2020屆華大新高考聯(lián)盟高三1月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)(理)試題解析

1、2020 屆華大新高考聯(lián)盟高三1 月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)(理)試、單選題1己知集合 M y| 1 y 3，x|x(2x1,72，則 M N (A0,3)B 0, 72CD答案： C先化簡(jiǎn) N x|x(2x 7)x|7 ，再求 M N .2解：因?yàn)?N x|x(2x 7)x|7，2，又因?yàn)?M y| 1 y 3，所以 M N1,72 ，故選： C.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ) 題.2設(shè)復(fù)數(shù) z滿足 |z3| 2 ，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 M(a,b)，則 M 不可能為(A (2, 3)B (3,2)C (5,0)D (4,1)答案： D依題意，設(shè)

2、 z abi，由 |z 3| 2，得 (a 3)2 b2 4 ，再一一驗(yàn)證 .解：設(shè)zbi ，因?yàn)閨z3| 2 ，所以(a3)2 b24，經(jīng)驗(yàn)證 M (4,1) 不滿足，故選： D.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題3己知 a 4 6 ，4b log45 21，1 2.9c 1 ，則（3）A a b cB a cbC bcaD c a b答案： B先將三個(gè)數(shù)通過(guò)指數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算變形1a 4 6 6460 1，2.9 0b log5 4 log51 0,0 c 1 1 1再判斷 .4 21 433解：2.90因?yàn)閍141 2.9104 6 64 601

3、， b log5421log5 1 0,0 c431，3所以 ac b ，故選： B.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于 中檔題 .42019年10月 1日，為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年，小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì)， 這三幅十字繡分別命名為 “鴻福齊天”、 “國(guó)富民強(qiáng)”、 “興國(guó)之路”， 為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰(shuí)制 作的，村支書(shū)對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話，得到回復(fù)如下： 小明說(shuō)：“鴻福齊天”是我制作的； 小紅說(shuō)：“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的； 小金說(shuō)：“興國(guó)之路”不是我制作的， 若三人

4、的說(shuō)法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（ ） A 小明B小紅C小金D 小金或小明答案： B 將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來(lái)，再一一論證 .解： 依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說(shuō)法正確，則均不滿足；若小紅的說(shuō)法正確，則 4 滿足；若小金的說(shuō)法正確， 則 3 滿足 .故“鴻福齊天 ”的制作者是小紅， 故選： B.點(diǎn)評(píng)： 本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題 .2首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；解：sin( x)

5、 ( x)2 cos( x) sin x x2 cosx解：依題意， f( x)f (x) ，故函數(shù)x 20 x 20f x 為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，排除 C ；22而 f ( ) 0 ，排除 B； f (2 ) 0 ，排除 D.20 5故選： A.點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 .6為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、 戊五位同學(xué)參加 A、B、C 三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作，每個(gè)縣至少去1 人，且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣，則不同的派遣方案共有( )A 24B 36C48D 64答案： B根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是

6、3:1:1 ，二是 2: 2:1 ，然后各自全排列，再求和 . 解：13當(dāng)按照 3:1:1 進(jìn)行分配時(shí)，則有 C13 A33 18 種不同的方案；23當(dāng)按照 2: 2:1 進(jìn)行分配，則有 C32A33 18 種不同的方案 .故共有 36 種不同的派遣方案，故選： B.點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題7已知向量(m,1) ， b( 1,2) ，若 (a則 a 與 b 夾角的余弦值為 ( )A 2 1313B2 1313C 66153D6 1365答案： B根據(jù)垂直的數(shù)量積表示求解得 m8,再根據(jù)夾角余弦的數(shù)量積公式求解a與b 夾角的余弦值即可 .解

7、：依題意, a 2b (m 2, 3),而 (a2b) b 0,即 m 2 6 0,解得 m 8,則( 8,1) ,故 cos132故選： B.點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積應(yīng)用 , 考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想 8框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，實(shí)際生活中的一些問(wèn)題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫(xiě)程序，得到解決，例如，為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，其中輸入x1 15 ，x216，x318 ， x4 20 ， x5 22 ，x624 ， x7 25 ，則圖中空白框中應(yīng)填入A i 6，S SBC6，7S D i， S 7S答案： A依題意問(wèn)題是x

