矩陣的對角化及其應用

1、 湖北民族學院理學院2016屆本科畢業(yè)論文(設計)矩陣的對角化及其應用學生姓名： 趙遠安 學 號： 021241015 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 指導老師： 劉先平 答辯時間： 2016.5.22 裝訂時間： 2016.5.25 A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Diagonalization of

2、 the Matrix and its ApplicationsStudent Name: ZHAO Yuanan Student No.: 021241015 Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25 摘 要矩陣在大學數(shù)學中是一個重要工具，在很多方面應用矩陣能簡化描述性語言，而且也更容易理解，比如說線性方程組、二次方程等. 矩陣相似是一個等價關系，利用相似可以把矩陣

3、進行分類，其中與對角矩陣相似的一類矩陣尤為重要，這類矩陣有很好的性質(zhì)，方便我們解決其它的問題. 本文從矩陣的對角化的諸多充要條件及充分條件著手，探討數(shù)域上任意一個階矩陣的對角化問題，給出判定方法，研究判定方法間的相互關系，以及某些特殊矩陣的對角化，還給出如冪等矩陣、對合矩陣、冪幺矩陣對角化的應用.關鍵詞：對角矩陣，實對稱矩陣，冪等矩陣，對合矩陣，特征值，特征向量，最小多項式IIAbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language base

4、d on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can cla

5、ssify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of

6、 matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomial 目 錄摘要III緒言1課題背景1目的和意義 1國內(nèi)外概況 1預備知識2相關概念2矩陣的對角化4特殊矩陣的對角化 14矩陣對角化的應用 22總結 24致謝 25參考文獻 26獨創(chuàng)

7、聲明 281 緒言本課題研究與矩陣的對角化相關的問題，從對角化的判定展開論述，結合其它學術期刊的結論加上自己的體會，希望能讓讀者更好的理解矩陣及其對角化的妙處.1.1 課題背景在由北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編、王萼芳與石生明修訂、高等教育出版社出版的高等代數(shù)一書中，我們?yōu)榱朔奖憔€性方程組的運算引入了矩陣的概念. 在線性方程組的討論中我們看到，線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣反應出線性方程組的一些重要性質(zhì)，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程.除線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問題也提出矩陣的概念，并且這些問題的研究常常反應為有關矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不

8、同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結為矩陣問題以后卻是相同的. 在二次型中我們用矩陣研究二次型的性質(zhì)，引入了矩陣合同、正定、負定、半正定、半負定等概念及其判別方法.在向量空間中用矩陣研究線性變換的性質(zhì)，引入矩陣相似的概念，這是一種等價關系，利用它我們把矩陣分類，其中與對角矩陣相似的矩陣引起的我們的注意，由此我們對線性變換歸類，利用簡單的矩陣研究復雜的，方便我們看待問題，進而又引入對角型矩陣、矩陣及若爾當標準型.本文主要由矩陣定義和向量空間研究矩陣的對角化，從不同角度揭示矩陣對角化的判定及其性質(zhì)，還給出特殊矩陣的對角化及其相應的應用.1.2 課題研究的目的和意義課題研究的意義：(1) 研究矩陣對

9、角化的判定定理及應用，為其它學術研究提供便捷的工具；(2) 比較全面的介紹矩陣的對角化，方便讀者的整體理解和應用；1.3 國內(nèi)外概況 實數(shù)域、復數(shù)域等數(shù)域上的矩陣的對角化研究已經(jīng)很成熟，涉及特征值、最小多項式、線性變換方面的對角化證明也已完善，四元素體上矩陣的廣義對角化也有小有成就，矩陣對角化與群環(huán)域的結合方面的研究也有所突破. 實對稱矩陣、正交矩陣、分塊兒矩陣的對角化已完善，矩陣的應用也漸漸出現(xiàn)在更多的學科和科研當中. 矩陣的同時對角化、同時次對角化，以及對角化與秩的恒等式等方面的研究基本完善.2 預備知識 給出本文內(nèi)容所涉及的一些定義，方便對后面定理證明的理解. 定義1 常以表示數(shù)域上矩陣

