(完整版)2018屆重慶中考復(fù)習(xí)：二次函數(shù)相關(guān)的最值問題練習(xí)(含答案)

1、二次函數(shù)相關(guān)的最值問題2(1)例 1. 如圖，拋物線 y x24x5與 x軸交于點(diǎn) A、B，與 y軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D為拋物線的頂點(diǎn) 求直線 AC的解析式及頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)；(2)若 Q為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，連接QA、 QC，求 |QAQC|的最大值及此時點(diǎn) Q的坐標(biāo)；(3) 連接 CD，點(diǎn) P是直線 AC上方拋物線上一動點(diǎn) (不與點(diǎn) A、C重合) ，過 P作 PEx軸交直線 AC于點(diǎn) E，作 PFCD交直線 AC于點(diǎn) F，當(dāng)線段 PEPF取最大值時，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)及線段 EF的長；(4) 在 (3)K，連接 OL，問的條件下，將3KH，求線段(5) 在 (3) PEE問的條件下， 將線段

2、 PE沿著直線 B 取最小值時點(diǎn) E的坐標(biāo)針對訓(xùn)練21 如圖，直線 ykxb（k、b為常數(shù) ）分別與 x軸、 y軸交于點(diǎn) A（ 4， 0） 、 B（0 ，3） ，拋物線 yx2 2x1 與 y 軸交于點(diǎn) C.（1）求直線 y kx b 的解析式；（2）若點(diǎn) P（x ，y）是拋物線 yx22x1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P到直線 AB的距離為 d，求 d 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并求 d 取最小值時點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn) E在拋物線 yx22x1的對稱軸上移動，點(diǎn) F 在直線 AB上移動，求 CEEF的最小值2如圖，已知拋物線 y 33x22 3 3x 3與 x軸交于 A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn) B的左

3、側(cè)) ，與 y軸 交于點(diǎn) C，點(diǎn) D是點(diǎn) C 關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn) D作 DHx軸于點(diǎn) H，過點(diǎn) A作 AEAC交 DH 的延長線于點(diǎn) E.(1) 求線段 DE的長度；(2) 如圖，試在線段 AE 上找一點(diǎn) F，在線段 DE上找一點(diǎn) P，且點(diǎn) M為線段 PF上方拋物線上的一點(diǎn)， 求當(dāng) CPF的周長最小時， MPF面積的最大值是多少3如圖，對稱軸為直線 x2的拋物線經(jīng)過 A（ 1，0） ，C（0 ，5）兩點(diǎn)，與 x軸另一交點(diǎn)為 B.已知 M（0，1） ，E（a ， 0） ，F(xiàn)（a1，0） ，點(diǎn) P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)（1） 求此拋物線的解析式；4已知，如圖，二次函數(shù)

4、y ax2 2ax 3a (a 0)圖象的頂點(diǎn)為 H，與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)(B 點(diǎn)在 A點(diǎn)右 側(cè))，點(diǎn) H， B關(guān)于直線 l：y 33x 3對稱(1) 求 A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn) A在直線 l 上；(2) 求二次函數(shù)的解析式；(3) 過點(diǎn) B 作直線 BKAH交直線 l 于點(diǎn) K，M、N分別為直線 AH和直線 l 上的兩個動點(diǎn)，連接 HN、NM、 MK，求 HN NM MK和的最小值125如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y2x2 2x3與x軸交于 A，B兩點(diǎn)(點(diǎn) A在點(diǎn) B左側(cè))，與 y 軸交于點(diǎn) C，連接 BC，過點(diǎn) A作 ADBC交 y 軸于點(diǎn) D.(1) 求平行線 AD、 B

5、C之間的距離；(2) 點(diǎn) P 為線段 BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng) PCB 的面積最大時， Q從點(diǎn) P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂?運(yùn)動到直線 BC上點(diǎn) M 處，再沿垂直于直線 BC的方向運(yùn)動到直線 AD上的點(diǎn) N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動 到點(diǎn) B 處停止當(dāng)點(diǎn) Q的運(yùn)動路徑最短時，求點(diǎn) Q經(jīng)過的最短路徑的長6如圖，拋物線 y 43x294x3 3交x軸于 A、 B兩點(diǎn)，交 y軸于點(diǎn) C，點(diǎn) Q為頂點(diǎn)，點(diǎn) D為點(diǎn) C關(guān) 于對稱軸的對稱點(diǎn)(1) 求點(diǎn) D的坐標(biāo)和 tan ABC的值；(2) 若點(diǎn) P是拋物線上位于點(diǎn) B、D之間的一個動點(diǎn) (不與 B、D重合 )，在直線 BC上有一動點(diǎn) E，在 x 軸上有一