8、1220 2x220x7202 ，然后按直到型驗(yàn)證即可.解：根據(jù)題意為了計(jì)算7 個(gè)數(shù)的方差，即輸出的S 172 x1 20x220 2x720觀察程序框圖可知，應(yīng)填入S7，故選： A.點(diǎn)評(píng)：本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題 9記等差數(shù)列 an 的公差為 d ，前 n項(xiàng)和為 Sn .若S10 40 ，a6 5，則(A d 3B a1012C S20 280D a14答案： C由 S10a1 a10 1025 a5a640 ，和 a6 5 ，可求得 a5 3 ，從而求得 d 和 a1 ，再驗(yàn)證選項(xiàng) 解：a1 a10 10因?yàn)?S101 10 5 a5 a6 4

9、0， a6 5，10 2 5 6所以解得 a5 3， 所以 d a6 a5 2 ，所以 a10a6 4d 5 8 13 ， a1a5 4d385，S20 20a1 190d 100 380 280 ，故選： C.點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.2210已知橢圓 C : x2 y2 1(a b 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2 ，點(diǎn) P x1,y1 ， a2 b2x1, yl 在橢圓 C 上，其中x1 >0 ， y10，若|PQ| 2 OF2 ， | QPFF1 | 33，則PF1 3橢圓C 的離心率的取值范圍為(A610, 62

10、1B (0, 62C( 22, 3 1D (0, 3 1答案： C先分析得到四邊形PF1QF 2 為矩形，|QF1|QF2 | ，再由QF1PF13 得 3mn1，由 m n 2a,m2n2 4c2 得 24c22 a2 c23 4 ，化簡(jiǎn)不等式即得離心率的取值3范圍.解：設(shè) |PF1| n,| PF2 | m，由 x1 0,y1 0知 m n，由 P x1,y1 ,Q x1, y1 在橢圓 C上， |PQ | 2OF2可知四邊形 PF1QF 2 為矩形，|QF1| |QF2 |；QF1PF13 ，可得由橢圓的定義可得 m22a,m4c2，22平方相減可得 mn 2 a2 c2 ，故選：4c2

11、2am2n2c2mnn，而 m2m4c234a2 c234c22 a2 c2 可得 a24c222 ac，可得 a2 2 32c2,e2，22 3 ( 3 1)2，1，C.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查橢圓的離心率的計(jì)算和基本不等式的1111關(guān)于函數(shù) f(x) 4sin x4cos x2323應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，有下述三個(gè)結(jié)論： 函數(shù) f (x) 的一個(gè)周期為 ；23 函數(shù) f (x) 在 , 上單調(diào)遞增；24CD 函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?4,4 2 . 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( ) A B 7 ,1712, 24答案： C用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證

12、 .當(dāng) x,3 時(shí)， 1x2 4 2 3f (x)14 2sin 12 x 12 ，再利用單調(diào)性判斷 .根據(jù)平移變換，函數(shù)g(x)141sin xcos x2323的值域等價(jià)于函數(shù)f(x)4的值域，而114sin x4cos x22g(x)4 2sin 12xg(xg(x) ，當(dāng) x0, 時(shí)，3 再求值域 .解：因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，7121724，所以f(x)4sin 1x24cos4 2sin1x2 121x2 1211所以3 24f(x) 在2上單調(diào)遞增，故正確；x41 sin x741 cos x741 cos x41 sin x22122122 122 12，故錯(cuò)誤；f(x)141sin xc

13、os x2323的值域等價(jià)于函數(shù)函數(shù) f(x)4g(x)故選：14sin x2g(x)4cos1x 的值域，易知24 2sinC.g(x ) g(x) ，故當(dāng) x3 4,4 2 ，故正確 .0, 時(shí)，點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題 12己知四棱錐 S - ABCD中，四邊形 ABCD為等腰梯形， AD/BC， BAD 120 ，SAD是等邊三角形，且 SA AB 2 3；若點(diǎn) P在四棱錐 S - ABCD 的外接球面上 運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn) P到平面 ABCD的距離為 d，若平面 SAD 平面 ABCD ，則 d的最大值為(B 13 2D 15 2A 13

