相似對角化的典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載ML36008題目：設(shè)A是n階幕等陣(A2 = A), r( A) = r, 0 < r E n ,證明A可相似對角化，并求A 一2E .涉及的知識點(diǎn)知識點(diǎn)一：特征值和特征向量的定義(M2711)知識點(diǎn)二：矩陣可對角化的條件(M2731)知識點(diǎn)三：求相似對角矩陣的方法(M2732)解題方法需要配首或重點(diǎn)提小的文子：無內(nèi)容：本題至少后兩種解法.1 .利用特征值和特征向量的定義求出A特征值的取值范圍.2 .看A是否有n個線，住無關(guān)的特征向量,從而判斷A是否 可以相似對角化.3 .利用求相似對角矩陣的方法求行列式的值.解題過程(詳細(xì)過程)第T:設(shè)A有特征值九，于是存在X于0使得

2、AX =九 X對上式兩端左乘A,得2. 2，一A X =八AX =九 X(1)又2八，一、A X = AX = >uX(2)由()與(2)得九2X =X再由X #0,有建=九.所以A特征值的取值范圍為0和1.需要配首或重點(diǎn)提小的文子：無學(xué)習(xí)必備歡迎下載第二步：由 A2 =A,得 A(E A)=0,故有r(A) +r( E - A) < n又r(A) +r(E - A) > r(A + E - A) = r(E) = n從而有r( A ) + r( EA) = n由已知 r(A) = r ,故(E A)= nr .需要配首或重點(diǎn)提小的文子：無第三步：當(dāng)九=0時，由AX =0,因

3、(A) = r ,故有n-r個線性無關(guān) 的特征向量.當(dāng)九二1 時，由(E -A)X =0,因 r(E A)=n r ,故有 r 個線性無關(guān)的特征向量.從而共有r+(n-r) = nj線性無關(guān)的特征向量.因此A可相似對角化.需要配首或重點(diǎn)提小的文子：無第四步：由A可相似對角彳P/A從而|A-2 E = PJ=1P= (-1)n七，故存在可逆陣 P,使得D ；Er 0P =1。01三 r 01 UrP -2E0 0 一|"H /n -r2學(xué)習(xí)必備歡迎下載第二種解法第一由r(A)=r,知A有r個列向量線性無關(guān)，不失一性，設(shè)之為二冬，二，根據(jù)A2 = A,我們有AA=A(匕占，匕，&

4、)=( W，"二)即得A1, i = 12|11, r故A有特征值人=1 (至少r重根),其對應(yīng)的線性無關(guān)的 特征向量共有r個。,£.第二步：由r( A) = r，故AX =0有n-r個線性無關(guān)的解，設(shè)之為，書產(chǎn)fJHA,即A% =0 ,i =r +1,十2#| ,n故A有特征值九=0,其對應(yīng)的線，性無關(guān)的特征向量為 ，書，史,，.第三步：由于屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)，所以 "br'r,"T 產(chǎn) T ,111,，線行關(guān).令P=g上,£,，書,“Tn)則P/AP = ,E r 01。從而A-2E = P |Er 0、'2E

5、I-E r 0 1=P I-2E P：0 0 一= (-1)n2n-r學(xué)生常犯的錯誤需要配首或重點(diǎn)提小的文子：無內(nèi)容：計(jì)算錯誤.相關(guān)例題題目一：設(shè)A是n階方陣且滿足A2 -3A + 2E =0,證明A 可相似對角化.學(xué)習(xí)必備歡迎下載解題思路：1 .利用特征值和特征向量的定義求出A特征值的取值范圍.2 .看A是否有n個線性無關(guān)的特征向量，從而判斷A是否 可以相似對角化.解答：由A2 -3A + 2E = 0可知 A的特征值九滿足記-3Z +2=0,于是A特征值的取值范圍為1和2.又由 A2 -3A 2E = (2E - A)(E 一 A) -0知r(2 E - A) r( E - A) <

6、 n而又 r(2E - A) r (E - A) = r(2E - A) r(A - E)_ r(2E - A A - E) =r(E) =n于是r(2 E - A) r( E - A) = n設(shè) r(2 E-A)=r,則( E-A) = n-r當(dāng)九=2 時，解(2E - A)X =0,因 r(2E A) = r ,故有n-r個線性無關(guān)的特征向量.當(dāng)九=1 時，由(E - A)X =0,因 r(E A)=nr ,故有r個線性無關(guān)的特征向量.從而共有r +(n -r) = n個線性無關(guān)的特征向量因此A可相似對角化.題目二：設(shè)A是n階方陣(n>1), r( A) = 1,證明：A可相似對角化=tr( A) :二 0 .解題思路：由r( A)=1知A有特征值0,再由tr( A)# 0知A還有特征值tr( A),分別討論屬于它們的線性無關(guān)的特征向量.學(xué)習(xí)必備歡迎下載解答：因?yàn)閞( A )=1, |A = 0,故A有特征值為0.并且由r(A) =1知(0E -A)X =0有n1個線性無關(guān)的解向量，即0的重根數(shù)至少為n-1.由特征值之和為矩陣的跡,所以A的特征值除了 n1個0 以外，還啟特征值tr( A).當(dāng)tr( A)#0時,A有n個線，住無關(guān)的特征向量.所以A可相似對角化u tr(A)#0.方法總結(jié)需要配首或重點(diǎn)提