2020-2021中考數(shù)學培優(yōu)(含解析)之圓與相似含詳細答案

1、2020-2021 中考數(shù)學培優(yōu)(含解析)之圓與相似含詳細答案 、相似 a b c 二二 1. 已知線段 a, b, c 滿足 ，且 a+ 2b + c= 26. (1) 判斷 a，2b，c，b2是否成比例; (2) 若實數(shù) x為 a， b 的比例中項，求 x 的值. 則 a=3k, b=2k, c=6k, 又 a+2b+c=26, 3k+2 x 2k+6k=26 解得 k=2, a=6, b=4, c=12; 2b=8, b2=16 / a=6, 2b=8, c=12, b2=16 2bc=96, ab2=6x 16=96 2bc=ab2 a, 2b, c, b2是成比例的線段。 (2)解：

2、/ x是 a、b 的比例中項， x2=6ab, x2=6 x 4X6 x=12. 【解析】 【分析】(1 )設(shè)已知比例式的值為 k，可得出 a=3k, b=2k, c=6k，再代入 a+2b+c=26，建立關(guān)于 k 的方程，求出 kl 的值，再求出 2b、b2,然后利用成比例線段的定 義，可判斷a, 2b, c, b2是否成比例。 (2)根據(jù)實數(shù) x為 a, b 的比例中項，可得出 x2=ab,建立關(guān)于 x的方程，求出 x 的值。 2. 如圖，已知：在 RtA ABC 中，斜邊 AB=10, sinA=萬，點 P 為邊 AB 上一動點(不與 A, B 重合)， PQ 平分/ CPB 交邊 BC

3、 于點 Q, QM 丄 AB 于 M , QN 丄 CP 于 N. 【答(1)解：設(shè) , / c A (1 )當 AP=CP 時，求 QP; (2) 若四邊形 PMQN 為菱形，求 CQ; (3) 探究：AP 為何值時，四邊形 PMQN 與厶 BPQ 的面積相等? 【答案】(1)解:/AB=10, sinA= 1 , BC=8, 則 AC= BC =6, / PA=PC / PAC 玄 PCA, / PQ 平分 / CPB / BPC=2Z BPQ=2/ A, / BPQ=Z A, PQ/ AC, PQ 丄 BC,又 PQ 平分/ CPB / PCQ=Z PBQ, PB=PC P 是 AB 的

4、中點， 1 :.PQ= AC=3 (2)解：四邊形 PMQN 為菱形， MQ / PC, / APC=90 , a a X ABX CP= ACX BC 則 PC=4.8, 由勾股定理得，PB=6.4, / MQ / PC, 6. 4 8 - CC 元=M =肓=衣 ，即茨=& 解得，CQ=廣 (3)解：/ PQ 平分/ CPB, QM 丄 AB, QN 丄 CP, QM=QN , PM=PN, SAPMQ=SAPNQ , 四邊形 PMQN與厶BPQ 的面積相等， PB=2PM, QM 是線段 PB 的垂直平分線, / B=Z BPQ, / B=Z CPQ CPQA CBP, 仇 H

5、CP=4 X =4 X=5, CQ= BQ=8 - J BM= AP=AB- PB=AB- 2BM= 【解析】【分析】(1)當 AP=CP 時，由銳角三角函數(shù)可知 AC=6, BC=8,因為 PQ 平分 / CPB 所以 PQ/AC，可知 PB=PC 所以點 P 是 AB 的中點，所以 PQ 是厶 ABC 的中位線, PQ =3; (2)當四邊形 PMQN 為菱形時，因為 / APC= ，所以四邊形 PMQN 為正方形， 可得 PB 躺圖 PC=4.8, PB=3.6,因為 MQ/PC，所以圧廉1腫鎖，可得 廣; AP= 3. 已知：A、B 兩點在直線 I的同一側(cè)，線段 AO, BM 均是直線

