第2講三維變換

1、 第二講 三維變換齊次坐標(biāo) 在計(jì)算機(jī)中處理一個(gè)三維空間的在計(jì)算機(jī)中處理一個(gè)三維空間的“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”是困是困難的，但是可以容易地處理一個(gè)四維齊次空間的解難的，但是可以容易地處理一個(gè)四維齊次空間的解析點(diǎn)，例如可以用向量：析點(diǎn)，例如可以用向量： 齊次變換矩陣提供一個(gè)三維空間中包括平移、旋轉(zhuǎn)、透視、齊次變換矩陣提供一個(gè)三維空間中包括平移、旋轉(zhuǎn)、透視、投影、反射、錯(cuò)切和比例等變換在內(nèi)的統(tǒng)一表達(dá)式，使得物投影、反射、錯(cuò)切和比例等變換在內(nèi)的統(tǒng)一表達(dá)式，使得物體的變換可在統(tǒng)一的矩陣形式下進(jìn)行。體的變換可在統(tǒng)一的矩陣形式下進(jìn)行。 snmlrihgqfedpcbaTD3比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換平移變換投

2、影變換整體比例變換 一個(gè)變換是一個(gè)單一的數(shù)學(xué)實(shí)體一個(gè)變換是一個(gè)單一的數(shù)學(xué)實(shí)體 矩陣矩陣描述和標(biāo)識(shí)。描述和標(biāo)識(shí)。 兩個(gè)變換的結(jié)合用矩陣的級(jí)聯(lián)而產(chǎn)生一個(gè)具有兩個(gè)變換的結(jié)合用矩陣的級(jí)聯(lián)而產(chǎn)生一個(gè)具有兩者功效的單一變換。兩者功效的單一變換。 例如變換例如變換T是平移，而變換是平移，而變換R是旋轉(zhuǎn)，則變換的是旋轉(zhuǎn)，則變換的結(jié)合允許決定一個(gè)變換結(jié)合允許決定一個(gè)變換A=TR，其功效是先平，其功效是先平移然后旋轉(zhuǎn)變換。移然后旋轉(zhuǎn)變換。 幾何變換幾何變換 圖形的幾何變換圖形的幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。 點(diǎn)的矩陣變換 線框圖的變換 用參數(shù)方程描述的圖形的變換7.1.3

3、平面幾何投影平面幾何投影 投影變換投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。 平面幾何投影平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖、透視圖等。 觀察投影觀察投影是指在觀察空間下進(jìn)行的圖形投影變換。 投影中心、投影面、投影線投影中心、投影面、投影線： BAAB投影線投影中心線段BAAB投影線投影中心在無窮遠(yuǎn)處線段(a) 透視投影(b) 平行投影圖7-1 線段AB的平面幾何投影平面幾何投影可分為兩大類： 透視投影透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的 平行投影平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的SSS

4、(a)透視投影(b)正投影(c)斜投影圖7-2 平面幾何投影分為透視投影和平行投影平面幾何投影平行投影透視投影正投影斜投影三視圖正軸測(cè)斜等測(cè)斜二測(cè)正等測(cè)正二測(cè)正三測(cè)主視圖側(cè)視圖俯視圖一點(diǎn)透視二點(diǎn)透視三點(diǎn)透視圖7-3 平面幾何投影的分類7.2 三維幾何變換三維幾何變換snmlrjihqfedpcbazyxTpzyxpD113三維基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換假設(shè)三維形體變換前一點(diǎn)為p(x,y,z)，變換后為p(x,y,z)?；編缀巫儞Q1010000100001TzTyTxTt1000000000000jeaTssTS000010000100001zyX圖7-7 旋轉(zhuǎn)變換的

