必修四平面向量的概念及線性運算講義

1、2.1平面向量的概念及線性運算一、向量的有關(guān)概念（一）向量的有關(guān)概念1、向量的定義：既有 又有 的量叫做向量。2、表示方法：用 來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。用 a, b,或用 AB, CD ,表示。3、模： 向量的 叫向量的模，記作 或。（二）幾種特殊的向量1、零向量：長度為零的向量叫彳零向量，記作 0;零向量的方向是 ,它與任意 非零向量都共線。2、單位向量：長度為 單位長度的向量叫做單位向量，常用 e, i , j表示。與a平行的單位向量 e =。3、平行向量： 方向 或 的 向量；平行向量又叫 ,任一組平行向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：0與任

2、一向量 。4、相等向量： 且 的兩個向量，記a = bo5、相反向量： 且 的兩個向量，記 a = - b °例1：下列說法中正確的是 。（1）向量就是有向線段；（2）零向量沒有方向；（3）若向量&與向量b平行，則向量a與向量b的方向相同或相反；（4）兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；（5）若向量aB與向量CD”是共線向量，則點 A、B、C、D必在同一條直線上。【解析】：（4）變式練習(xí)1：下列說法中正確的。（1）單位向量都相等；（2） I a 1與I b I是否相等，與向量 a與向量b的方向無關(guān)；（3） 若A、B、C、D是不共線的四點，則而 =DC是四邊形ABCD為

3、平行四邊形的充要條件； (4)若向量a與向量b共線，向量b與向量c共線，則向量a與向量c共線；(5)兩向量a、 b相等的充要條件是I a I = I b |且a / b ； (6)若I a I = I b ,則a = b或a =b ; (7)向量a與向量b平行，則向量a與向量b的方向相同或相反；【解析】：(2) (3)變式練習(xí)2:下列說法中正確的。(1)若向量a與向量b同向，且I a I > I b|,則a>b；(2)由于零向量方向不確定，故零向量不能與任意向量平行；(3)若向量AB與向量CD是共線向量，則 A、B、C、D在一條直線上；(4)起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是

4、相等向量?！窘馕觥浚?4)、向量的線性運算及幾何意義向量 運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向里和的運算a 三角形法制> a 平行河邊將法.JTTffa + b = b + a(a + b)+c = a + ( b+ c)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差上 a三角形法中左同a-b = a + (-b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算（1） | aa（2）當(dāng)o時，a的方向與a的方向相同；當(dāng) v0時，a的方向與a的方 向相反。（3）當(dāng)0或a 0時，a 0 o(a)( )a ()a a b (a b) a b結(jié)論：(i)設(shè)a、b為任意向量，、為任意實數(shù)，則有：(a) ( )

5、a ( )a a b (a b) a b（2） | | a | - | b | |&| a + b |< | a I + I b I當(dāng)a與b異向共線時當(dāng)a與b同向共線時【和的模小于等模的和，大于等模的差的絕對值】 f- »-（3） a + b = b+a （a + b ）+c = a +（ b + c）例2:化簡：(1) AB + BC + CA = Ab + Mb + bo+bc + oM =(3)aB + cA-cB= Ab-CD+bD-Ac= NQ+ mN - MP + Qp =例3:根據(jù)右圖所示填空 * 1(1) a + b =；(2) c + d =；(3)

6、a + d + b = ；(4) dE+ CD+ AC =;(5) AB + BC + CD + DE =。變式練習(xí)1:如圖所示，在正六邊形 ABCDEF中，BA +CD + EF =()A: 0B： BEC: AD D： CF【解析】：DAD / BC, ACA: CD B： OCC: DA D： CO變式練習(xí)2：如圖所示，四邊形ABCD是梯形, 與BD交于點。，則OA + BC+AB=()變式練習(xí)3:在平行四邊形ABCD中，若| BC + BA | = | BC + AB | ,則四邊形ABCD是()AHA :菱形B :正方形 C :矩形D :梯形 I I I解析：由圖知|80 + B臼=

