稱10.如圖是為了求出滿足 3n 2n和兩個空白框中,可以分別填入A. A>1000 和 n =n+1B. A>1000和 n=n+2". ABC的內(nèi)角 A B C的對邊分別為 a、b、c。已知si nBsin A(sinC cosC) 0 , a=2, c=、2 ,則C=nnnnA.B.C.D.1264312.設(shè)A、B是橢圓C:2 21長軸的

5、兩個端點，右C上存在點M滿足/ AMB120。，貝U m的取值范圍3 m是A.(0,1U9,)B.(0. 3 U9,)C.(0,1U4,)D.(03U4,)C. Aw 1000 和 n =n+1D. A< 1000 和 n=n+2二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13. 已知向量a=(- 1,2),b=(m1).若向量a+b與a垂直，則n=.2 114. 曲線y x 在點(1 , 2)處的切線方程為 .Xnn15 .已知 a (0,)，tan a =2，則cos (一)=。2416.已知三棱錐 S-ABC的所有頂點都在球 O的球面上，SC是球O的直徑。若平面 SCAL平面

6、SCB SA=ACSE=BC三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為 1721題為必考題，每個試題考生三、解答題：共 70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17. （ 12 分）記S為等比數(shù)列an的前n項和，已知 $=2, S3=-6.（1）求an的通項公式；（2） 求S,并判斷S+i, S, S+2是否成等差數(shù)列。18. （ 12 分）如圖，在四棱錐 P-ABC中，AB/CD,且 BAP CDP 90°（1）證明：平面 PABL平面PAD8（2） 若PA=PDAB=DC APD 90

7、76;,且四棱錐P-ABCD勺體積為-，求該四棱錐的側(cè)面積319. （ 12 分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件,測量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得 X 丄 x 9.97, s , 1 (X X)2 . 1 (x2 16x2) 0.212,16 i 1Y16i1Y16i

8、1(i8.5)21618.439,(Xi X)(i 8.5)i 12.78，其中Xi為抽取的第i個零件的尺寸，i 1,2,16 .（1）求（Xi,i） （i 1,2,16）的相關(guān)系數(shù)r ,并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小（若| r | 0.25，則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。?2) 一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(x 3s,x 3s)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.(i) 從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？(ii) 在(x 3s, x 3s

9、)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01 )n(x x)(y y)附：樣本(x，yj(i 1,2,n)的相關(guān)系數(shù) r nn, , 0.0080.09 .(嚴 x)Yi1(y v)220. ( 12 分)2設(shè)A, B為曲線C: y=上兩點，A與B的橫坐標之和為4.4(1) 求直線AB的斜率；(2) 設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線 AB平行，且 AM BM求直線 AB的方程.21 .( 12 分)已知函數(shù) f (x) =ex(ex- a) - a2x.(1) 討論f (x)的單調(diào)性；(2) 若f (x)0，求a的取值范圍.(二

10、)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選-題作答,如果多做，則按所做的第一-題計分。22.選修 44:坐標系與參數(shù)方程(10 分)在直角坐標系xOy中，曲線 C的參數(shù)方程為x 3cosy sin ,(e為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為x a 4(t為參數(shù))y 1 t,(1) 若a=-1，求C與I的交點坐標；(2) 若C上的點到l的距離的最大值為,17，求a.23.選修4 5:不等式選講(10分)已知函數(shù) f (x) = - x2+ax+4, g (x) = I x+1 I + I x - 1 I .(1) 當a=1時，求不等式f (x)> g (x )的解集；(2) 若不等式f (x

11、)> g (x)的解集包含-1, 1，求a的取值范圍2020年咼考新課標1文數(shù)答案1. A2. B3. C4. B5. D6. A7. D8. C9. C10. D11. B12. A13.714. y X 115.3 101016. 36 n17.（12 分）【解析】（1）設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得4(14(1q)2q2)解得 q 2 , a12 .故%的通項公式為an（ 2）n.（2）由（1）可得Snq(1 qn)1 q2n 1由于Sn 2 Sn 12n 3(1)n-2n232n1亡1-2Sn，故Sn 1，Sn，Sn 2成等差數(shù)列.PD.18.（12 分）【解析】（1）由已知 /

