(完整版)微專題-圓錐曲線中的最值問題(解析版)

1、專 題 30 圓錐曲線中的最值問題【考情分析】 與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題，因其考查的知識(shí)容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成 為高考命題者青睞的一個(gè)熱點(diǎn)。江蘇高考試題結(jié)構(gòu)平穩(wěn)，題量均勻每份試卷解析幾何基本上是 1 道小題和 1 道大題，平均分 值 19 分，實(shí)際情況與理論權(quán)重基本吻合；涉及知識(shí)點(diǎn)廣雖然解析幾何的題量不多，分值僅占總 分的 13%，但涉及到的知識(shí)點(diǎn)分布較廣，覆蓋面較大；注重與其他內(nèi)容的交匯。圓錐曲線中的最值 問題，范圍問題都是考查學(xué)生綜合能力的載體俗話說：他山之石可以攻玉在研究這幾年外省新 課程卷解析幾何試題時(shí)，就很有啟發(fā)性比如 2010 年安徽卷理科 19 題，該題入題口

2、寬，既可用傳 統(tǒng)的聯(lián)立直線與曲線，從方程的角度解決，也可利用點(diǎn)在曲線上的本質(zhì)，用整體運(yùn)算、對稱運(yùn)算的 方法求解再比如 2011 年上海卷理科 23 題，主要涉及到中學(xué)最常見的幾個(gè)軌跡，通過定義點(diǎn)到線 段的距離這一新概念設(shè)置了三個(gè)問題，特別是第三問，呈現(xiàn)給學(xué)生三個(gè)選擇，學(xué)生可根據(jù)自已的實(shí) 際情況選擇答題，當(dāng)然不同層次的問題，評分也不一樣，體現(xiàn)讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā) 展【備考策略】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不 等式（組），通過解不等式

3、組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè) 函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思； 【激活思維】221已知雙曲線 x2 y2 1（ a0, b0） 的右焦點(diǎn)為 F，若過點(diǎn) F且傾斜角為 60的直線與雙曲 a2 b2線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 2, ）222 P 是雙曲線 x y 1 的右支上一點(diǎn)，9 16的點(diǎn)，則 |PM|PN| 的最大值為 72 2 2 2M、N分別是圓 （x5）2y24 和（x5）2y21 上2

4、43拋物線 y=-x 2 上的點(diǎn)到直線 4x+3y-8=0 距離的最小值是 4 34已知拋物線 y2=4x, 過點(diǎn) P（4,0） 的直線與拋物 線相交于 A（x1,y 1）,B（x 2,y 2） 兩點(diǎn)，則 y12+y22 的最小值是 32 .5已知點(diǎn) M（-2 ， 0） ， N（2,0） ，動(dòng)點(diǎn) P滿足條件 |PM | |PN | 2 2. 記動(dòng)點(diǎn) P的軌跡為 W. （）求 W的方程；uuur uuuruuur uuurOA OB 2（）若 A，B 是 W上的不同兩點(diǎn)， O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求 OA OB 的最小值 .解：（）依題意，點(diǎn) P的軌跡是以 M， N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，22所求方程為：

5、x y 1 （ x 0）22（）當(dāng)直線 此時(shí) A（ x0，AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為 x x0，x02 ）， B（x0，x02 ），當(dāng)直線 AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為 ykx b，22代入雙曲線方程 x y 1中，得： (1 k2) x2 2kbx b2 2 0 22依題意可知方程 1 有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè) A( x1, y1), B(x2, y2)，則k2 )?( b2 2) 04k2b2 4(12kb1 k2 b2 2 x1x22 01 2 k2 1 uuur uuur又 OA OB x1x 2 y 1y 2 x1 x2( kx1 b)x1 x2解得| k|

6、1，2( 1 k2)x1x2 kb( x1x2)uuur uuur綜上可知 OA OB 的最小值為 2kx2b)2 2k2 2 b2 2 k21 2 242k21典型示例】求拋物線 y2x2 上的點(diǎn)到直線 4x 3y 80 距離的最小值 ?2分析一：設(shè)拋物線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為 P( x0,- x0) ，由點(diǎn)到直線的距離公式得 P 到直線的距離24當(dāng) x0 = 時(shí)， d( x0 ) 取得最大值 ,0 3 0 3d( x0 )= | 4x03x02 8| 3(x0 32)255分析二：設(shè)拋物線上點(diǎn) P( x0,-則過故y此時(shí)2032x02) 到直線 4x+3y-8=0 距離最小，4x+3y-8=0 平