6、 I的垂線段，且 BM 在 AO 的右邊，AO=2BM,將 BM 沿直線I向右平移，在平移過程中，始終保持 / ABP=90 不變， BP 邊與直線 l 相交于點 P. =1 仏 當 QM 垂直平分 PB 時，四邊形 PMQN 的面積與 BPQ 的面積相等， CPQsA CBP,對應邊成比例，可得 ，所以 AP=AB-2BM, 此時 所以 nK C B 亠 J 1 P C (1 )當 P 與 0 重合時(如圖 2 所示)，設(shè)點 C 是 AO 的中點，連接 BC.求證：四邊形 OCBM 是正方形； AB滋 (2) 請利用如圖 1 所示的情形，求證： 鳳頁； (3) 若 A0=2 ，且當 M0=2

7、P0 時，請直接寫出 AB 和 PB 的長. 【答案】 (1)解：/ 2BM=A0, 2C0=A0, BM=C0, / A0/ BM , 四邊形 0CBM 是平行四邊形， / / BM0=9O ?0CBM 是矩形， / ABP=90 , C 是 A0 的中點， 0C=BC 矩形 0CBM 是正方形 (2)解：連接 AP、0B P 0 “ / / ABP=Z A0P=9O A、B、0、P 四點共圓， 由圓周角定理可知： / APB=Z A0B / A0/ BM / A0B=Z 0BM / APB=Z 0BM APB 0BM A O (3)解：當點 P 在 0 的左側(cè)時，如圖所示,0 過點 B 作

8、 BD 丄 AO 于點 D, 易證 PE8A BED, PO Ob .亦莎 易證：四邊形 DBMO 是矩形, .BD=MO, OD=BM, MO=2PO=BD, / AO=2BM=2 , BM= , y/6 兇 6 OE= , DE= 易證 ADBs ABE, AB2=AD?AE, AD=DO=DM=., 6 AE=AD+DE= AB= , 由勾股定理可知：BE= 易證： PEOSA PBM , BE i 両一莎一丁 PB= ； 當點 P 在 O 的右側(cè)時，如圖所示, 過點 B 作 BD 丄 OA 于點 D, / MO=2PO, 點 P 是 OM 的中點， 設(shè) PM=x, BD=2x, / A

9、OM= / ABP=90, A、O、P、B 四點共圓， 四邊形 AOPB 是圓內(nèi)接四邊形， / BPM=Z A, ABDs PBM, AD Pk M 砒, 又易證四邊形 ODBM 是矩形，AO=2BM , AD=BM= , f6 x , 解得：x=| ：., BD=2x=2 . 由勾股定理可知： AB=3 心 BM=3 【解析】【分析】(1)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形 OCBM 是平行四邊形，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形得出 ？OCBM 是矩形，根據(jù)直角三 角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出 OC=BC 根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形得出 結(jié)論； (2)連接

10、 AP、OB,根據(jù)/ ABP=Z AOP=90，判斷出 A、B、O、P 四點共圓，由圓周角定 理可知：/ APB=Z AOB,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出 / AOB=Z OBM，根據(jù)等量代換得 出/ APB=Z OBM,從而判斷出 APBsOBM,根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出 冊 砒; (3)當點 P 在 O 的左側(cè)時，如圖所示，過點 B 作 BD 丄 AO 于點 D,易證 PEC BED, 根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出 ，易證：四邊形 DBMO 是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì) 得出 BD=MO, OD=BM, 故 MO=2PO=BD,進而得出 BM,OE,DE 的長，易證 ADBs ABE,

11、根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出 AB2=AD?AE,從而得出 AE,AB 的長，由勾股定理可得 BF 的長，易證： PE8A PBM ,根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出 BE : PB=OM : PM=2 : 3，根據(jù)比例式得出 PB 的長；當點 P 在 O的右側(cè)時，如圖所示， 過點 B 作 BD 丄 OA 于點 D,設(shè) PM=x, BD=2x,由/ AOM= / ABP=90 ,得出四邊形 AOPB 是 圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出 / BPM=Z A，從而判斷出 ABDs PBM , 根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出 AD : BD=PM : BM，根據(jù)比例式得出 x的值，進而得出