5、角度方向1000010000cossin00sincosRZT10000cossin00sincos00001RXT10000cos0sin00100sin0cosRYT例子例子：對(duì)如圖7-6所示的長方形體進(jìn)行比例變換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長方形體各點(diǎn)坐標(biāo)。 yzxyzxABCDEFGH圖7-6 比例變換223111對(duì)稱變換對(duì)稱變換1000010000100001FxyT1000010000100001FyzT1000010000100001FzxT1000010000100001FxT1000010000100001FyT1000010000100001FzT錯(cuò)

6、切變換錯(cuò)切變換1000010101hgfdcbTSH10000100010001gdTSHx10000100010001hbTSHy10000100010001fcTSHz相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換相對(duì)于參考點(diǎn)F(xf,yf,zf)作比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等變換的過程分為以下三步：(1)將參考點(diǎn)F移至坐標(biāo)原點(diǎn)(2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行三維幾何變換(3)進(jìn)行反平移(x,y,z)zyxzyx(x,y,z)zyx(x,y,z)zy(x,y,z)xFF圖7-8 相對(duì)參考點(diǎn)F的比例變換(a)原圖(b)移至坐標(biāo)原點(diǎn)(c)基本比例變換(d)移回F點(diǎn)原來位置繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換XYZABPP圖7-9

7、 P點(diǎn)繞AB軸旋轉(zhuǎn)RABTzyxzyx 1 1分析分析：111tARxRyRzRyRxtARABTTTTTTTTxzyB(a,b,c)BvcEbOxzyB(a,b,c)vOvaaaB 圖7-10 OA經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)與Z軸重合(a)(b)Dc公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)：(1) 將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到A點(diǎn)(2) 將OBB繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，則OB旋轉(zhuǎn)到xoz平面上(3) 將OB繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，則OB旋轉(zhuǎn)到z軸上。(4) 經(jīng)以上三步變換后，AB軸與z軸重合，此時(shí)繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞z軸的旋轉(zhuǎn)。(5) 最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來的位置。xzyB(a,b,c)BvcEbOxzyB(a,b,c

8、)vOvaaaB 圖7-10 OA經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)與Z軸重合(a)(b)Dc類似地，針對(duì)任意方向軸的變換可用五個(gè)步驟來完成：(1)使任意方向軸的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)進(jìn)行平移變換。(2)使方向軸與某一坐標(biāo)軸重合，此時(shí)需進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。(3)針對(duì)該坐標(biāo)軸完成變換。(4)用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。(5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。7.3 平行投影平行投影 平行投影可分成兩類：正投影和斜投影。投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面(a)正投影(b)斜投影7-11 平行投影投影平面法向投影方向投影平面(a)三視圖(b)正軸測(cè)7-12 正投影xzyO投影平面投影

9、方向zxy 正投影又可分為：三視圖和正軸測(cè)。 當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為三三視圖視圖；否則，得到的投影為正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖。 三視圖三視圖： 三視圖包括主視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種，投影面分別與Y軸、Z軸和X軸垂直。xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖7-13 三維形體及其三視圖1. 三視圖三視圖計(jì)算步驟：(1) 確定三維形體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)(2) 引入齊次坐標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)的變換矩陣(3) 將所作變換用矩陣表示，通過運(yùn)算求得三維形體上各點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x,y)或(y,z) (4) 由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維形體投影后的三視圖。 2. 主視圖主視圖 將三維形體向

10、xoz面（又稱V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。 xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖7-13 三維形體及其三視圖3. 俯視圖俯視圖三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖，(1) 投影變換(2)使H面繞x軸負(fù)轉(zhuǎn)90(3)使H面沿z方向平移一段距離-z0 xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖7-13 三維形體及其三視圖4. 側(cè)視圖側(cè)視圖獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面（側(cè)面W）作垂直投影。(1) 側(cè)視圖的投影變換(2)使W面繞z軸正轉(zhuǎn)90(3)使W面沿負(fù)x方向平移一段距離x0 xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖7-13 三維形體及其三視圖正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖正軸測(cè)有等軸測(cè)、正二測(cè)

