第二冊(必修加選修)第九章機械振動復(fù)習(xí)(二)

1、年 級高二學(xué) 科物理版 本人教版內(nèi)容標(biāo)題有關(guān)簡諧運動的幾個問題（二）編稿老師馬慧【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：有關(guān)簡諧運動的幾個問題（二）（一）巧用簡諧運動中的對稱性解題做簡諧運動的物體其運動具有對稱性，因此描述簡諧運動的一些物理量也具有對稱性，若能靈活運用這一點來解決簡諧運動問題，常能收到出奇制勝的效果。下面舉例說明，以供同學(xué)們參考。1. 巧用時間的對稱性例1 如圖1所示，一質(zhì)點在平衡位置點兩側(cè)做簡諧運動，在它從平衡位置出發(fā)向最大位移處運動過程中經(jīng)第一次通過點，再經(jīng)第2次通過點。則此后還要經(jīng)多長時間第3次通過點，該質(zhì)點振動的頻率為多大？圖1解析：由于質(zhì)點從和從的時間是對稱的，結(jié)合題設(shè)條件可

2、知所需時間為，所以質(zhì)點從平衡位置的時間為，又因為，所以質(zhì)點的振動周期為，頻率。根據(jù)時間的對稱性可知與所需時間相等為，所以質(zhì)點第3次通過點所需時間為。2. 巧用加速度的對稱性例2 如圖2所示，小球從豎直立在地面上的輕彈簧的正上方某處自由下落，接觸彈簧后將彈簧壓縮，全過程中彈簧為彈性形變。試比較彈簧壓縮到最大時的加速度和重力加速度的大小。圖2解析：小球和彈簧接觸后做簡諧運動，如圖2所示，點為彈簧為原長時端點的位置。小球的重力與彈簧的彈力的大小相等的位置為平衡位置。點為彈簧被壓縮至最低點的位置（也就是小球做簡諧振動的最大位移處），點為與對稱的位移（也是最大位移處）。由對稱性可知，小球在點和點的加速度

3、的大小相等，設(shè)為，小球在點的加速度為，由圖點在點和之間 ，所以。例3 如圖3所示，質(zhì)量為的物體放在質(zhì)量為的平臺上，隨平臺在豎直方向上做簡諧運動，振幅為，運動到最高點時，物體對平臺的壓力恰好為零，當(dāng)運動到最低點時，求的加速度。圖3解析：我們?nèi)菀鬃C明，物體在豎直平面內(nèi)做簡諧運動，由小球運動到最高點時對M的壓力為零，即知道物體在運動到最高點時的加速度為，由簡諧運動的對稱性知道，物體運動到最低點時的加速度和最高點的加速度大小相等，方向相反，故小球運動到最低點時的加速度的大小為，方向豎直向上。例4 如圖4所示，輕彈簧（勁度系數(shù)為）的下端固定在地面上，其上端和一質(zhì)量為的木板相連接，在木板上又放有一個質(zhì)量為

4、的物塊。當(dāng)系統(tǒng)上下振動時，欲使、始終不分離，則輕彈簧的最大壓縮量為多大？圖4解析：從簡諧運動的角度看，木板和物塊的總重力與彈簧彈力的合力充當(dāng)回復(fù)力，即；從簡單連接體的角度看，系統(tǒng)受到的合外力產(chǎn)生了系統(tǒng)的加速度，即，由以上兩式可解為。當(dāng)和在平衡位置下方時，系統(tǒng)處于超重狀態(tài)，不可能和分離，因此和分離的位置一定在上方最大位移處，且和一起運動的最大加速度。由加速度的對稱性可知彈簧壓縮時最大加速度也為，所以輕彈簧的最大壓縮量應(yīng)滿足關(guān)系式，即得。3. 巧用速度的對稱性例5 如圖5所示是一水平彈簧振子在內(nèi)的振動圖象。從圖象中分析，在給定的時間內(nèi)，以為起點的哪段時間內(nèi)，彈力所做的功為零。圖5解析：由速度的對稱