12、 BD, AB, BP 的長。 4. 已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AB/ CD, / D= 90 , AD= CD= 2,點 E 在邊 AD 上(不 (2)解：/ Z CFE 玄 BFA, Z CEB=Z CAB, Z ECA=180 - Z CEB- Z CFE=180- Z CAB- Z BFA / Z ABF=180 - Z CAB- Z AFB, Z ECA=Z ABF, / Z CAE=Z ABF=45 , CEA BFA C A MT AE 2 x 應 7 C A SFA AF -J2(j + 4)工 I 血 - ； / (Ov xv 2) (2)如果把 CAE 的周長記作

13、CCAE , BAF 的周長記作3 BAF ,設(shè)酬=y,求 y 關(guān) 于 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域; (3)當/ ABE 的正切值是 時，求 AB 的長. 【答案】(1)解：/ AD=CD. / DAC=Z ACD=45 , / / CEB=45 , / DAC=Z CEB / Z ECA=Z ECA CEFA CAE CE Cb 刁 CL 在 RtA CDE 中，根據(jù)勾股定理得， CE= 與點 A、D 重合)，/ CEB= 45 EB 與對角線 AC 相交于點 F,設(shè) DE= x. (1)用含 x的代數(shù)式表示線段 CF 的長; (3)解：由(2)知， CEQA BFA , AB=x+2

14、, / ABE 的正切值是啟, 童 2 - x 3 tan / ABE= , x=, AB=x+2=. 【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得 / DAC=/ ACD=45，進而根據(jù)兩 角對應相等的兩三角形相似，可得 CE3A CAE 然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理 可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，由三角形的周長比可求解；（ 3）由（2）中 的相似三角形的對應邊成比例，可求出 AB 的關(guān)系，然后可由/ ABE 的正切值求解. 5. 如圖 所示，在 ABC 中，點 0 是 AC 上一點，過點 0的直線與 AB, BC 的延長線分別 （2 ）【探索研究】 AM BN C

15、O 若點 O 是 AC 上任意一點（不與 A, C 重合），求證：廁胚 OA ; （3）【拓展應用】 如圖所示，點 P 是厶 ABC 內(nèi)任意一點，射線 AP, BP, CP 分別交 BC, AC, AB 于點 D, AF 1 BD 1 Ah - X - #4) ) 的值； BN 的延長線于點 G. E, F 若腫 ,偽二，求燈的值. 交于點 E, B.由可得 AF BC PP BE CD PA AF BC DP AE CB 講 AE AF BC BD AF BC 1 ECBF7bcBBFcb6 BG AB 【解析】 【分析】(1)作 AG / MN 交 BN 延長線于點 6,證厶 ABG MB

16、N 得鬪一 他, NG AC 同理可證厶 AC3A OCN 得 ,結(jié)合 AO=CO,得 NG=CN,從而由 A 作 MN 的平行線交 BN 的延長線于點 G.TON/ AG, NG 4由 的中點， AO= CO, NG= CN.T MN / AG, , (2) 解: (3) 解: 證明：由(1)可知 在 ABD 中，點 co a , NG BN a 鬲W志=1 P 是 AD 上一點，過點 P 的直線與 AB, BD 的延長線分別相交于 點C.由可得 在 ACD 中，過點 P 的直線與 AC, CD 的延長線分別相 【答案】 (1 )解：過點 TO 是 AC CN NG 總 劃晾應進行求解 CO

17、 CN 由剛 Mb, AO NG AM BN CO NG BN CN 可知：屋傳丟_瓦丁防泰 AE CB DP - 二 / EC BD PA A BC DP AE CB D/ AE AF BC BD AF BC * = 從B C PA EC BD P ,因此可EC BF CD CB BF CD 6 (3)由(2)可知，在 ABD 中有 ,在厶 ACD 中有 如圖 1，在 ABC 中，點 0 在線段 BC 上，/ BAO=30 , / OAC=75 , AO= / , BO: C0=1: 3，求 AB 的長. 經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點 B 作 BD/ AC,交 A0 的延長線于點 D,通過構(gòu)造