7、行，22 4 x0 = , P( ,- ), 0 33 9P 且與拋物線相切的直線與4x0 =- ,343( 94) 8|=4，.53( x0 )=-2d=|4 23d= 3分析三：設(shè)直線方程為 4x+3y+C=0 則當(dāng) l 與拋物線相切時(shí) l 與 4x+3y-8=0 間的距離為所求最小，2由 y x4x 3y C24得 4x-3x 2 +C=0， =16+12C=0, c=- , 此時(shí) 03|8d=分類解析】22xy例 1: 已知橢圓1，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)， P是橢圓上任一點(diǎn)，求： （ 1）25 9求 5|PA| | PB |的最小值；（ 2） 4分析：（1） A 為橢

8、圓的右焦點(diǎn)。作求 |PA| |PB| 的最小值和最大值PQ右準(zhǔn)線于點(diǎn) Q，則由橢圓的第二定義 |PA|PQ|5|PA| |PB| |PQ| |PB|，4顯然點(diǎn) P 應(yīng)是過 B向右準(zhǔn)線作垂線與橢圓的交點(diǎn)，最小 17。4 （2）由橢圓的第一定義，設(shè) C 為橢圓的左焦點(diǎn)，值為則|PA| 2a |PC |PA| |PB| |PA| 2a |PC |10 (|PB| |PC |)，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當(dāng) P 運(yùn)動(dòng)到與 B、 C成一條直線時(shí)，便可取得最大和最小值。當(dāng)P到P位置時(shí)， | PB | |PC|BC|，|PA| | PB |有最大值，最大值為10 |BC| 10 2 10；當(dāng) P 到

9、P位 置 時(shí) ， |PB| |PC| |BC| ， |PA|PB| 有 最 小 值 ， 最 小 值 為10 |BC | 10 2 10 .數(shù)形結(jié)合思想、橢圓定義、最值問題的結(jié)合）變式 :點(diǎn) A（ 3， 2）為定點(diǎn)，點(diǎn) F 是拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) 在拋物線 y2=4x 上移動(dòng)，若 |PA|+|PF| 取得最小值，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。解：拋物線 y2=4x 的準(zhǔn)線方程為 x=-1，設(shè) P到準(zhǔn)線的距離為 d，則|PA|+|PF| =| PA|+ d。 要使|PA|+|PF| 取得最小值，由圖 3 可知過 A點(diǎn) 的直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)， |PA|+|PF| 取得最小值，把 y=2 代入 y2=4x

10、，得 P（1， 2）。P例 2: 已知橢圓的中心在 O, 右焦點(diǎn)為 F，右準(zhǔn)線為 L，若在 經(jīng)過點(diǎn) F，求橢圓的離心率 e 的取值范圍 ? 解：如果注意到形助數(shù)的特點(diǎn)，借助平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建使問題簡單化，由于線段L 上存在點(diǎn) M，使線段 OM的垂直平分線OM的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn) F，則 MFOFc,利用平面幾何折線段大于或等于直線段中心到準(zhǔn)線之間的距離)，則有 2 c a e 2 ，c2橢圓的離心率 e 的取值范圍橢圓的離心率 e的取值范圍為 2,1 2 ,12 x 變式 1: 已知雙曲線 2 a22by2 1,(a0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，點(diǎn) P在雙曲線的右支上，且| P

11、F1|=4| PF2|, 求此雙曲線的離心率5 解：雙曲線的離心率 e的最大值為3e的最大值 ?2變式 2: 已知橢圓方程為 x2a22 y b21，( 0 ab)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，點(diǎn) P在為橢圓上的任意一點(diǎn)，且 | PF1|=4| PF2|, 求此橢圓的離心率e的最小值 ?3 解：橢圓的離心率 e的最小值為5例 3: 已知 P點(diǎn)在圓 x2+( y-2) 2=1上移動(dòng)， Q點(diǎn)在橢圓解：故先讓 Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng) PQ通過圓心只要求| O1Q|的最大值 .設(shè) Q( x， y) ，則| O1Q| 2= x 2+( y-4) 2 因 Q在橢圓上 , 則 x2=9(1- y2)2x

12、2y2 1上移動(dòng) , 試求|PQ|的最大值。9O1時(shí)| PQ|最大，因此要求 | PQ|的最大值， 將代入得 | O1Q| 2= 9(1- y2)+( y-4) 2因?yàn)?Q在橢圓上移動(dòng)，所以 - 1 y 1，故當(dāng) y8 y 121 時(shí)，2 時(shí)，27O1Qmax33此時(shí) PQ【點(diǎn)晴】1. 與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法， 等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視max其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)2變式 1: 設(shè) P是橢圓 x2 + y2= 1a2( a 1 ) 短軸的一個(gè)端點(diǎn) , Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,求| PQ | 的最大值