7、|BD|,+力片=+尸|q所以產(chǎn)D|=|4C|,故四邊形ABCD為矩形.變式練習(xí)4:若。是4ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足I OBOC | = | OBOA + OCOA I ,試判斷4ABC的形狀。I II I II I I【解析】：3。工一工之,1二三二匕 yc乙一四 二二Illi又|?？?- Gq=|0E -。百 + 0C - Q4|,I J I.四+ 4c尸西-八。|,以AB, AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度相等，此平行四邊形為矩形,.-.AB ±AC ,.ABC是直角三角形.例4:如右圖：在平行四邊形 ABCD中，E為DC 邊的中點，且AB = a , AD=b，則

8、BE =。【解析】：BE =- -a+ b2例5:在三角形 OAB中，延長 BA至ij C,使 AC = BA,在OB上取點D,使得DB = 1OB , DC與OA交點E,設(shè)OA 3=a , OB = b ,用 a , b 表示 OC , DC o【解析一】：點A是BC的中點BA = AC. OA= Ob + BA OA = Oc + CA2OA = OB + BA + OC + CAOA= 1（OB + OC）. Oc =2oA-ob =2a-b2Dc = 0c-0D = 0c-oB=2a-b-2b=2a-b333【解析二】：點A是BC的中點 . BA = AC = a-b. OC = OA

9、 + AC = a+ a- b= 2a-b. DC=OC-OD = OC-OB=2a-b-2b=2a-b333變式練習(xí)1:在平行四邊形 ABCD中，設(shè)AB = 5 ,AD = b , AN =3NC , M 為 BC 的中點，用 a、b表示MN o【解析】：MN = 1（b-5）4變式練習(xí)2:在正方形 ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么 EF等于（）A：1 AB - 1ADB：1 AB + 1AD2342C:I AB + DAD ： AB AD2223【解析】：D三、向量共線定理對于向量a（ a才0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使得b = a。注意：（1）、向量

10、證明a與b共線，只需證明存在實數(shù)，使得b= a即可。（2）、如果a=b = 0,數(shù) 仍然存在，此時 并不唯一，是任意數(shù)值。特別地：（1）兩條線段平行與兩條線段共線是不一樣的，而兩個平行向量就是共線向量。（2）要證明三點共線需要說兩點 三點確定的向量共線；兩向量有公共點例6：已知任意兩非零向量 a、b,試作OA a b, OB a 2b, OC a 3b ,證明：A、B、C三點共線。【解析】：: AB = OB - OA = (a 2b )-(a b)=b, BC = OC - OB =(a 3b)-（a 2b）=b, AB = BC 所以 A、B、C三點共線。B、C三點共線。綜上：向量的加、減

11、、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算 對于任意向量a、b及任意實數(shù)、，恒有（1a 變式練習(xí)1:試證起點相同的三個向量 a、b、3占一2b的 終點在一條直線上?！窘馕觥浚喝鐖D，設(shè)OA=a, OB = b , Oc =3a -2b ,則AC = OC - OA = 2a -2b , AB = OB - OA = b - a ,AC = -2AB ,又因為AB與AC有共同的起點 A,故A、變式練習(xí)2:設(shè)a、b是不共線的兩個非零向量，（1）若OA=2a b, OB =3a + b ,OC = a3b,求證：A、B、C三點共線；（2）若8a+kb與ka+2b共線，求實數(shù)k的 值。【解析】：（1） AB = a

12、 + b , BC=-2a-4b, 2AB = BC,使得 8a+kb= (ka + 2b),得（2）8a+ kb與ka + 2b共線，故存在實數(shù)k 8 /口8a + kb= ka+2 b,即得2 k k例7:已知O、A、B是平面上的三個點，直線 AB上有一點C,滿足2AC + CB = 0 ,則OC等于()A： 2OA- OB B： - OA + 2OB C: - OA + - OBD:-1 QA+ - OB【解析】：A 2 AC = CB = BC ,故A是BC的中點。變式練習(xí)1 ：設(shè)D為 ABC所在平面內(nèi)一點，且BC = 3CD ,則34 AB34 + - AC31 AC3B： ADAB

