概率統(tǒng)計(jì)試題及答案(本科完整版)

1、填空題（每題2分，共20分）A1、記三事件為A，B，C. 則用A，B，C及其運(yùn)算關(guān)系可將事件，“A，B，C中只有一個(gè)發(fā)生”表示為 .A3、已知P(A)=0.3，P（B）0.5，當(dāng)A，B相互獨(dú)立時(shí)，。A4、一袋中有9個(gè)紅球1個(gè)白球，現(xiàn)有10名同學(xué)依次從袋中摸出一球（不放回），則第6位同學(xué)摸出白球的概率為 1/10 。A5、若隨機(jī)變量在區(qū)間 上服從均勻分布，則對(duì)以及任意的正數(shù)，必有概率 A6、設(shè)服從正態(tài)分布，則 N ( 3-2 , 42 ) .A7、設(shè)A8、袋中裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取出3只，以表示取出3只球中的最大號(hào)碼。則的數(shù)學(xué)期望 4.5 。A9、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為

2、XY12310.120.100.2820.1800.12300.150.05則條件概率 2/5 .A10、設(shè)來自正態(tài)總體, ,當(dāng)常數(shù)= 1/4 時(shí)，服從分布。A二、計(jì)算題（每小題10分，共70分）A1、三臺(tái)機(jī)器因故障要人看管的概率分別為0.1，0.2，0.15，求：（1）沒有一臺(tái)機(jī)器要看管的概率（2）至少有一臺(tái)機(jī)器不要看管的概率（3）至多一臺(tái)機(jī)器要看管的概率解：以Aj表示“第j臺(tái)機(jī)器需要人看管”，j=1，2，3，則:P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0.2 , P( A3 ) = 0.15 ,由各臺(tái)機(jī)器間的相互獨(dú)立性可得A2、甲袋中有n只白球、m只紅球；乙袋中有N只白球、M只

3、紅球。今從甲袋任取一球放入乙袋后，再?gòu)囊掖稳∫磺?。問此球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？解：以W甲表示“第一次從甲袋取出的為白球”，R甲表示“第一次從甲袋取出的為紅球”， W乙表示“第二次從乙袋取出的為白球”，則所求概率為 A3、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為, 試求（1）常數(shù)A;(2) 分布函數(shù); (3) 概率。解：（1） 由歸一性可得：，從而 A4、（1）已知X的分布律為-1 0 1 2 3 計(jì)算。（5分）解：（2）、設(shè)，求的概率密度.（5分） 解：Y的密度函數(shù)為：A5、設(shè)的概率密度為. (1) 試求分布函數(shù)； (2) 求概率其中區(qū)域由軸, 軸以及直線所圍成.解: A6、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,求常數(shù)

4、及邊緣概率密度.并討論隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性。解：由歸一性知：顯然 ，故X與Y不相互獨(dú)立。A7、設(shè)總體的概率密度為, 其中為未知參數(shù). 若是來自母體的簡(jiǎn)單子樣，試求的矩估計(jì)與極大似然估計(jì).解：（1） 令 解得的矩估計(jì)為 （2）似然函數(shù) 對(duì)數(shù)似然函數(shù) 令 解得的極大似然估計(jì)為 A三、證明題（每題5分，共10分） A 1、為來自總體X的樣本，證明當(dāng)時(shí)，為總體均值的無(wú)偏估計(jì)。證明：設(shè)總體均值= ，由于為來自總體X的樣本，因此 而 為總體均值的無(wú)偏估計(jì)，故應(yīng)該有 從而 A 2、設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從參數(shù)為的泊松分布。證明：由題知 ，即 令，且由的相互獨(dú)立性可得：

5、即 服從參數(shù)為的泊松分布B一、填空（每小題2分，共10分）B1. 若隨機(jī)變量 的概率分布為 ，則_。B2. 設(shè)隨機(jī)變量 ，且 ，則_。B3. 設(shè)隨機(jī)變量 ,則 _。B4. 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 _。B5. 若隨機(jī)變量的概率分布為則 _。B二、單項(xiàng)選擇(每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共20分)B1. 設(shè) 與 分別是兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使 是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?）。(A) (B) (C) (D) B2. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則（ ）。(A) (B) (C) (D) B3.下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是( )。(