6、動點(diǎn) F. 當(dāng)四邊形 ABPD的面積最大時，一動點(diǎn) G從點(diǎn) P出發(fā)以每秒 1個單位的速度沿 PEF的 路徑運(yùn)動到點(diǎn) F，再沿線段 FA以每秒 2 個單位的速度運(yùn)動到 在運(yùn)動過程中所用時間最少？二次函數(shù)相關(guān)的最值問題答案2 2 2 例 1. 解：（1） yx24x5（ x24x）5（ x 2） 29， D（ 2，9）當(dāng) x0時，y5，C（0，5） 當(dāng) y 0時， x1 1， x2 5， A（5，0），B（1，0）， yACx5；（2） 因?yàn)辄c(diǎn) Q在拋物線對稱軸上，由拋物線對稱性知QAQB，由 C（0 ， 5）和 B（1 ， 0）可求得 yBC 5x5， 根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)Q， C， B

7、三點(diǎn)共線時，| QB QC| 最大，即 | QA QC| 最大， 可求直線 yBC 5x 5 與拋物線對稱軸交點(diǎn) Q為（2，15）， 此時 | QA QC| 最大值 BC 26.解：（3） 過P作PQy軸，交 AC于Q，再作 FMPQ于 M，如圖， 直線 AC： y x 5，設(shè) P（t ，t 24t5），Q（t，t5），22PQ（t24t 5）（t 5）t 25t.2 PEF CAO 45°， PEPQ t 25t ，1 PF CD， kCD 2kPF，tan MPF 2，設(shè) FM nMQ，則 PM 2n， PQ3n， PF 5n，即 PF 3 在 （3） 問的條件下，PQ， PE

8、PF （3 5）n（1 35） PQ，當(dāng) PQ最大時， PE PF取最大值，2 5 2 25而 PQ t 25t PE t 2 4 ，當(dāng)tPEPF取最大值，此時 P 25，345 ，EF 2PM25 6 2.5 35（4） 如圖：在 （3） 問的條件下， P 24H25，8 ，作 H關(guān)于 y軸的對稱點(diǎn) H1，作 O 關(guān)于拋物線對稱軸對稱點(diǎn) O1 ，所以O(shè)1（4，0），H1 52，8 ，連接直線O1H1，則 O1H1長即為 OL LK KH的最小值， 16 64O1H1： y x ，1 1 13 1313直線 O1H1與拋物線對稱軸交點(diǎn)即為 L 點(diǎn)的位置，此時OL LKKH的最小值 O1H152

9、 17；LP E PE245，在線段 PE平移過程中， PE即 PE長度不變，將 DP沿 P E向右平移 PE 的長即單位，得到 DE，如圖，則四邊形 DDPE為平行四邊形， 故 DP DE， 要使得 DP PE EB 最小，即 DP EB 最小， 即要使 DEEB 最小，當(dāng) D， E， B 三點(diǎn)共線時， D E EB最小， 設(shè) DB與直線 AC 交于點(diǎn) E.1736 364，9 ，直線 BD：y3163x36，21610123 ，即點(diǎn) E的坐標(biāo)為 （ 12031由題意知 D E 10123針對訓(xùn)練：1. 解：13 216） 23）（1） 直線 ykxb 經(jīng)過 A（4，0）、B（0，3），34

10、kb 0，k ， 3解得 4 y x3.b 3，4b3，b 3.（2） 過點(diǎn) P作 PH AB于點(diǎn) H，過點(diǎn) H作 x軸的平行線 MN，分別過點(diǎn) A、P作 MN的垂線段，垂足分別為 M、 N.3 3 3 2 設(shè) H（ m， 4m 3） ，則 M（4，4m3） ， N（ x， 4m 3） ， P（ x， x2 2x 1） PHAB， PHN AHM 90°， AMMN， MAH AHM 90°. MAH PHN， AMH PNH 90°， AMH HNP. MA y 軸， MAH OBA.NH PN PH OBA NHP. 34532（ m3）（ x2 2x1） x

11、 m43d.5.4 285整理得： d x2x ，所以當(dāng) x 時，d 取最小值，此時55855 119P（8， 64） AJ JF ， FK C K，F(xiàn)（ 285，14，C（2，1），F(xiàn)C154（3）拋物線的對稱軸為直線 x1，作點(diǎn) C關(guān)于直線 x1 的對稱點(diǎn) C，過點(diǎn) C作 CFAB于 F.過點(diǎn) F 作 JKx 軸，分別過點(diǎn) A、C作 AJ JK于點(diǎn) J，CKJK于點(diǎn) K，則 C（2 ， 1） 3設(shè) F（ m， 4m 3） ，CFAB， AFJ C FK90°， CKJK， C CFK90°， C AFJ， J K90°， AFJ FCK.3m34m 482m3

12、 ，解得 m25或 m 4（不符合題意，舍去） m m 24CE EF的最小值 CF154.53 x 3 x 30，得 x1 1， x2 3， B（3 ，0），令 y 0，即2. 解： （1） 對于拋物線 y 33x M（0 ，1） ，C（0 ， 5） ， PCM是以點(diǎn) P為頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn) P的縱坐標(biāo)為 3. 令 y x24x53，解得 x2± 6. 點(diǎn) P在第一象限， P（2 6，3） 四邊形 PMEF的四條邊中， PM、 EF長度固定，因此只要 MEPF最小，則四邊形 PMEF的周長最小 如圖，將點(diǎn) M向右平移 1個單位長度 （ EF的長度） ，得 M1（1 ， 1） ；作