12、BAP / CDP 90，得 AB AP , CD由于AB /CD，故AB PD，從而AB 平面PAD .又AB 平面PAB，所以平面 PAB 平面PAD .（2）在平面PAD內(nèi)作PE AD，垂足為E .19.（ 12分）【解析】（1）由樣本數(shù)據(jù)得（xi,i）（i1,2丄,16）的相關(guān)系數(shù)為16以 x)(i 8.5)2.78(x X)216(i 8.5)2i 1 0.18.0.212,16 18.439由（1）知，AB 平面PAD，故AB PE ,可得PE 平面ABCD.設(shè)ABx，則由已知可得AD.2x,PE2x .2故四棱錐PABCD的體積V1ABCDABAD PE13x .33由題設(shè)得1x

13、38，故 x 2.33從而PAPD 2 , AD BC2.2 ,PBPC2 2可得四棱錐1P ABCD的側(cè)面積為1 PAPD-PA112廠AB - PD DC -BC2sin 606 2 3222 2由于|r |0.25，因此可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。?）（ i）由于x 9.97, s 0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在（x 3s, x 3s）以外,因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查1（ii ）易V除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為一（16 9 97 9 22） 10 02，這條生產(chǎn)線當天15生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10

14、.02.16x216 0.2122 16 9.9721591.134 ,i 1剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為丄（1591.134 9.222 15 10.022） 0.008 ,15這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的標準差的估計值為,0.0080.09 .20. (12 分)解:(1 )設(shè) A(Xi, yi)，B(X2, y2),貝V x.于是直線AB的斜率k yi y2仝竺Xi X242(2 )由 y 2L，得 y' 1422X12X2X2 , y1 , y2X1+X2=4,441.設(shè)M（X3, y3）,由題設(shè)知蘭1，解得X3 2，于是M（2, 1）設(shè)直線AB的方程為y xm，故

15、線段AB的中點為N (2, 2+n), | MN=| n+1|.22 X2將y x m代入y 得x 4x 4m 0.4當 16(m 1)0,即 m 1 時，x,22 2Jm 1 .從而 |AB|=.2|X1 X2 | 4. 2(m 1).2(m 1)，解得 m 7.由題設(shè)知 | AB | 2| MN |，即 4 2(m 1)所以直線AB的方程為y x 7 .21.(12分)(1)函數(shù) f (x)的定義域為(，)，f (x) 2e2x aex a2 (2ex a)(ex a),(2)若 a 0，則 f (x)e2x，所以 f (x)0.若a0 ,則 f (x) e2X，在（7）單調(diào)遞增.若a0，

16、則由f （x）0得xln a當x (,ln a)時，f (x) 0 ;當X(ln a,）時，f (x)0,所以 f(x)在(,lna）單調(diào)遞減，在(ln a,）單調(diào)遞增.若a0，則由f （x）0得xln(-).2當x (,ln( 0-)時，f (x)0 ； 當t x (ln(旦），）時，f （x）0，故 f （x）在（,ln（旦）單調(diào)遞222減，在（ln（亍），）單調(diào)遞增.若a 0，則由（1）得，當x Ina時，f（x）取得最小值，最小值為f（| n a）a21 na.從而當且僅當a21n a 0 ,即 a 1 時，f (x)0.oa2a若a 0,則由(1 )得，當x ln()時，f(x)取得

17、最小值，最小值為f(l n()a2ln().22423a從而當且僅當a 4 |n( -)0，即 a32e4時 f(x) 0.3綜上，a的取值范圍為2e4,1.22.選修4-4 :坐標系與參數(shù)方程(10分)2解：(1)曲線C的普通方程為y2 1.9當a 1時，直線I的普通方程為x 4y 30.x 4y 30解得21252425從而C與I的交點坐標為(3,0)，(21 2425,252(2)直線l的普通方程為x 4y a 40,故C上的點(3cos ,sin )到I的距離為13cos4sin a 4 |.174時，d的最大值為a 9.由題設(shè)得a 9 A7，所以a 8 ；、17174時，d的最大值為I1 .由題設(shè)得 A1;17*1717，所以 a16.綜上,