14、 1C 15 1 答案： A根據(jù)平面 SAD 平面 ABCD ，四邊形 ABCD為等腰梯形，則球心在過(guò) BC的中點(diǎn) E的 面的垂線上，又 SAD 是等邊三角形，所以球心也在過(guò)SAD 的外心 F 面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可 .解：依題意如圖所示：取 BC 的中點(diǎn) E ，則 E 是等腰梯形 ABCD 外接圓的圓心， 取F是 SAD的外心，作 OE 平面 ABCD,OF 平面 SAB，則 O是四棱錐 S ABCD 的外接球球心，且 OF 3,SF 2 ， 設(shè)四棱錐 S ABCD 的外接球半徑為 R，則 R2 SF2 OF 2 13，而 OE 1，所以 dmax R OE 13 1

15、 ， 故選： A.點(diǎn)評(píng)：本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題二、填空題13己知函數(shù) f(x) m(2x 1)3 2ex ，若曲線 y f (x)在(0, f (0) 處的切線與直線4x y 2 0 平行，則 m .1答案：3先求導(dǎo) f (x) 6m(2x 1)2 2ex, f (0) 6m 2 ，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有 f (0) 4求解 .解：因?yàn)楹瘮?shù) f (x) m(2x 1)3 2ex ，所以 f (x) 6m(2x 1)2 2ex, f (0) 6m 2，所以 6m 2 4 ，1 解得 m .31 故答案為：3點(diǎn)評(píng)：是等比數(shù)列再求通項(xiàng)公式當(dāng)n1時(shí)，2S1

16、5a17 2a1當(dāng)n2時(shí)，2Sn5an7,2Sn兩式相減可得2an5an5an 1即 5an1 3an，解：，即 a11 5an即 anan 173，7，故數(shù)列所以 an53，75an 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，n17 5 n1本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題答案：7n1533當(dāng)n1時(shí)，由 2S15a1 772a1 ，解得 a1 3 ，當(dāng)3n 2 時(shí)，2Sn5an7,2 Sn 15an 17 ，兩式相減可得 2an5an 5an 1，即5an 1 3an，可14設(shè) Sn為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，若 2Sn5an 7，則 an得數(shù)列 an3333

17、n1故答案為： 7 533點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，還考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思 想，屬于基礎(chǔ)題 .15 由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊， 某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響， 承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將 A地區(qū) 200 家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算 月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為 m ，中位數(shù)為 n，則 m n .先計(jì)算第一塊小矩形的面積 S1 0.3 ，第二塊小矩形的面積 S2 0.4 ，面積和超過(guò) 0.5， 所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可 .解：第一塊小矩形的面積 S1 0.3 ，第二塊小矩形的面積 S2 0.4 ，0.5 0.3故 n

18、 2000 3000 ；0.0002而 m 1000 0.3 3000 0.4 5000 0.18 (7000 9000) 0.06 3360 ，故 m n 360.故答案為： 360.點(diǎn)評(píng)： 本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬 于基礎(chǔ)題 .x2 y 216己知雙曲線 C : x2 y2 1(a 0,b 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2 ，直線 l 是雙 a2 b2曲線 C 過(guò)第一、三象限的漸近線，記直線l 的傾斜角為，直線 1 : ytan2x，F(xiàn)2M l ，垂足為 M ，若 M 在雙曲線 C上，則雙曲線 C 的離心率為 答案： 5 1由 MO

19、F22 ,OF2c ，則 |OM | ccos ，所以點(diǎn) M22ccos ,ccos sin2 2 2因?yàn)?tan b ，可得 sinab,cosca c a bac ，點(diǎn)M坐標(biāo)化簡(jiǎn)為 c2a,b2 ，代入雙曲線的方程求解解：設(shè) MOF2解得 sinc，bsinb22即,sincos1acosa2 ,OF2則 tanba,coscc則|OM| ccos2，2所以 M ccos ,ccos sin ，2 2 2即Mc a,b2 ,222代入雙曲線的方程可得1，(c a)2 b2224a 24b2所以 c2 2ac 4a2 0所以 e2 2e 4 0解得 e 5 1.故答案為： 5 1點(diǎn)評(píng)：本題主