13、 .解法 1: 依題意可設(shè)P (0, 1 ),Q ( x , y ), 則| PQ | =x2 (y 1)2 .又因?yàn)?Q在橢圓上 ,所以 x2 = a (12y2) .|PQ |222a2(1 y2 ) +2y2 2y+ 1= (122a2) y22y + 1 += (1+ 1 + a2 .因?yàn)?| y| 1, a 1,若 a 2, 則 11a2 1, 當(dāng) y =112 時(shí) , | PQ | a2若 1 a 1. 以下的討論與解法uuur uuur變式 2: 已知 OFQ的面積為 2 6 ， OF FQ m （1）設(shè) 6 m 4 6 ，求 OFQ正切值的取值范圍；1 相同 .uuur2）設(shè)以

14、 O為中心， F 為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn) Q（如圖），取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程。 解析：（ 1） 設(shè) OFQ = uuur uuur |OF | |FQ |cos（ 1 uuur 12 |OF |Q6（2）2xa2uuur| FQ |sin46)m26tan46m設(shè)所求的雙曲線方程為 2yb2tanuuru 當(dāng) |OQ | S OFQuuur 又 OFuuur1(a 0,b 0), Q(x1, y1 ),則FQ (x11 |OuuFur | |y1| 2 6 ， y146c,y1)2uuurFQm，uuur uuur OF FQ (c,0)(x1 c, y1) (x1 c) c( 6 1

15、c24|uOuQur | x12 y12962 3c212.uuru c 8當(dāng)且僅當(dāng) c=4時(shí)， | OQ |最小，此時(shí) Q的坐標(biāo)是 ( 6, 6) 或( 6,x164 c,6)b62 1 b2 1662a2a【精要?dú)w納】圓錐曲線的最值問題，（1）當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；（2）范圍實(shí)質(zhì)為一個(gè)不等式關(guān)系，如何構(gòu)建這種不等關(guān)系？例2 中可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建。 利用題設(shè)和平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建不等式往往使問題簡單化， 回味本題的探究過程， 認(rèn)識(shí)解析幾何中“形助數(shù)”簡化運(yùn)算的途徑。（3）. 函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到

16、的函數(shù)最常見的有二次 函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視（4）利用代數(shù)基本不等式，結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。 【課后訓(xùn)練】2 a b24 ，所求方程為 x12 4常用以下方法解決：21已知 P 是橢圓 x4OAPB的面積的最大值2 y2 1. 122y2 1在第一象限內(nèi)的點(diǎn)， A（2，0），B（0，1），O 為原點(diǎn)，求四邊形x2 y22給定點(diǎn) A（-2,2） ，已知 B是橢圓1上的動(dòng)點(diǎn)， F 是右焦點(diǎn)，當(dāng) AB25 16。（ 523 ,2）2最小值時(shí)，則 B 點(diǎn)的坐標(biāo)為3拋物線 y2=2x 上到直線 x-y +3=0 距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為2y 1 的兩個(gè)頂點(diǎn)，9C

17、、 D是橢圓上兩點(diǎn)，且分別在 AB兩側(cè)，則四邊形 ABCD 面積的最大值是 12 22 x 4如圖，已知 A、 B是橢圓162 x 5 如圖所示，設(shè)點(diǎn) F1，F(xiàn)2是 x32y 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，過2（1 ，1）BF 取得B兩點(diǎn)，求 F1AB 的面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程。解：SVF1ABSVF1F2ASVF1F2B1 SVF1AB2|F1F2 | |y1y2 | y1y2 |設(shè)直 線 AB的方程(2k223)y2 4ky 40y1y2A(x1,y1)B(x2,y2)(Q c1)x ky1代入橢圓方4k22k2 32 , y1y2422k2 3即| y1 y2|4 3(k2 1)2k2 3

18、432 k2 1 k12 1令 tk21， SVF1AB4 312tt， 2tt 1 ）利用均值不等式不能區(qū)取“”利用 f (t)2t 1（ t 1）的單調(diào)性易得在 t1時(shí)取最小值SVF1AB在t1即 k 0 時(shí)取最大值為 4 3 ，此時(shí)直線 AB 的方程為 x 16 P 、Q、M、2N四點(diǎn)都在橢圓 x 21上， F為橢圓在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn)。 已知 PF與FQ 共22線， MF 與 FN 共線，且 PF MF 0 。求四邊形 PMQN的面積的最小值和最大值。 分析：顯然，我們只要把面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值即可。 解：如圖，由條件知 MN和 PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn) F（ 0，1），且 PQMN，直線 PQ、 MN中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為 k，又 PQ過點(diǎn) F（0， 1），故 PQ方程為 y kx 1。代入橢圓方程得 2 k 2 x2 2kx 1 0設(shè) P、Q兩