11、和正三測(cè)三種。當(dāng)投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等時(shí)為等軸測(cè)等軸測(cè)；當(dāng)投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角相等時(shí)為正二測(cè)正二測(cè)；當(dāng)投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都不相等時(shí)為正三測(cè)正三測(cè)。 xzyOxzyOxzyOxzyOxzyOxzyO(a)等軸測(cè)(b)正二測(cè)(c)正三測(cè)圖7-14 正軸測(cè)投影面及一個(gè)立方體的正軸測(cè)投影圖投影平面投影平面投影平面5. 正軸測(cè)圖的投影變換矩陣正軸測(cè)圖的投影變換矩陣分析分析：xzyOABCDEF圖7-15 正軸測(cè)圖的形成公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)：(1) 先繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(2) 再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(3) 將三維形體向xoy平面作正投影 最后得到正軸測(cè)圖的投影變換矩陣100000s

12、incossin00cos000cossincos TTTTRxRy6. 正等測(cè)圖正等測(cè)圖分析分析：xzyOABCDEF圖7-15 正軸測(cè)圖的形成公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)：將和的值代入(7-1)式得到正等測(cè)圖的投影變換矩陣：1000004082. 07071. 0008165. 00004082. 07071. 0100000662200360006622T7. 正二測(cè)圖正二測(cè)圖分析分析：xzyOABCDEF圖7-15 正軸測(cè)圖的形成100000sin222200cos000sin2222T將值代入(7-1)式得到正二測(cè)圖的投影變換矩陣：7.3.2 斜投影斜投影斜投影圖斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形

13、體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。投影平面法向投影方向投影平面(a)斜等測(cè)(b)斜二測(cè)7-16 斜平行投影pOp投影方向投影平面pOp投影平面法向斜軸測(cè)圖的形成斜軸測(cè)圖的形成yzxp(0,0,zp)p(xp,yp,0)投影平面投影方向m7-17 斜平行投影的形成oyzx投影平面mo(b)q點(diǎn)為空間任意一點(diǎn)(a)p點(diǎn)在z軸上q(xq,yq,zq)yqxqyqxqq(xq,yq,0)zq通常=30取30或45。 斜平行投影的投影變換矩陣為：100000sincos00100001ctgctgT對(duì)于斜等測(cè)圖有：=45,ctg

14、=1斜二測(cè)圖則有：=arctg(2),ctg=1/2 對(duì)于斜等測(cè)圖有：=45,ctg=1斜二測(cè)圖則有：=arctg(2),ctg=1/2投影平面法向投影方向投影平面(a)斜等測(cè)(b)斜二測(cè)7-16 斜平行投影pOp投影方向投影平面pOp投影平面法向xzyxzyxzy 45 30 xzy 30 45111111/211/2(a)斜等測(cè)(b)斜二測(cè)7-18 單位立方體的斜平行投影7.4 透視投影透視投影zddyyxx7.4 7.4 透視投影透視投影0/1/1zdzyydzxx 1000000000100001100011000010000111dzyxzyxr透視縮小效應(yīng) 100011000010

15、000111dzyxzyx10001000010000111rzyxzyxr的取值對(duì)透視投影圖有放大和縮小的作用：1. r大時(shí)，得到的投影圖小，而當(dāng)r小時(shí)，得到的投影圖大。2. 對(duì)于相同的取值r：z大時(shí)即物體離投影平面遠(yuǎn)時(shí)，得到的投影圖小，而當(dāng)z小時(shí)、即物體離投影平面近時(shí)，得到的投影圖大。這說明物體透視投影的大小與物體到投影平面的距離成反比，這就是所謂的透視縮小效應(yīng)。3. 透視縮小效應(yīng)使得透視投影圖的深度感更強(qiáng)，這種效應(yīng)產(chǎn)生的視覺效果很類似于照相系統(tǒng)和人的視覺系統(tǒng)。透視縮小效應(yīng)0/1/1zdzyydzxx透視投影能夠產(chǎn)生具有一定真實(shí)感的二維圖形。但透視投影不保持物體的精確形狀和尺寸，而且平行線