18、 ABD 就可 以解決問題(如圖 2). 請回答：Z ADB= _ , AB= _ (2)請參考以上解決思路，解決問題： 如圖 3，在四邊形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 Z ABC=Z ACB=75 , BO: 0D=1: 3，求 DC 的長. 【答案】(1) 75; 4 . Z DAC=Z BEA=90 . / Z AOD=Z EOB, AOA EOB Be EC DC = = / BO: OD=1: 3, EC BE 1 .無=帀=J . / AO=3 17 , AE=4 . / Z ABC=Z ACB=75 , Z BAC=30 , AB=AC, AB=2BE 在 R

19、tA AEB 中，BE2+AE2=AB2 ,即(4、) 2+B= (2BE) 2 , 解得：BE=4, O, AC 丄 AD, AO=., E, 如圖所示. (1)某學校 智慧方園”數(shù)學社團遇到這樣一個題目: (2)解：/ AC丄 AB=AC=8, AD=12. 在 RtA CAD 中，AC2+AD2=CD2 ,即 82+122=CD2 , 解得：CD=4 【解析】【解答】解：（1） / BD/ AC, / ADB=Z OAC=75 . / Z BOD=Z COA, BOA COA, 0L 處 1 習= =&又 AO= , 1 ll I OD= AO= , AD=AO+OD=4 / Z

20、 BAD=30 Z ADB=75 , 二 Z ABD=180 - Z BAD- Z ADB=75 =Z ADB, AB=AD=4 . 故答案為：75; 4 . 【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)，可求出 Z ADB 的度數(shù)，證明Z ADB=Z OAC,利用相似三 角形的判定定理證明 BODsA COA,得出對應邊成比例，求出 OD 的長，再求出 AD 的 長，然后證明Z ABD=Z ADB,可求得 AB 的長。 (2)過點 B 作 BE/ AD 交 AC 于點 E,先證明 AOA EOB,得出對應邊成比例，求出 EO、AE 的長，再證明 AB=2BE 利用勾股定理求出 BE 的長，就可得出 AC

21、AD 的長，然后 在 RtA CAD 中，利用勾股定理求出 CD 的長即可解答。 畫圖操作： (1 )在 y 正半軸上求作點 P,使得Z APB=Z ACB(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡) (2 )在(1)的條件下， B,連接 AC 若 tan / APB 匸，求點 P 的坐標。 時，/ APB 最大 當點 P 的坐標為 【答案】(1)解：/ APB 如圖所示; P,使得/ APB 最大，求點 P 的坐標 O J A 理解應用: (2)解：如圖 2 中, / Ah / APB=Z ACB, tan / ACB=tan/ APB= = . v A ( 2 , 0), B ( 6 , 0) BC=8,

22、C (6, 8), P,易知 P (0, 2), AC 的中點 K ( 4, 4)，以 K 為圓心 AK 為半徑畫圓, AB=4, y 軸于 P 和 拓展延伸: P，(0, 6) OK= -3,則 P -3, )。 (3)解：如圖 3 中, 當經(jīng)過 AB 的園與直線相切時， / APB 最大.直線 y x+4 交 x軸于 M (- 3, 0),交 y 3, P ( - 3, ). 【解析】【解答】解：(1)當O K 與 y 軸相切時，/ APB 的值最大，此時 AK=PK=4, AC=8, BC= =4 . , C ( 6, 4 . ) , K ( 4, 2 . ) , P (0 , 2 ).

