2013年高考數(shù)學(xué) 回歸基礎(chǔ)知識(shí) 二、函數(shù)及其表示

1、2013年高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)知識(shí)：二、函數(shù)及其表示二、函數(shù)及其表示(一)函數(shù)的概念1、定義一般地，我們說(shuō)：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合B的子集。2、函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素是指定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。(2)由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等。拓展

2、與提示：(1)函數(shù)符號(hào)y=f(x)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀(jì)引入的。(2)注意區(qū)別f(a)和f(x)，f(x)是指函數(shù)解析式，f(a)是指自變量為a時(shí)的函數(shù)值。3、區(qū)間。設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：(1)滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a,b；(2)滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a，b)；(3)滿足不等式ax<b或a<xb的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)。定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間a，b開區(qū)間(a， b)半開半閉區(qū)間實(shí)數(shù)集常用區(qū)間表示為，“”讀作“無(wú)窮大”?！?/p>

3、”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“+”讀作“正無(wú)窮大”集合符號(hào)數(shù)軸表示拓展與提示：(1)在數(shù)軸上，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)。(2)求函數(shù)定義域，主要通過(guò)下列途徑實(shí)現(xiàn)。若f(x)是整式，則定義域?yàn)镽；若f(x)為分式，則定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕娜w實(shí)數(shù)；若f(x)為偶次根式，則定義域?yàn)槭贡婚_方數(shù)為非負(fù)數(shù)的全體實(shí)數(shù)；若f(x)的定義域?yàn)閍,b，則fg(x)的定義域是ag(x)b的解集；若fg(x)的定義域?yàn)閍，b，則f(x)的定義域是g(x)在下的值域。例1 求下列函數(shù)的定義域解析 要使有意義，則必須，即x-1且x2，故所求函數(shù)的定義域?yàn)槔? (1)已知函數(shù)f(x)的定義

4、域是-1，3，求f(x+1)和f(x2)的 定義域(2)已知函數(shù)f(2x+3)的定義域?yàn)?，求f(x-1)的定義域解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?1，3，f(x+1)的定義域由-1x+13確定，即-2x2，f(x+1)的定義域?yàn)?2，2.f(x2)的定義域由-1x23確定，即f(x2)的定義域?yàn)?2)函數(shù)f(2x+3)的定義域?yàn)椋?x+3中的x滿足-1<x2，1<2x+37.令t=2x+3，則f(t)的定義域?yàn)?又1<x-17，2<x8f (x-1)的定義域?yàn)?、反函數(shù)式子y=f(x)表示y是自變量x的函數(shù)，設(shè)它的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，我們從式子y=f(x)中解出x得到x

5、=g(y)，如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值通過(guò)式子x=g(y),x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=g(y)表示y是自變量x的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=g(y)叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作，一般寫成.拓展與提示：(1)函數(shù)y=f(x)的定義域和值域分別是它的反函數(shù)的值域和定義域；(2)函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。(二)函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示法解析法，就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖象法，就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。列表法，就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。拓展與提示：(1)函數(shù)用列表法表示時(shí)，其定義域是表中自變量所取值

6、的全體，其值域是表中對(duì)應(yīng)函數(shù)值的全體。(2)函數(shù)用圖象法表示時(shí)，其定義域是圖象投射到x軸上的區(qū)域范圍，其值域是圖象投射到y(tǒng)軸上的區(qū)域范圍。2、分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，可用幾個(gè)式子來(lái)表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)，它是一類重要函數(shù)，形式是：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，對(duì)于分段函數(shù)必須分段處理，其定義域?yàn)镈1D2Dn.拓展與提示：分段函數(shù)中，分段函數(shù)的定義域的交集為空集。例 中國(guó)移動(dòng)通信已于2006年3月21日開始在所屬18個(gè)省、市移動(dòng)公司陸續(xù)推出“全球通”移動(dòng)電話資費(fèi)“套餐”，這個(gè)套餐的最大特點(diǎn)是針對(duì)不同用戶采用了不同的收費(fèi)方法，具體方案如下：方案代號(hào)基本月租

7、(元)免費(fèi)時(shí)間(分鐘)超過(guò)免費(fèi)時(shí)間話費(fèi)(元/分鐘)130480.602981700.6031683300.5042686000.45538810000.40請(qǐng)問(wèn)：“套餐”中第3種收費(fèi)方式的月話費(fèi)y與月通話量t(月通話量是指一個(gè)月內(nèi)每次通話用時(shí)之和)的函數(shù)關(guān)系式。解析 “套餐”中第3種收費(fèi)函數(shù)為3、復(fù)合函數(shù)若y是u的函數(shù)，u又是x的函數(shù)，即y=f(u),u=g(x),x(a, b),u(m,n)，那么y關(guān)于x的函數(shù)y=fg(x)，x(a,b)叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量，u的取值范圍是g(x)的值域。4、映射設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任何一個(gè)

8、元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。拓展與提示：(1)映射包括集合A、B以及從A到B的對(duì)應(yīng)法則f，三者缺一不可，且A、B必須非空。(2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，而B中的元素卻不一定在A中找到對(duì)應(yīng)元素，即使有，也不一定只有一個(gè)。5、函數(shù)解析式的求法待定系數(shù)法。若已知函數(shù)類型，可設(shè)出所求函數(shù)的解析式，然后利用已知條件列方程或方程組，再求系數(shù)。換元法。若已知函數(shù)的解析式，可令，并由此求出x=g(t)，然后代入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t的取值范圍為所求函數(shù)的定義域。賦值法：可令解析式中的自變量等于某些特殊值求解。列方程(組)法求解。若所給式子中含有f(x)，或f(x),f(-x)等形式，可考慮構(gòu)造另一個(gè)方程，通過(guò)解方程組獲解。 5配湊法例 解答下列各題：(1)已知f(x)=x2-4x+3，求f(x+1)；(2)已知f(x+1)=x2-2x，求f(x)；(3)已知二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1,g(-1)=5，圖象過(guò)原點(diǎn)，求g(x)。解析 (1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x(2)方法一：(配湊法)f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3， f(