16、的投影不一定仍然保持平行。滅點(diǎn)滅點(diǎn)不平行于投影面的平行線的投影會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為滅點(diǎn)滅點(diǎn)(Vanishing Point)。坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)稱作主滅點(diǎn)主滅點(diǎn)。一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。兩點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行。三三點(diǎn)透視點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。7-20 透視投影滅點(diǎn)滅點(diǎn)滅點(diǎn)滅點(diǎn)(a)一點(diǎn)透視(b)二點(diǎn)透視(c)三點(diǎn)透視滅點(diǎn)滅點(diǎn)7.4.1 一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視分析分析：要考慮下列幾點(diǎn)：(1)三維形體與畫面（投影面）的相對(duì)位置；(2)視距，即視點(diǎn)（

17、投影中心）與畫面的距離；(3)視點(diǎn)的高度。 假定視點(diǎn)（投影中心）在z軸（z=-d）。畫面（投影面）為xoy一點(diǎn)透視的步驟：(1)將三維形體平移到適當(dāng)位置l、m、n；(2)令視點(diǎn)在z軸，利用公式進(jìn)行透視變換；(3)最后，為了繪制的方便，向xoy平面作正投影變換，將結(jié)果變換到xoy平面上。例：試?yán)L制如圖7-21(a)所示的單位立方體的一點(diǎn)透視圖。xyz111ABCDEFGH圖7-21 單位立方體的一點(diǎn)透視(a)單位立方體xy0.51.01.50.51.01.5ABCDHFEG(b)一點(diǎn)透視圖7.4.2 二點(diǎn)透視二點(diǎn)透視可以這樣來構(gòu)造二點(diǎn)透視的一般步驟：(1)先將三維形體平移到適當(dāng)位置，使視點(diǎn)有一定

18、高度，且使形體的主要表面不會(huì)積聚成線；(2)將形體繞y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角(90)，方向滿足右手定則；(3)進(jìn)行透視變換(4)最后向xoy面作正投影，即得二點(diǎn)透視圖。例：試?yán)L制上例（圖7-21(a)）中的單位立方體的二點(diǎn)透視圖。xy1.02.03.01.02.03.0A BDHFEGC圖7-22 單位立方體的二點(diǎn)透視7.4.3 三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視同樣可以簡(jiǎn)單的構(gòu)造三點(diǎn)透視圖：(1)首先將三維形體平移到適當(dāng)位置；(2)將形體進(jìn)行透視變換(3)然后使形體先繞y軸旋轉(zhuǎn)角；(4)再繞x軸旋轉(zhuǎn)角；(5)將變形且旋轉(zhuǎn)后的形體向xoy面作正投影。7.5 觀察坐標(biāo)系及觀察空間觀察坐標(biāo)系及觀察空間7.5.1 觀察坐標(biāo)系觀

19、察坐標(biāo)系xyzxvyvzvpo(xo,yo,zo)圖7-23 用戶坐標(biāo)系與觀察坐標(biāo)系 觀察參考坐標(biāo)系觀察參考坐標(biāo)系（View Reference Coordinate） 觀察參考點(diǎn)觀察參考點(diǎn)（View Reference Point） 觀察平面觀察平面（View Plane），即投影平面。 圖7-26 沿zv軸的觀察平面zvyvxv 觀察坐標(biāo)系（觀察坐標(biāo)系（uvn坐標(biāo)系）的建立）的建立 法矢量法矢量N、法矢量、法矢量V、法矢量、法矢量Uxyzxvyvzvpo圖7-24 法矢量N的定義pNpoNVV圖7-25 法矢量V的定義7.5.2 觀察空間觀察空間 觀察窗口觀察窗口： 圖7-27 觀察窗口z