23、 【分析】(1)因為 CB 丄 x軸于點 B,所以/ ABck。要使/ APB=Z ACB,只需這兩個角 是同弧所對的圓周角。所以用尺規(guī)左三角形 ABC 的外接圓，與 y 軸相交，其交點即為所求 作的點 P; Ab 1 (2) 由(1)知，/ APB=Z ACB,所以 tan / ACB=tan/ APB =,已知 A (2 , 0), B (6, 0)，所以 AB=4, BC=8,貝 U C (6, 8), AC 的中點 K (4, 4),以 K 為圓心 AK 為半 徑畫圓，交 y 軸于 P 和 P,易得 P (0, 2), P (0, 6); 當O K 與 y 軸相切時，/ APB 的值最

24、大，此時 AK=PK=4 AC=8,在直角三角形 ABC 中， 由勾股定理可得 BC=M -腫=心則 C (6,傀丘)，K (4, 2 茁)，而 P 在 y 軸上，所 以 P (0, 2 .); 4 (3) 由(2)知，當經(jīng)過 AB 兩點的圓與直線相切時， / APB 最大。設(shè)直線 y=x+4 交 x 軸 于 M交 y 軸于 N,則可得 M (- 3, 0), N (0, 4),因為 MP 是切線，所以由切割線定 理可得 MP2=MA?MB，可求得 MP=3，作 PK 丄 OA 于 K.所以 ON/ PK,由相似三角形的 判定定理可得比例式；云滋 疋即朋曲 朋,解得 PK=再,MK=庁，所以可

25、得 軸于 N( 0，4 ) . / MP 是切線， MP2=MA?MB , / MP=3 ,作 PO OA 于 8. 在正方形 ABCD 中，AB=8,點 P 在邊 CD 上，tan / PBC=，點 Q 是在射線 BP 上的一個 動點，過點 Q 作 AB 的平行線交射線 AD 于點 M，點 R 在射線 AD 上，使 RQ 始終與直線 BP 垂直. 囹2 S3 重合時，求 PQ 的長； (2) 如圖 2，試探索：.的比值是否隨點 Q 的運動而發(fā)生變化？若有變化，請說明你的 理由；若沒有變化，請求出它的比值； (3) 如圖 3,若點 Q 在線段 BP 上，設(shè) PQ=x, RM=y,求 y 關(guān)于

26、x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 工批 .|-炭瀘| 的比值隨點忖的運動沒有變化 理由：如圖, 八 = BC 曆- 氐 & - , 3 一 的比值隨點 腳的運動沒有變化，比值為 （3）解：延長 交 kT 的延長線于點| 3 它的定義域是 【解析】【分析】(1 )由題意解直角三角形 PBC 可求得 CP=6, PB=10,根據(jù) PB3A PRQ 可得比例式求解； (2) 由題意易得 RMQs PCB,可得比例式 的比值不會發(fā)生變化； (3) 延長 B P 交 A D 的延長線于點 N，因為 PD/ AB,所以由平行線分線段成比例定理 可得比例式求得 ND、PN，由題意易得 PD/ MQ，根據(jù)平行

27、線成比例定理可得比例式 57 ,則 y 與 x 的關(guān)系可求解。 二、圓的綜合 9. 如圖， AB 是半圓的直徑， 過圓心 0 作 AB 的垂線， 與弦 AC 的延長線交于點 D,點 E 在 0D 上 DCE B . (1) 求證：CE 是半圓的切線； 2 (2) 若 CD=10 , tanB -，求半圓的半徑. 3-v x 1 3 3 26 0 x W 匸 5 PC PC 6 ,由(1 )知 為一定值，所以 分析：（1）連接 CO,由 DCE B且 OC=OB 得 DCE OCB ,利用同角的余角相等 判斷出/ BCO+Z BCE=90,即可得出結(jié)論； （2）設(shè) AC=2x,由根據(jù)題目條件用

28、x 分別表示出 OA、AD、AB,通過證明 AO ACB, 列出等式即可. / DCE+Z BCE=90. / OC=OB, / OCB=Z B. DCE= B, / OCB=Z DCE / OCE=Z DCB=90 OC 丄 CE / OC 是半徑, CE 是半圓的切線. (2)解：設(shè) AC=2x, BC=3x. TOD 丄 AB, / AOD=Z ACB=90 . / / A=Z A, AOA ACBCO /在 RtAACB 中，tanB AC BC 2 2 2x 3x 、 【答案】（1 ）見解析；4 .,13 【解析】 連接 / DCB=180 - ACB=90 . 3 AC AO AB