20、要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系， 及三角恒等變換， 還考查了運(yùn)算求解的能力 和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題 .三、解答題17己知 ABC的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c.設(shè)3sin BsinC23sin C 3sin 2 A 4 2 sin B sin BsinC1)求 tanA 的值；2)若 2sinB 3sinC，且 S ABC2 2 ，求 a 的值 .答案：1) 2 ( 2) 2 3 41)由正弦定理將3sin B 3sin CsinC sin B3sin 2 Asin BsinC4 2 ，轉(zhuǎn)化 3b 3c cb3bac2 4 2 ，即 3b2 3c2 3a24 2bc ，由余

21、弦定理求得cosA，再由平方關(guān)系得sin A 再求解 .2)由 2sinB3sinC，得 b 3c2，結(jié)合S ABC11 bcsin A 2 2 再求解 .2解：1)由正弦定理，得23b 3c 3a 2 cbbc即 3b2 3c2 3a24 2bc ，則b22ca2bc223cosA，而 sin2 Acos2 A1，又 A(0, ) ，解得 sin A故 tanAsinAcosA2)因?yàn)?sinB3sinC3c，則 b ，因?yàn)镾 ABC故 1 bc sin A 2 2 ，2故 123c22解得故b6，則ab2 c2 2bccos A36 8 2 6 2 2 2 2 2 3.3點(diǎn)評(píng)： 本題考查正

22、弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化 思想，屬于中檔題 .18 如圖所示， 在三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 為等邊三角形， BAB1 BB1A，AB1 A1B O ， CO 平面 ABB1 A1 ，D 是線段 A1C1 上靠近 A1 的三等分點(diǎn)1）求證： ABAA1 ；2）求直線 OD 與平面 A1 ACC1 所成角的正弦值答案：1）證明見(jiàn)解析（ 2） 33111）由 BAB1BB1 A ，故 AB BB1 ，所以四邊形 A1 ABB1為菱形，再通過(guò)COA COB ，證得 AO BO ，所以四邊形 ABB1 A1為正方形，得到 AB AA1.（ 2）根

23、據(jù)（ 1）的論證，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)平面A1 ACC1的法向量為 m （x, y,z），由 求得，再由 OD 2, 2 , 2 ，利用線面角的向量法公式求解 .m AC 0. 3 3解：（ 1）因?yàn)?BAB1BB1A ，故 AB BB1 ，所以四邊形 A1ABB1 為菱形，而 CO 平面 ABB1A1 ，故 COA COB 90 .因?yàn)?CO CO,CA CB ，故 COA COB ，故 AO BO ，即四邊形 ABB1 A1 為正方形，故 AB AA1.（ 2）依題意， CO OA,CO OA1 .在正方形 A1ABB1中， OA1 OA，故以 O為原點(diǎn)， OA1,OA,OC所在直線分別為

24、 x、 y、z軸，如圖所示：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O xyz ；不紡設(shè) AB 2 ，則 O(0,0,0), A1( 2,0,0), A(0, 2,0), C(0,0, 2),C1( 2, 2, 2) ，又因?yàn)镺D OA1 13，所以 D 2,2, 23 , 3( 2, 2,0), AC設(shè)平面 A1ACC1 的法向量為m(0, 2, 2) .(x,y,z)，即令x2x 2y 0,2y 2z 0.1 ，則 y 1,z 1.于是 m(1,1,1).又因?yàn)?OD 2, 32, 32設(shè)直線 OD 與平面 A1ACC1 所成角為則 sin33113311所以直線 OD 與平面 A1ACC1 所成角

25、的正弦值為 點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題 .19記拋物線 C:y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn)D,E在拋物線 C上，且直線 DE的斜率為 1，當(dāng)直線 DE 過(guò)點(diǎn) F 時(shí)， |DE|4.1)求拋物線 C 的方程；2)若 G(2,2) ，直線 DO 與 EG 交于點(diǎn)H，DI EI 0 ，求直線 HI 的斜率 .答案：1) y22x( 2)01)根據(jù)題意，設(shè)直線 DE: y x與 C: y2 2px(p 0) 聯(lián)立，22y2 2py p20 ，再由弦長(zhǎng)公式，|DE |112y1 y24 求解 .22)設(shè)D y21 ,y12,E y