20、vyvxvxwmin,ywminxwmax,ywmax觀察窗口觀察平面投影中心與投影方向由投影參考點(diǎn)(Projection Reference Point，PRP)確定(即用戶通過指定PRP來確定投影中心或投影方向)。對(duì)透視投影來說，投影參考點(diǎn)就是投影中心。從投影中心向窗口的邊發(fā)出射線、由此形成一個(gè)以投影中心COP為頂點(diǎn)的四棱錐，稱為透視投影的觀察空間，如圖1014(a)所示。平行投影，從投影參考點(diǎn)指向窗口中心的方向確定了投影方向。平行于投影方向并過窗口邊的直線所包圍的一個(gè)長度無限的四棱柱，即為平行投影的觀察空間 觀察空間觀察空間：無限觀察空間、有限觀察空間無限觀察空間、有限觀察空間圖7-28

21、 正投影的觀察空間zvyvxv(a) 無限觀察空間(b) 有限觀察空間yvxv投影方向投影方向觀察窗口zv前截面后截面觀察窗口zvyvxvzvyvxv投影方向圖7-29 斜投影的觀察空間(a) 無限觀察空間(b) 有限觀察空間投影方向觀察窗口觀察窗口前截面后截面需注意，對(duì)于透視投影，前截面必須在投影中心和后截面之間。 zvyvxv圖7-30 透視投影的觀察空間觀察窗口zvyvxv(a) 無限觀察空間(b) 有限觀察空間前截面后截面投影中心投影中心觀察窗口 觀察平面和前后截面的有關(guān)位置取決于要生成的窗口類型及特殊圖形包的限制后截面觀察平面前截面zv觀察平面后截面前截面zv后截面=觀察平面前截面z

22、v圖7-31 觀察平面及前后截面的位置安排(a)(b)(c)觀察平面觀察窗口投影中心zv觀察窗口vp觀察平面圖7-32 觀察平面的移動(dòng)改變 斜投影觀察空間形狀觀察平面觀察窗口投影中心投影中心投影中心圖7-33 投影中心的移動(dòng)改變 透視影觀察空間形狀zv規(guī)范化觀察空間規(guī)范化觀察空間 平行投影的規(guī)范化觀察空間定義為：1, 01, 11, 1vvvvvvzzyyxxyvxvzv(1,1,1)(a) 平行投影的規(guī)范化觀察空間后截面觀察平面前截面zvxvoyv平面(-1,-1,0)-111 透視投影的規(guī)范化觀察空間為： 1,minvvvvvvvvvvzzzzyzyzxzx(b) 透視投影的規(guī)范化觀察空間

23、yvxvzv(1,1,1)后截面觀察平面前截面zvxvoyv平面(-1,-1,zmin)-111zmin7.6 三維觀察流程三維觀察流程三維裁剪正投影在圖形設(shè)備上輸出設(shè)備坐標(biāo)用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系間的變換應(yīng)用程序到圖形的用戶坐標(biāo)圖7-35 三維觀察流程用戶坐標(biāo)規(guī)范化投影變換二維變換輸出觀察坐標(biāo)規(guī)范化投影坐標(biāo)規(guī)范化投影坐標(biāo)規(guī)范化二維坐標(biāo)7.6.1 用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換具體變換步驟具體變換步驟：(1) 平移觀察參考點(diǎn)到用戶坐標(biāo)系原點(diǎn) (2) 進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換分別讓xv、yv和zv軸對(duì)應(yīng)到用戶坐標(biāo)系中的x、y和z軸。xyzxvyvpo(xo,yo,zo)(a) 用戶坐標(biāo)系與觀察坐標(biāo)系xyzxvyvzvo(b) 平移觀察坐標(biāo)系xyzxvyvzvo(c) 旋轉(zhuǎn)觀察坐標(biāo)系7.6.2 平行投影的規(guī)范化投影變換平行投影的規(guī)范化投影變換分析分析：yvxvzv(1,1,1)(-1,-1,0)(b) 有限觀察空間yvxv投影方向觀察窗口zv前截