10、的全體，用表示單位矩陣. 定義2 階方陣與是相似的，如果我們可以找到一個階非奇異的方陣矩陣，使得或者 . 根據(jù)定義我們?nèi)菀字老嗨茷榫仃囬g的一個等價關系：反身性：； 對稱性：若相似于，則相似于； 傳遞性：如果相似于，相似于，那么相似于. 定義3 階方陣與是合同的，如果我們可以找到一個階非奇異方陣，使得=或者. 根據(jù)定義我們?nèi)菀字篮贤矠榫仃囬g的一個等價聯(lián)系：反身性：=；對稱性：由即有；傳遞性：由和有. 定義4 式為的階方陣叫對角矩陣，這里是數(shù)（. 定義5 方陣，若，T非奇異，是對角陣，則稱可相似對角化. 定義6 方陣，若，T非奇異，是對角陣，則稱可合同對角化. 定義7 矩陣的初等變換：互換矩

11、陣的第行(列)于行(列)； 用非零數(shù)乘以矩陣第行(列)；把矩陣第行的倍加到第行. 定義 8 由單位矩陣經(jīng)過一次初等行(列)變換所得的矩陣稱為初等矩陣. 共有三種初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過初等變換得且；單位矩陣經(jīng)過初等變換得且；單位矩陣經(jīng)過初等變換得且. 定義9 設方陣，若，就稱為對合矩陣. 定義10 設方陣，若，就稱為冪幺矩陣. 定義 11 設方陣，若，就稱為冪等矩陣.定義 12 設方陣，若存在向量，滿足，我們就稱是的特征值，是屬于特征值的特征向量. 定義13 ，定義為矩陣的最小多項式 ，的一個根為而且比其他以為根的多項式的次數(shù)都低，首項系數(shù)是1. 3 矩陣的對角化本章介紹數(shù)域上階方陣陣的對角化問

12、題. 先給出矩陣對角化幾個一般的充要、充分條件及其證明. 引理1 如果，是矩陣Q的不同的特征值，而，是屬于特征值的線性無關的特征向量，,，那么,，,，也線性無關.證明：假設=0，令+=，則 （），且 =0 （1）分別用左乘以（1）兩端，再由引理4得：，（;),由此有 該線性方程組的系數(shù)矩陣為，為范德蒙行列式，又由互異有.根據(jù)克拉默法則就有，即+=0，再由線性無關得： ，故線性無關. 推論1 屬于不同特征值的特征向量是線性無關的. 定理1 與對角陣相似有個特征向量，它們是線性無關的.證明：可以對角化可逆矩陣，使得，即=（）.因此可以對角化存在（）使得，也即有個線性無關的特征向量. 根據(jù)這個定理判

13、定一個方陣是否可以對角化，必須從求解這個矩陣的特征多項式入手，雖然很直接，但考慮其計算量很大，加之特征值與特征向量只能分開求解，下面會介紹更簡便的方法.推論2如過方陣有個不同的特征值，那么該矩陣可對角化.證明：由Q有個不同的特征值及引理1的推論有Q有個線性無關的特征向量，再由定理1即有Q可以對角化. 注意：該推論為對角化的充分條件. 定理2 （互不相同）是的特征值， 可對角化 （r表示矩陣的秩）. 證明：的基礎解系的一組基向量的個數(shù)為：，我們可以得到關于的線性無關的特征向量的個數(shù)是（，再由引理1推出矩陣有個線性無關的特征向量. 根據(jù)定理1就有：階方陣可對角化有個線性無關的特征向量 =， .定理

14、3 與對角矩陣相似的充要條件：且(表示的代數(shù)重數(shù)). 證明：設的線性無關的特征向量為，由引理1有：線性無關. 若，那么Q就有個線性無關的特征向量可以對角化. 若與對角矩陣相似，則Q的屬于不同特征值的特征向量總數(shù)一定為. 否則根據(jù)定理1就可以推出線性相關，矛盾. 相較于定理1，定理3的優(yōu)點在于判定一個矩陣是否可以對角化著點于特征向量的重數(shù)，方便了許多，也易于計算. 下面利用定理1結合矩陣的秩給出矩陣可對角化的另一判別方法.引理2 設階方陣，則有. 證明：先證(2). 根據(jù)矩陣秩的定義有 階矩陣的線性無關的行數(shù) 方陣的線性無關的行數(shù)方陣的線性無關的行數(shù) .對方陣矩陣，由(2)式有，所以. 引理3