29、 AD . OA 1 AB 2 1 2 2 -13x , AD=2x+10, 2 、13x 2x 解得 x=8. 10 OA 上 2 8 4 13. 則半圓的半徑為 4,13. 點睛：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形 10.如圖，AB 是O O 的直徑，弦 CD 丄 AB ,垂足為 H ,連結(jié) AC, 交 CD的延長線于點 G ,連結(jié) AE 交 CD 于點 F ,且 EG=FG 連結(jié) 過BD上一點 E 作 EG/ AC CE 求證：Z G=Z CEF 3 延長 AB 交 GE 的延長線于點 M,若 tanG = , AH=3 3 , 4 求 EM 的值. 【答案】(1)證明見

30、解析；(2)證明見解析；(3) 竺 3 8 【解試題分析：(1)由 AC/ EG,推出/ G=Z ACG,由 AB 丄 CD 推出 AD AC，推出 Z CEF=Z ACD,推出Z G=Z CEF,由此即可證明； (2) 欲證明 EG 是O O 的切線只要證明 EG 丄 OE 即可； (3) 連接O r A AH HC AHCs MEO ,可得 ，由此即可解決問題； EM OE 試題解析：(1)證明：如圖 1 . / AC/ EG Z G=Z ACG, / AB 丄 CD, AD AC， / CEf=Z ACD, / G=Z CEF, / Z ECF=Z ECG - ECM GCE (3) C

31、 Al J J,/ 圖 1 (2)證明：如圖 2 中，連接 0E. / GF=GE, / Z GFE=Z GEF=Z AFH, / OA=OE, Z OAE=Z OEA, / Z AFH+Z FAH=90 ； / Z GEF+ Z AEO=90 ； / Z GEO=90 ； / GE 丄 OE, 3、3 4.3 - - EM 25 3 , EM = -25-3 . 8 6 點睛：本題考查圓綜合題、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定 理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，正確尋找相 似三角形，構(gòu)建方程解決問題嗎，屬于中考壓軸題. 11. 如圖，A

32、B 為O O 的直徑，AC 為O O 的弦，AD 平分Z BAC,交O O 于點 D, DE 丄 AC, 交AC 的延長線于點 E./ GM / AC, Z CAH=Z M , / Z OEM=Z AHC, AH8A MEO, AH EM HC OE (1 )判斷直線 DE 與OO 的位置關(guān)系，并說明理由; (2)若 AE= 8, OO 的半徑為 5,求 DE 的長. 【答案】(1)直線 DE 與O O 相切(2)4 EAD = FAD , AD = AD , EAd FAD, AF = AE =8 , DF = DE , OA= OD =5, OF=3,在 RtA DOF 中，DF= , O

33、D2 OF2=4,二 AF = AE =8 考點：切線的證明，弦心距和半徑、弦長的關(guān)系 點評：本題難度不大，第一小題通過內(nèi)錯角相等相等證明兩直線平行，再由兩直線平行推 出同旁內(nèi)角相等第二小題通過求出兩個三角形全等，從而推出對應邊相等，接著用弦心 距和弦長、半徑的計算公式，求出半弦長. 12. 已知：如圖，在矩形 ABCD 中，點 O 在對角線 BD 上，以 OD 的長為半徑的O O 與 AD, BD分別交于點 E、點 F,且/ ABE=Z DBC. (1 )判斷直線 BE 與O O 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)若 sin/ABE=,CD=2,求 OO 的半徑. 【解析】 試題分析：(

34、1）連接 OD, / AD 平分/ BAC, EAD = OAD , OA = OD , ODA = D 在 O O 上, OAD , ODA = EAD , EA/ OD, ： DE 丄 EA 直線 DE 與O O 相切 DE 丄 0D,又 月如圖 1,作 DF 丄 AB,垂足為 F, DFA = DEA =90 , 【答案】（1）直線 BE 與O O 相切，證明見解析；（2） O O 的半徑為二 3 . 2 【解析】 分析：（1）連接 OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證 / BEO=90即可得出直線 BE 與O O 相切; （2）連接 EF 先根據(jù)已知條件得出 BD 的值，再在 BEO 中，利用勾