26、22 , y2 ，根據(jù)直線 DE的斜率為y2 y11，則 y22 y122221y2 y1，得到 y2 y1 2 ，再由 DI EI0 ，所以線段 DE 中點(diǎn)I 的縱坐標(biāo)為 yI1 ，然后直線 DO 的方程 y2 x與直線 EG 的方程 y y1y222(x2) 聯(lián)立解得交點(diǎn)H 的縱坐標(biāo) yH 1 ，說(shuō)明直線 HI/ /x 軸，直線 HI的斜率為 0.解：1)依題意， F p,02，則直線 DE: yx p2 ，聯(lián)立設(shè)D2px,p,得y 2,x1,y1則 |DE |解得 p1，故拋物線,E x2,y22 2 2p1 k12 y14，2) D2y21 , y1 ,E2y222 ,y2 ，因?yàn)橹本€

27、 DE 的斜率為 1，則21y2 y122 y2 y1y2 y122，所以 y2 y1 2 ，因?yàn)?DIEI0 ，所以線段DE 中點(diǎn) I 的縱坐標(biāo)為yI 1直線 DO 的方程為y1y12 x ，即 y22x y1直線 EG 的方程為yy22 2 (x y22 222)，即y2 2(x 2) y2 2x聯(lián)立解得y12 即點(diǎn) H 的縱坐標(biāo)為1.yH，即直線 HI / /x 軸，故直線 HI 的斜率為 0.如果直線 EG 的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，綜上所述，直線 HI 的斜率為 0.點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題20己知函數(shù)

28、f (x)xe 2x cosx.1)當(dāng) x ( ,0)時(shí)，求證： f (x) 0 ；2)若函數(shù) g(x)f(x) 1n(x 1)，求證：函數(shù) g(x) 存在極小值 .答案：1)證明見(jiàn)解析( 2)證明見(jiàn)解析1)求導(dǎo)得 f (x)ex 2 sin x ，由 ex e0 1，且sin x，得到 f (x) 0 ，再利用函數(shù) f(x) 在(,0) 上單調(diào)遞減論證 .2)根據(jù)題意 g(x)ex 2x cosx ln(x 1),x 1 ，求導(dǎo)，令h(x) g (x) ex1 sinx 2 ，易知 h(0) x1x0； h (x) ex12 cosx ， (x 1)2易知當(dāng) x 0, 時(shí)， h(x) 0，h

29、(x) g (x)2g (0)0 ；當(dāng)( 1,0) 時(shí)，函數(shù)h (x) 單調(diào)遞增，而 h(0) 1 ，又 h 9 e 10cos910100 0 ，由零點(diǎn)存在定理得 x09,0 ，使得 h x0 0， x x0,0 ，使得 h(x) 0 ，有10h(x) g (x)g (0) 0 從而得證 .解：( 1)依題意，f (x) ex 2 sin x，因?yàn)?ex e01，且 sinx 1 0，故 f (x) 0 ，故函數(shù) f (x) 在 ( ,0) 上單調(diào)遞減，故 f (x) f(0) 0.2)依題意， g(x)ex 2x cosx ln(x1),x1，令 h(x) g(x) ex1 sinx 2

30、，x1則 h(0)0；而 h(x) ex1(x 1)2cosx ，可知當(dāng)0,2時(shí)，h(x)0，故函數(shù) h(x) 在0, 2 上單調(diào)遞增，故當(dāng)0,2時(shí)，h(x)g(x) g(0)0；x ( 1,0)時(shí)，函數(shù) h (x) 單調(diào)遞增，而 h(0) 1，9 9 910 e 10 cos 10 100 0，故 x0190,0，使得 h x00，x0,0 ，使得 h(x) 0，即函數(shù) h(x)單調(diào)遞增，即 g (x)單調(diào)遞增；故當(dāng) xx0,0 時(shí)， g (x) g (0)0，故函數(shù)g(x) 在 x0,0 上單調(diào)遞減，在 0, 上單調(diào)遞增，2故當(dāng) x0時(shí)，函數(shù) g(x) 有極小值g(0) 0.點(diǎn)評(píng)：本題考查