6、A) (B) (C) (D) B4.下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) B5. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則的概率密度為（ ）。(A) (B) (C) (D) B6. 設(shè)服從二項(xiàng)分布，則（ ）。(A) (B) (C) (D) B7. 設(shè)，則（ ）。(A) (B) (C) (D) B8設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為 , 則（ ）。(A) 2(B) 1(C) 1/2(D) 4B9對(duì)隨機(jī)變量來說，如果，則可斷定不服從（ ）。(A) 二項(xiàng)分布(B) 指數(shù)分布(C) 正態(tài)分布(D) 泊松分布B10設(shè)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D)

7、-3 B三、計(jì)算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）B1. 盒內(nèi)有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新球，3個(gè)是舊球。采取不放回抽取，每次取一個(gè)，直到取到新球?yàn)橹埂Ｇ蟪槿〈螖?shù)的概率分布。B2. 車間中有6名工人在各自獨(dú)立的工作，已知每個(gè)人在1小時(shí)內(nèi)有12分鐘需用小吊車。求（1）在同一時(shí)刻需用小吊車人數(shù)的最可能值是多少？（2）若車間中僅有2臺(tái)小吊車，則因小吊車不夠而耽誤工作的概率是多少？B3. 某種電子元件的壽命是隨機(jī)變量，其概率密度為求（1）常數(shù)；（2）若將3個(gè)這種元件串聯(lián)在一條線路上，試計(jì)算該線路使用150小時(shí)后仍能正常工作的概率。B4. 某種電池的壽命（單位：小時(shí)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且。求（1）這樣的電池

8、壽命在250小時(shí)以上的概率；（2），使電池壽命在內(nèi)的概率不小于0.9。B5. 設(shè)隨機(jī)變量。求 概率密度。B6. 若隨機(jī)變量服從泊松分布，即，且知。求 。B7. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為。求 和。B8. 一汽車沿一街道行使，需要通過三個(gè)均沒有紅綠燈信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，求紅或綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等。以表示該汽車未遇紅燈而連續(xù)通過的路口數(shù)。求（1）的概率分布；（2）。B四、證明題（共6分）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。證明：在區(qū)間上，服從均勻分布。試卷二參考答案一、填空1. 6由概率分布的性質(zhì)有 即 ，得 。2. ，則3. 0.54. 5. 0.25由

9、題設(shè)，可設(shè)即010.50.5則 二、單項(xiàng)選擇1. ()由分布函數(shù)的性質(zhì)，知 則 ，經(jīng)驗(yàn)證只有滿足，選2. ()由概率密度的性質(zhì)，有 3. ()由概率密度的性質(zhì)，有4. ()由密度函數(shù)的性質(zhì)，有 5. ()是單減函數(shù)，其反函數(shù)為 ，求導(dǎo)數(shù)得 由公式，的密度為 6. ()由已知服從二項(xiàng)分布，則又由方差的性質(zhì)知,7. ()于是 8. (A) 由正態(tài)分布密度的定義,有 9. (D) 如果時(shí),只能選擇泊松分布.10. (D) X為服從正態(tài)分布N (-1, 2), EX = -1 E(2X - 1) = -3三、計(jì)算與應(yīng)用題1. 解：設(shè)為抽取的次數(shù) 只有個(gè)舊球,所以的可能取值為：由古典概型，有則12342

10、. 解：設(shè) 表示同一時(shí)刻需用小吊車的人數(shù)，則是一隨機(jī)變量，由題意有，于是（1）的最可能值為 ，即概率達(dá)到最大的（2）3. 解：（1）由 可得 （2）串聯(lián)線路正常工作的充要條件是每個(gè)元件都能正常工作，而這里三個(gè)元件的工作是相互獨(dú)立的，因此，若用表示“線路正常工作”，則而 故 4. 解： （1）（查正態(tài)分布表）（2）由題意 即 查表得 。5. 解:對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)增加，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得，又由題設(shè)知 故由公式知： 6. 解:，則而由題設(shè)知 即 可得 故 查泊松分布表得，7. 解:由數(shù)學(xué)期望的定義知,而 故 8. 解:（1）的可能取值為且由題意,可得即0123（2）由離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有