13、點(diǎn) M1關(guān)于 x軸的對稱點(diǎn) M2，則 M2（1 ， 1） ；連接 PM2，與 x 軸交于 F點(diǎn)，此時 ME PF PM2最小設(shè)直線 PM2的解析式為 ymxn，將 P（2 6， 3） ，M2（1 ， 1）代入得： 2 3 3x 3， 令 x0，得 y 3，即 C（0， 3） ， D（2 ， 3）， DH 3， A（ 1，0）， AEAC，EHAH， ACO EAH， OCOA，即 3 1，AH EH 3 EH 解得： EH 3，則 DE 2 3； （2） 如圖，找點(diǎn) C關(guān)于 DE的對稱點(diǎn) N（4， 3），找點(diǎn) C關(guān)于 AE的對稱點(diǎn) G（ 2， 3）， 連接 GN，交 AE于點(diǎn) F，交 DE于點(diǎn)

14、 P，即 G、F、 P、N四點(diǎn)共線時， CPF的周長 CFPFCPGFPFPN最小，直線 GN的解析式： y 33x 33；直線 AE的解析式： y 33x 33；直線 DE的解析式： x 2.聯(lián)立得： F（0 ， 3 ） ，P（2， 3 ） ，ym（x2） 2k.過點(diǎn) M作 y 軸的平行線交 FH于點(diǎn) Q， 設(shè)點(diǎn) M（m， 3 m2 3 m 3） ， 則 Q（m， 33m 33）（0 m2）；1 3 2 3 4 3 S MFP S MQF S MQP 2MQ×2 MQ 3 m2 3 m 3 2 3 3 311對稱軸為直線 m2，而 0 22，拋物線開口向下， m 時， MPF的面積

15、有最大值，為.2 123. 解：（1） 對稱軸為直線 x 2，設(shè)拋物線解析式為9m k 0，m 1，2 2將 A（1，0），C（0，5）代入得：解得y（x2）29 x24x5.4m k 5，k 9，（2 6）mn 3，mn 1，4 6 44 61解得： m5， n5 ，4 6 4 4 6 1 y5 x 5 .x 5 645. F（ 645，0） a 61.a 61時， 44當(dāng) y 0 時，解得a1 645，4四邊形 PMEF周長最小24. 解： （1） 依題意，得 ax22ax3a0（a0），解得 x1 3，x21， B點(diǎn)在 A點(diǎn)右側(cè)， A點(diǎn)坐標(biāo)為 （3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為 （1 ，0）， 證明

16、：直線 l ： y 33x 3，x 3 時， y 3 ×（ 3） 3 0，點(diǎn) A 在直線 l 上3（2） 過頂點(diǎn) H 作 HCAB交 AB于 C點(diǎn)，點(diǎn) H、 B關(guān)于過 A點(diǎn)的直線 l ：y 33x 3對稱， AHAB 4， 3又點(diǎn) H 為拋物線頂點(diǎn)，則點(diǎn) H在拋物線對稱軸上， AHBHAB4.在 Rt ACH中， 由勾股定理得 CH AH2 AC22 3，頂點(diǎn) H（1，2 3） ，3x3 23代入二次函數(shù)解析式，解得 a 2 ，二次函數(shù)解析式為 y 22x（3） 直線 AH的解析式為 y 3x 3 3， 直線 BK的解析式為 y 3x 3，由 y 33x 3，解得y 3x 3，x 3

17、， y2 3，即 K（3，2 3） ，則 BK4，點(diǎn) H、 B關(guān)于直線 AK對稱， HNMN的最小值是MB，過點(diǎn) K作 KDx軸于 D，作點(diǎn) K關(guān)于直線 AH的對稱點(diǎn) Q，連接 QK，交 直線 AH于 E，則 KEKD 2 3，QMMK，QEEK2 3，AEQK，BM MK的最小值是 BQ，即 BQ的長是 HNNMMK的最小值， BKAH， BKQ HEQ 90°，由勾股定理得 QB8， HNNM MK的最小值為 8.CO 3sin CBOBCCO 33.因?yàn)?AD BC， sin BADsin CBO 33.3過 B作 BH AD于點(diǎn) H， sin BADBAHB 3 ， BH 4

18、 6； AB 3 3平行線 AD、 BC間的距離為 43 6.（2） 過 P作PQy 軸，交 BC于點(diǎn) Q，設(shè) P（ m， 12m2 2m3） ，直線 BC： y 22x3，Q（m， 22m 3） ，1 S PCB2· PQ·（xB xC） 當(dāng) m 2 時， S CPB最大，此時， P（1 2 3 2 2m2 2 m） ，3 2 15個單位長度得 B，此時 B與點(diǎn) H（5 3 2，32 ， 4）取點(diǎn) B關(guān)于 AD的對稱點(diǎn) B，將B沿 BB方向平移 4 3 6 3 3） 重合連接 HP，交 BC于點(diǎn) M，點(diǎn) M即為所求（PMNMBN） 最小PHMN 59374 612 3x2 3，A（4 3，0），B（ 3，0） ，點(diǎn) D（3 3，3 3） ；6. 解： （1） 令 43x2 94x 3 30，解得 x1