35、股定理推知 BE 的 長，設(shè)出OO 的半徑為 r,利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出 r 的值. 詳解：（1）直線 BE 與O O 相切理由如下： 連接 OE,在矩形 ABCD 中，AD/ BC, / Z ADB=Z DBC. / OD=OE, Z OED=Z ODE. 又 TZ ABE=Z DBC, Z ABE=Z OED, / 矩形 ABDC, Z A=90 Z ABE+ Z AEB=90 (2)連接 EF,方法 1： 四邊形 ABCD 是矩形，CD=2, Z A=Z C=90 AB=CD=2 3 BD忌2飛, / Z ABE=Z DBC, sin Z CBD=sin ABE

36、2,2 在 RtA AEB 中，/ CD=2, BCDC / tanZ CBD=tan Z ABE, BC AE AB 2 22 AE 2 由勾股定理求得設(shè)O O 的半徑為 r,則r2 (i.6)2 (2.3 方法 2： / DF 是OO 的直徑， Z DEF=90 四邊形 ABCD 是矩形， Z A=Z C=90 / Z ABE=Z DBC, sin Z CBD=sin ABE AB=CD=2. 3 設(shè) DC x, BD CD=2, BC ,3x，則 2.2 BC 2x / tanZ CBD=tDC BC AE AB 2 2.2 AE 2 AE 2 , 點睛：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定

37、理以及三角函數(shù)的應用等知識點，具有較強的 綜合性，有一定的難度. 13. 如圖，已知 AB 是OO 的直徑，點 C 為圓上一點，點 D 在 0C 的延長線上，連接 DA, 交 BC 的延長線于點 E,使得/ DAC=Z B. (1) 求證：DA 是O O 切線； (2) 求證： CEA ACD 1 (3) 若 OA=1, sinD= ，求 AE 的長. 3 【答案】（1）證明見解析；（2） 、,2 【解析】 分析：（1）由圓周角定理和已知條件求出 AD 丄 AB 即可證明 DA 是OO 切線; （2） 由/ DAC=Z DCE / D=Z D 可知 DEC DCA； （3） 由題意可知 AO=

38、1, OD=3, DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到 DC2=DE?AD,故此可求得 DE 的長，于是可求得 AE 的長. 詳解：（1） / AB 為 O O 的直徑， / ACB=90 , CABZ B=90 . / Z DAC=Z B, /CABZ DAC=90 AD 丄 AB. OA 是O O 半徑， DA 為O O 的切線； （2） / OB=OC, Z OCB=Z B. E為 AD中點. / DF 為直徑，/ FED=90 EF/ AB, DF 1 2BD 3， - oO 的半徑為 / Z DCE=Z OCB Z DCE=Z B. / Z DAC=Z B, / DAC=Z

39、 DCE / Z D=Z D, CED ACD OD=-2A=3 , CD=OD- OC=2. si nD AD= , OD2 3 OA2 =2 2 - AE=AD - DE=2 2 - 2 = 2 - 點睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應用、相似三角形的性質(zhì) 和判定，證得 DESA DCA 是解題的關(guān)鍵. 14閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對的圓周角相等， 一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半 先構(gòu)造 輔助圓”，再利用圓的性質(zhì) 將問題進行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。 解決問題：如圖，點 A 與點 B 的坐標分別是（1 , 0）,

40、（ 5, 0）,點 P 是該直角坐標系內(nèi) 的一個動點. （1） _ 使/ APB=3 0 的點 P 有 個； （2） 若點 P 在 y 軸正半軸上，且/ APB=30，求滿足條件的點 P 的坐標； （3） 設(shè) sin/APB=m,若點 P 在 y 軸上移動時，滿足條件的點 P 有 4 個，求 m 的取值范 圍. 半徑作OC,交 y 軸于點 Pi、P2. 1 1 在優(yōu)弧 APiB 上任取一點 P,如圖 1,則/ APB= / ACB= X 600 二使/ APB=30 的點 P 2 2 有無數(shù)個. 故答案為：無數(shù). (2) 點 P 在 y 軸的正半軸上，過點 C 作 CG 丄 AB,垂足為 G,