11、四、證明題證明：由已知 則又由 得 連續(xù)，單調(diào)，存在反函數(shù) 且 當(dāng)時(shí)， 則 故 即 試卷三C一、填空（請(qǐng)將正確答案直接填在橫線上。每小題 2分，共10分）C1. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為，則 _，_.C2. 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，其概率分布分別為，則 _.C3. 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，則 服從_分布.C4. 已知與相互獨(dú)立同分布，且則 _.C5. 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為、方差，則由切比雪夫不等式有_.C二、單項(xiàng)選擇(在每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共20分)C1. 若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 ，則系數(shù)（ ）.(A) (B) (C) (

12、D) C2. 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則下列結(jié)論正確的是（ ）.(A) (B) (C) (D) C3. 設(shè)隨機(jī)向量(X , Y)的聯(lián)合分布密度為, 則（ ）. (A) (X , Y) 服從指數(shù)分布 (B) X與Y不獨(dú)立 (C) X與Y相互獨(dú)立(D) cov(X , Y) 0C4. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則下列隨機(jī)變量中服從均勻分布的有（ ）.(A) (B) (C) (D) C5. 設(shè)隨機(jī)變量與隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布, 且, 則下列各式中成立的是（ ）. (A) (B) (C) (D) C6設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在, 則下列各式中成立的是（

13、 ）.(A) (B) (C) (D) C7. 若隨機(jī)變量是的線性函數(shù)，且隨機(jī)變量存在數(shù)學(xué)期望與方差，則與的相關(guān)系數(shù)（ ）.(A) (B) (C) (D) C8. 設(shè)是二維隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充要條件是（ ）.(A) (B) (C) (D) C9. 設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則對(duì)于，有（ ）.(A) (B) (C) (D) C10. 設(shè),為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且Xi ( i = 1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，正態(tài)分布N ( 0, 1 ) 的密度函數(shù)為, 則（ ）. C三、計(jì)算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）C1. 將2個(gè)球隨機(jī)地放入3個(gè)盒子，設(shè)表示第一個(gè)盒子內(nèi)放入的球數(shù)，表

14、示有球的盒子個(gè)數(shù).求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布.C2. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為（1）確定的值；（2）求 .C3. 設(shè)的聯(lián)合密度為（1）求邊緣密度和；（2）判斷與是否相互獨(dú)立.C4. 設(shè)的聯(lián)合密度為求的概率密度.C5. 設(shè)，且與相互獨(dú)立.求（1）的聯(lián)合概率密度；（2）；（3）.C6. 設(shè)的聯(lián)合概率密度為求及.C7. 對(duì)敵人陣地進(jìn)行100次炮擊。每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4，標(biāo)準(zhǔn)差是1.5.求100次炮擊中有380至420課炮彈命中目標(biāo)的概率.C8. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受.問應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品才能使次品率為10%的這批產(chǎn)品不被接受的概率

15、達(dá)0.9.C四、證明題（共6分）C設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，證明隨機(jī)變量與任一常數(shù)的協(xié)方差是零.試卷三參考解答一、填空1. 由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得 2. 3. 相互獨(dú)立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布且，4. 5. 二、單項(xiàng)選擇1. (B)由 即 選擇(B).2. (B)由題設(shè)可知，故將標(biāo)準(zhǔn)化得 選擇(B).3. (C)選擇(C).4. (C)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布, 則選擇(C).5. (A)選擇(A).6. (A) 由期望的性質(zhì)知選擇(A).7. (D)選擇(D).8. (B)與不相關(guān)的充要條件是即 則 選擇(B).9. (C) 選擇(C).10. (A)Xi ( i = 1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則故 選擇(A).三、計(jì)算與應(yīng)用題1. 解顯然的可能取值為；的可能取值為注意到將個(gè)球