15、對于階方陣有.證明：先證（3），其中為任意階方陣.顯然當中有一個為時結論成立；另設，則有階子式，有q階子式.于是有階子式 ,因此. 要證，只需證明： 運用分塊矩陣的初等變換有： ，有初等變換不改變矩陣的秩以及式(3)有： .另證：令，則存在可逆矩陣使得=，若令 =,則以及=. 又因為任意矩陣左乘以與其行數(shù)相等的非奇異方陣或者右乘以與其列數(shù)相等的非奇異方陣不改變這個矩陣的秩，因此 =() = r(AB)+r(H) . 引理3的一般形式：（希爾維斯特不等式）設，分別為矩陣，則 . 證明：要證只需證明 ,因為分塊矩陣的初等變換不會改變矩陣的秩，而 ，也即，再有定理(3)就得.推論3設為數(shù)域上的階方陣

16、，則. 定理4 設階方陣，且，則可對角化.證明：由，有矩陣的特征值為或，根據(jù)引理2，引理3得：，從而的特征向量(線性無關)共有個.由定理1即得矩陣可對角化.定理 設n階方陣,兩兩互不相等，若則與對角陣相似.證明：根據(jù)有的特征值在中取得. 再由引理3的推論有,從而方陣的線性無關的特征向量的個數(shù)為. 又因為，故方陣的線性無關的特征向量的個數(shù)為，由此矩陣可對角化.推論4在定理4的前提條件下我們可以得到如下結論：.定理4是判定矩陣相似與對角矩陣的充要條件，若矩陣階數(shù)較高，計算量依然很大，特征值仍然需要計算，下面給出類似于定理4的充要條件. 定理5 設（互不相同）是的的特征值，重數(shù)分別為且，可對角化.證

17、明：先證明必要性與=相似，則存在非奇異矩陣滿足，其中為階單位矩陣，于是=，從而有.由于，因此. 再證充分性：對于n階矩陣，存在可逆矩陣，使得，是Jordan塊，若，Q就可以對角化，而，.所以，若，則因可逆有，又因為當時，可逆，所以，即. 引理4 ,是的關于特征值的特征向量，我們有（不全為0，）也是的關于的特征向量.證明：已知，則，也即，因此，又不全為0，因此，由特征向量的定義有是矩陣的屬于特征值得特征向量.定理6 (互不相同)是階矩陣的所有特征值，它們的代數(shù)重數(shù)依次是，則方陣與對角矩陣相似,.證明：先證必要性.可對角化存在可逆矩陣使得，從而，其中為階0矩陣，為階單位矩陣（. 因可逆，且，所以有

18、. 再證充分性：用反證法. 假設方陣不與對角矩陣相似，由幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù)得：至少存在一個整數(shù)，使得，于是當時，由引理3有.矛盾，假設不成立，故與對角矩陣相似.定理7 (互不相同)是n級方陣的所有特征根，若對任意滿足,則矩陣與對角矩陣相似.證明：設的重數(shù)分別為，由定理(高等代數(shù)第三版，高等教育出版社)得：，再有引理3的推論就有. 對任意正整數(shù)，有，因此.從而有方陣的線性無關的特征向量的個數(shù)為.又，從而的線性無關的特征向量的個數(shù)小于或等于，因此共有個線性無關的特征向量，再根據(jù)定理1就有矩陣與對角矩陣相似. 接下來介紹最小多項式在矩陣對角化中的應用.定理8 n階方陣與對角矩陣相似矩陣的最小多項式無重

19、根.證明：先證必要性.和對角陣相似存在非奇異矩陣，滿足，從而有，令是方陣的互不相同的特征值,記 =.因為 =.又 .所以，于是，然而無重根，故無重根.再證充分性：的互不相同的根是，由無重根就有： ，于是.令，則的特征子空間的維數(shù)為，因此總共有個線性無關的特征向量，且. 又因為，故 .從而，也即矩陣有個線性無關的特征向量，由定理1就得可以對角化. 4某些特殊矩陣的對角化 4.1 實對稱矩陣的對角化問題 實對稱矩陣這種矩陣很特別，在諸多方面的到運用，如常用來研究對稱變換，對線性變換進行分類.而研究對稱矩陣的對角化，是進行分類的初步.引理5 每一個階復矩陣都存在一個上三角矩陣與其相似，并且上三角矩陣