31、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想，屬于難題.21為了拓展城市的旅游業(yè)，實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在A市與B 市之間建一條直達(dá)公路， 中間設(shè)有至少 8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口， 記為 2m ，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹(shù)或者木棉樹(shù)，且種植每種樹(shù)木的概率均為1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見(jiàn)，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A 市居民B 市居民喜歡楊樹(shù)300200喜歡木棉樹(shù)250250是否有 99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；( 2)若從所有的路口中隨機(jī)抽取 4 個(gè)路口，恰有 X 個(gè)路口種植楊樹(shù)，求 X 的分布列 以及數(shù)學(xué)期望；(

32、3)在所有的路口種植完成后，選取3個(gè)種植同一種樹(shù)的路口，記總的選取方法數(shù)為M ，求證： 3M m(m 1)(m 2) .附： K 2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)P K 2 k0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828答案：(1)沒(méi)有( 2)分布列見(jiàn)解析， E(X) 2 ( 3)證明見(jiàn)解析1)根據(jù)公式計(jì)算卡方值，再對(duì)應(yīng)卡值表判斷2)根據(jù)題意，隨機(jī)變量 X 的可能取值為 0， 1，2，3，4，分別求得概率，寫(xiě)出分布列，根據(jù)期望公式求值 .3)因?yàn)橹辽?8 個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，所以，即.要證個(gè)路口種植楊樹(shù)，下面分3Mm 1)(m

33、 2)，即證 M m(m 1)(m 2) ，根據(jù)組合數(shù)公式， 即證 M 2Cm3；類討論當(dāng) p 0,1,2 時(shí)，由 M C23m2論證 .當(dāng) p 2m 2,2m 1,2m時(shí)，由 M C323m 2論證 .當(dāng)332m 3時(shí)， M Cp3 C23m p ，易知有 Cmk 1 Cmk .成立.設(shè)2m 個(gè)路口中有 p(p N,3 3 3 3f (p) C3p C23m p,3 p 2m 3，再論證當(dāng) p m 時(shí)， f(p) C3p C23m p 取得最 小值即可 .解：1）本次實(shí)驗(yàn)中，22 1000 (300 250 200 250)2K 2 10.1 10.828 ，500 500 550 450故

34、沒(méi)有 99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性2）依題意， X 的可能取值為 0，1， 2， 3， 4，故P(X 0) 1 4116P(X 4)， P(X 1) C434161 P(X 3) ，42.要證 3M m(m3) 2m 8 ，1)(m 2)，即證 M 2Cm3 ；4P(X 2) C24 21 166 83X01234P113111648416故 E(X) 4 12首先證明：對(duì)任意m,kN*,m k，有 Cmk1 Cmk .證明：因?yàn)?Cmk 1CmkCmk1 0，所以 Cmk1 Cmk .設(shè) 2m 個(gè)路口中有p(pN,個(gè)路口種植楊樹(shù)，p 0,1,2 時(shí)，當(dāng)(2m

35、2)(2m 3)(2m 4)3是m，當(dāng)4 (m 1)(m 2)(2m 3)4，m(m 1)(mM42)4Cm3 2Cm3 .p 2m 2,2m 1,2m 時(shí)， M Cp3 C23m2 ，同上可得 M 2C當(dāng)當(dāng)m 4 時(shí)， f (p 1) f (p)2m 3時(shí)， M C3p C23m p，設(shè) f (p) Cp3 C2m 3 ，3 2m p,顯然 p 2m當(dāng) p 2m p2m p11時(shí)， f (p 1) f (p) ，f(m) f(m 1) f(2m 3)； f(3) f(4)2Cm3 ，即 M 2Cm3.即 3M m(m 1)(m 2).因此 f (p) f(m)綜上， M3 m，點(diǎn)評(píng)：C3p

36、C23m pC2p C22m p 1 ，4時(shí)， f (p 1) f (p) ，f (m) ，本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、排列組合，還考查運(yùn)算求解能力以及必然與或然思想，屬于難題x 22在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為y2 2cos （ 為參數(shù)），2sin以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2 的極坐標(biāo)方程為4 cos24sin21）求曲線 C1 的極坐標(biāo)方程以及曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程；2）若直線 l : y kx與曲線 C1、曲線 C 2在第一象限交于 P,Q兩點(diǎn)，且| OP | 2|OQ |，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 （2,0） ，求 MPQ 的面積 .答案：（1）C1 的極坐標(biāo)方程為x