41、如圖 1. /點 A (1, 0)，點 B (5, 0), OA=1, OB=5, / AB=4. 1 點 C 為圓心，CG 丄 AB, AG=BG= AB=2, OG=OA+AG=3. 2 【答案】（1）無數(shù)；（2）（ 0, 2 3 7 ）或（0, 2、. 3 、7 ）；（ 3） 0 m,如圖 1. 點 C 的坐標為(3, 2. 3 ), CD=3, OD=2、3 . P1、P2 是O C 與 y 軸的交點， / AP1 B= Z AP2B=30 / CF2=CA=4, CD=3, DPz= .； _ = . 7 . /點 C 為圓心，CD 丄 P1P2, P1D=P2D= .7 , - P

42、1 (0, 2、3+,7 ), P2 (0, 2 ,3 - 7 ). (3) 當過點 A、B 的O E 與 y 軸相切于點 P 時，Z APB 最大. 2 理由：可證：Z APB=Z AEH，當Z APB 最大時，Z AEH 最大.由 sin Z AEH= 得當 AE AE 最小即 PE 最小時，Z AEH 最大.所以當圓與 y 軸相切時，Z APB 最大./ Z APB 為銳角， sin Z APB 隨Z APB 增大而增大，. 連接 EA,作 EH 丄 x軸，垂足為 H,如圖 2. / OE 與 y 軸相切于點 P, PE 丄 OP. / EH 丄 AB, OP 丄 OH, Z EPO=Z

43、 POH=Z EHO=90 , 四邊形 OPEH 是矩形， OP=EH, 2 PE=OH=3, EA=3. sinZ APB=sinZ AEH= , - m 的取值范圍是 0 m 3 1 A - * T 爾 圖1 點睛：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與 性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識，綜合性強.同時也考查了創(chuàng)造性思維，有 定的難度構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵. 15. 已知 P 是e 0的直徑BA延長線上的一個動點， / P 的另一邊交e 0于點 c、D,兩點 1 位于 AB 的上方，AB = 6, 0P=m, sin P=，如圖所示.另一個半徑為

44、6 的e。1經(jīng)過點 3 C、D,圓心距。尸n . (1 )當 m=6 時，求線段 CD 的長； (2) 設(shè)圓心 0i在直線AB上方，試用 n的代數(shù)式表示 m ; (3) P0Q 在點 P 的運動過程中，是否能成為以 00i為腰的等腰三角形，如果能，試求 出此時 n的值；如果不能，請說明理由. 2 【答案】(1)CD=2 ,5 ;(2)m= 3n 81 ;(3) n 的值為 .5 或 9 ,15 2n 5 5 【解析】 分析：(1)過點0作0H丄CD，垂足為點H，連接0C .解 RtA POH，得到0H的 長由勾股定理得 CH的長，再由垂徑定理即可得到結(jié)論； (2)解 Rf P0H，得到0H = m .在 RtV0CH和Rf CH中，由勾股定理即可得到 結(jié)論; (3) P001成為等腰三角形可分以下幾種情況討論： 當圓心01、0在弦CD異側(cè) 時， 分0P= 0。1和0f = 0。1.當圓心。1、0在弦CD同側(cè)時，同理可得結(jié)論. 詳解：(1)過點0作0H丄CD，垂足為點H，連接0C . AB = 6, 0C=3 . 由勾股定理得：CH .5. OH 丄 DC , CD 2CH 2,5 1 m (2)在 Rf POH 中，Qsid 3，PO= m，- OH = 3 - 2 在 RtA 中, CH 2= 9 m 3 2 在 RtA 中, C 2=36 n m 3 2