20、主對角線上的元素為復矩陣的特征值.對任意，可逆矩陣，使得，其中是矩陣的特征值.引理6 實對稱矩陣的特征值為實數(shù).證明：設實對稱矩陣的一個特征值，則存在非零向量，滿足 .令，稱為的共軛復數(shù)，則.觀察下面式子，上式左邊等于，右邊等于，故 =又 ，故，即是一個實數(shù). 引理7 設為實方陣，我們有如下結論：在實數(shù)域上相似在復數(shù)域上相似. 證明：必要性顯然，下面證明充分性. 在復數(shù)域上相似n級可逆復矩陣，使得. 令，則.所以對任意屬于都有 (4) 記(實數(shù)系多項式)，因為，所以.因此，有有限個實數(shù)根，則存在屬于，使得. 由(4)式得, 也即在實數(shù)域上相似. 定理9 級實對稱矩陣的特稱根全是實數(shù)存在正交矩陣

21、，滿足，是上三角矩陣. 正交且特征值全是實數(shù)是對稱矩陣.證明：先證明必要性，根據(jù)引理5有，存在可逆矩陣，使得.再根據(jù)引理7，矩陣如果在復數(shù)域上相似則一定在實數(shù)域上相似，因此可以令為實矩陣，乃正交矩陣，是上三角矩陣且主對角上元素全是實數(shù)，于是就有由是上三角矩陣知他的逆也是上三角矩陣，再由上三角矩陣之積仍然是上三角矩陣知為上三角矩陣. 再證充分性：為階實矩陣，且存在正交矩陣使得為上三角矩陣，即，由此易知為實數(shù)且為的特征根. 由容易得到為上三角矩陣(Q是正交矩陣)，又正交矩陣的積為正交矩陣，從而為正交矩陣. 因而，但是是上三角矩陣，而為下三角矩陣，故必為對角矩陣.從而，也即為對稱矩陣. 引理8 設是

22、對稱變換，是子空間，則的正交補也是子空間. 定理10 對任意級實對稱矩陣，存在階正交矩陣，使得為對角矩陣. 證明定義是與對應的對稱變換，只要證有一組標準正交基（n個向量組成）.下面用數(shù)學歸納法進行證明.當時結論明顯成立.假設對結論成立. 對n維歐氏向量空間，為線性變換的一個特征向量，對應的特征值是. 將單位化，并記為，再作的生成向量空間的正交補，記為，由引理8有是對稱變換的不變子空間，他的維數(shù)為，顯然限制在上仍然是對稱變換，根據(jù)假設有特征向量做成的標準正交基，從而使的標準正交基，又是的個特征向量.根據(jù)歸納假設定理得證.例4.1 已知，求正交矩陣使得為對角矩陣.解：第一步，求矩陣的特征值. 由

23、由此有1（3重），-3為的特征值. 第二步，求特征值1對應的特征向量. 將帶入下式 （5） 得基礎解系為，.將基礎解系正交化，得，.再將上式單位化，有，.上式為屬于特征值1（三重）的三個標準正交特征向量.同理可求得特征值-3的標準正交特征向量為.特征向量構成的一組標準交基，所求正交矩陣，此時. 4.2冪等矩陣定理11冪等矩陣與對角矩陣相似.證明：根據(jù)有，矩陣的最小多項式整除. 因無重根，由引理5 就有無重根，再由定理8就得矩陣可對角化. 4.3對合矩陣定理12對合矩陣可對角化.證明：，易知=0無重根，根據(jù)引理5得無重根，再根據(jù)定理8，能夠?qū)腔? 4.4冪幺矩陣引理9 是矩陣的任一特征根是的最

24、小多項式的根.證明：用反證法假設是矩陣的特征根而不是其最小多項式的根，則有，故存在多項式，使得 ，將帶入上式有 ，即有 .所以可逆（即），與是矩陣的特征根矛盾.故假設不成立，定理得證. 定理13冪幺矩陣與對角矩陣相似.證明：因為，所以矩陣的最小多項式整除（m為正整數(shù)），而無重根，根據(jù)引理9就得無重根，再由定理8即得矩陣與對角矩陣相似.注意：冪幺矩陣與對角矩陣相似，其中.4.5矩陣的逆、伴隨矩陣的對角化定理14能夠?qū)腔蓪腔?證明：(I)根據(jù)題設條件，存在非奇異矩陣滿足 由矩陣可逆就有，從而,從而與對角矩陣相似. (II)由得從而也與對角矩陣相似. 4.6某些正交矩陣的對角化 4.6.1二階