13、AC3D: AD =- AB 33-AC3【解析】由BC = 3CD ,點D在BC的延長線上，且BC = 3CD,選 A變式練習(xí)2:設(shè)a = (AB+ CD)+(BC+ DA), b是任一非零向量，則在下列結(jié)論中: a/b； a+b = a； a + b = b； |a+b|v| a I + I b|； I a + b| =I a I + I b Io正確結(jié)論的序號是【解析】變式練習(xí)3：設(shè)P是ABC內(nèi)的一點，AP=-(AB + AC),則4ABC的面積與 PBC3的面積之比為A: 2 B:C:1D： 63【解析】：設(shè)BC的中點為D,則力笈+ /1。=2八，匚 1 二二 2T-AP = (40

14、+ AC -zAD )="如圖，過 A作AELBC,交BC于點E,過P作PFXBC,交BC于點F,A PBC 1.5 AHUI=3.答案:B課后綜合練習(xí)1、下列說法中正確的是（）A ： a與b的和a + b與a同向、長度等于a與b的長度之和B： a與b的差a b與a同向、長度等于 a與b的長度之差C：當(dāng)a與b同向時，d：當(dāng)a與b反向時，【解析】：C2、已知四邊形ABCDA ： AC = DC + BCC： AC = CB + BA【解析】：A3、下列各式中結(jié)果為 0的有（ BC + AB + CA AB - ac + bD - cDA:B:【解析】：C4、下列四式中可以化簡為 AC

15、+ CBa + b與a同向、長度等于a與b長度之和ab與a同向、長度等于a與b的長度之差是平行四邊形，那么下列等式中恒成立的是（B ： AC = DC - ADA: B:【解析】：AAB的是( AB - CBC:D： AC = AB - AD) OA + OC+ Bo+ Co MN + NQ - MP + QPC:D:) oA+ OB-OA + OBD:5、已知，如右圖 ABCDEF是一個正六邊形，O是它的中心，其中 OA =a , OB = b , OC = c,則 EF =（）A ： a+b B ： b - a C： c - b D： b - c【解析】：D6、AC AB 等于（）A： A

16、CB： AB C: BCD： CB【解析】：CA B7、在平行四邊形 ABCD中，AC - AD等于（）A： AB B: BA C: CD D： DB【解析】：A8、下列四式不能化簡為 PQ的是（）A： AB + （ PA+ PQ）B： （AB+ PC ） + （ BA - QC ）C： QC + CQ-QPD： PA + AB + BQ【解析】：A9、若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是（）A： EF = OF + OEB： EF = OF - OEC: EF = - OF + OED： EF =- OF -OE【解析】：B10、下列命題中是真命題的是（）對任意兩向量 a、b

17、均有：|a| I b I < I a I + I bl；對任意兩向量a、6、ab與b a是相反向量；在三角形 ABC中，aB + BC - AC = 0 ;在四邊形 ABCD中，（AB + BC）（CD+dA）= 0； BC= aB ACA:B:C:D:【解析】：D11、設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，BC + BA =2BP ,則（）A： PA+PB=0 B： PA + PC = 0 C: PB+PC=0 D： PA+ PB + PC = 0【解析】：B BC + BA = 2 BP P為AC中點3OA OB e/12、已知點O、A、B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且 OP =,則2（）A:點P在線段AB上B:點P在線段AB的反向延長線上C:點P在線段AB的延長線上D:點P不在直線AB上【解析】：b 2OP = 3oA- Ob 2（OP - OA）= OA - Ob 2AP = baI = 4,