25、正交矩陣的對角化問題設是正交矩陣，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)就有 ，從而二階正交矩陣有兩種形式或. 定理15若，則矩陣與對角矩陣相似.證明：的特征多項式為 由得矩陣的特征值為.當時，容易得到，故正交矩陣有兩個不同的特征值，容易看出此時正交矩陣有兩個線性無關的特征向量，由定理1即有正交矩陣可對角化.當，即時，或，此時正交矩陣顯然與對角矩陣相似.定理16若 ，那么與對角矩陣相似.該定理的證明與定理類似，在此不做贅述.4.6.2幾類三階正交矩陣的對角化定理17正交矩陣可對角化.證明：由是正交矩陣可得，.當時，.i)當時，矩陣有三個不同的特征值，分別為，.由定理1可得矩陣可對角化. ii)當時，或.若，則，顯

26、然可對角化.若，則，顯然可對角化.當時，.從而的特征值為（二重），由定理5或7得可對角化.定理18若三階正交矩陣中只有三個非零元素，那么與對角矩陣相似. 共有下面6種形式： 證明 (1)顯然可以對角化. (2)，則.當時，有特征值或，根據(jù)定理1，可對角化.當時，有特征值-1（二重），1，根據(jù)定理7，可對角化.其它形式可模仿(2)進行證明. 5矩陣對角化的應用本節(jié)主要討論可對角化矩陣的應用問題，很多時候我們利用對角化后的矩陣會極大簡便我們的計算，方便我們理解和處理比較復雜的問題.5.1求方陣的高次冪一般來說，求矩陣的高次冪最簡單的方法便是根據(jù)矩陣乘法的定義進行傻瓜式的計算，像這樣的計算除非進行編

27、程用計算機進行計算，人工計算會花費大量時間，還很容易出錯. 但是針對可以對角化的矩陣，我們利用矩陣相似的性質(zhì)便會大大簡化計算過程，而且不易出錯，用這種方法進行編程計算也會方便很多. 下面先介紹這種方法的原理.定理19若，這里為的特征值，T非奇異，則，其中m為正整數(shù).這個定理是矩陣相似應用的特殊情況，一般來講，若，那么.其中m為正整數(shù)，為數(shù)域上的任意矩陣.例2 求.解：由得，.容易求得他們對應的特征向量分別為，故.從而=.5.2利用特征值求行列式的值例3 已知級實對稱冪等矩陣的秩為，求行列式.解：為冪等矩陣，即，從而的特征值為或0，再由是實對稱矩陣，所以與對角矩陣相似，從而，這里可逆，為的秩，為

28、單位矩陣.故.6總結前面初步介紹了判定某個數(shù)域上矩陣是否對角化的一些充分必要條件和充分條件，但是判定條件也不局限于文中所給出的. 文中給出了大部分定理的證明，內(nèi)容較多，需要較廣的知識面才能理解；還給出一些特殊矩陣的對角化也只是涉及很少的點，其它方面需要讀者根據(jù)自己研究的領域進行總結；還給出兩點矩陣對角化的具體應用，仍然涉獵較少，只是起一個引導作用. 矩陣的對角化定義還能推廣以及在群、域等上面的對角化判定也有所不同，希望廣大讀者傾注時間在這方面的研究.致 謝在論文完成之際，我首先要向我的指導老師劉先平老師和詹建明老師表示最真摯的謝意. 這篇論文從選題、查閱資料到截稿，我花了三個多月. 在此期間，

29、詹老師和劉老師給我推薦選題以及資料，不厭其煩的解答我所有的疑問，他們嚴謹治學和藹可親的態(tài)度將一直影響我.參考文獻1 劉九蘭,張乃一, 曲問萍主編. 線性代數(shù)考研必讀.天津:天津大學出版社，20002 謝國瑞主編，線性代數(shù)及應用. 北京:高等教育出版社，19993 張學元主編，線性代數(shù)能力試題題解. 武漢:華中理工大學出版社，20004王萼芳，石生明. 高等代數(shù)M. 北京:高等教育出版社,，20075周明旺，關于矩陣可對角化的一個充要條件J. 通化師范學院學報，2007，(28):10- 116楊子胥，高等代數(shù)M. 濟南:山東科學技術出版社，2001.7曲春平，矩陣可對角化的充分必要條件J. 遼

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