5、性可知，圖5中與具有相同速率的時刻為、。結(jié)合動能定理可知，從到以上時刻所對應(yīng)的時間內(nèi)彈力所作的功均為零。4. 巧用回復(fù)力的對稱性例6 如圖6所示，在質(zhì)量為的無下底的木箱頂部用一輕彈簧懸掛質(zhì)量均為的、兩物塊，箱子放在水平地面上，平衡后剪斷、間細線，此后將做簡諧運動。當(dāng)運動到最高點時，木箱對地面的壓力為（ ）A. B. C. D.圖6解析：剪斷細線后的瞬間，彈簧對的彈力為，所以受到向上的合外力（回復(fù)力）為。當(dāng)運動到上方最大位移處時，由于簡諧運動的回復(fù)力的對稱性，將受到豎直向下的合外力（回復(fù)力），其大小仍為，也就是說，此時彈簧中沒有彈力，所以木箱對地面的壓力為。選項正確。例7 如圖7所示，質(zhì)量為的木

6、塊放在彈簧上端，在豎直方向上做簡諧運動，當(dāng)振幅為時，物體對彈簧的壓力的最大值是物體重力的倍，則物體對彈簧的最小壓力是_；欲使物體在彈簧振動中不離開彈簧，其振幅不能超過_。圖7分析與解答：物體對彈簧壓力最大應(yīng)是物體振動到最低點時，最小應(yīng)是物體振動到最高點時。對物體進行受力分析，在最低點受兩個力：重力和彈簧彈力，根據(jù)題中信息可知這兩個力的合力大小為，方向向上，充當(dāng)回復(fù)力。根據(jù)力大小的對稱性可知，物體振動到最高點時，回復(fù)力大小也應(yīng)為，方向向下，則物體在最高點所受彈簧的彈力應(yīng)為，方向向上，根據(jù)牛頓第三定律物體對彈簧的最小壓力為；物體脫離彈簧時應(yīng)是彈簧恢復(fù)到自由伸長時，根據(jù)彈力可知，在原來的基礎(chǔ)上彈簧再

7、伸長一個振幅就可恢復(fù)到原長，所以欲使物體不離開彈簧，其振幅不能超過。例8 如圖8，用質(zhì)量不計的彈簧把質(zhì)量為的木板與質(zhì)量為的木板連接組成如圖所示的裝置，板置于水平地面上，現(xiàn)用一個豎直向下的力向下壓木板，撤消后，板恰好被提離地面，由此可知力的大小是（ ）A. B. C. D. 圖8解析：沒撤去力時，物體靜止，所受合力為零，把力撤去，物體受合力大小為，方向向上，開始向上振動，所以最大回復(fù)力為，根據(jù)力大小的對稱性，振動到最高點時，回復(fù)力大小也為，對物體在最高點進行受力分析：重力和彈簧的彈力，合力為。即；再對物體進行受力分析，恰好被提離地面可得：，所以力的大小為。選項B正確。5. 巧用能量的對稱性例9

8、如圖91，原長為的輕彈簧豎立于地面，下端固定于地面，質(zhì)量為的物體放到彈簧頂部，物體靜止，平衡時彈簧長為。如果物體從距地面處自由下落到彈簧上，當(dāng)物體壓縮彈簧到距地面時（不計空氣阻氣，?。┯校?）A. 物體的動能為1J B. 物塊的重力勢能為1.08JC. 彈簧的彈性勢能為0.08J D. 物塊的動能與重力勢能之和為2.16J解析：由題設(shè)條件畫出示意圖92，物體距地面時的位置即為物體做簡諧運動的平衡位置。根據(jù)動能的對稱性可知，物體距地面時位置的動能與距地面時位置的動能相等。因此只需求出物體自由下落到剛接觸彈簧時的動能即可。由機械能守恒定律得。物體從到的過程中彈性勢能的增加為，所以選項A、C正確?？?/p>

9、見，熟練掌握并準(zhǔn)確應(yīng)用簡諧運動的對稱性，能使解題有理有據(jù)，簡捷明了，達到事半功倍的效果。（二）豎直方向上彈簧振子簡諧運動的特征及應(yīng)用“變式”教學(xué)對抓住事物的本質(zhì)，準(zhǔn)確地把握概念和規(guī)律的內(nèi)涵有著重要的意義。在簡諧運動的學(xué)習(xí)中，很多同學(xué)由于對運動特征沒有深刻的認識，不能將豎直方向與水平方向做簡諧運動的彈簧振子的相關(guān)特征進行正確的區(qū)分，把握個性化的特點，導(dǎo)致不能充分汲取題中所提供的有用信息，解題失?。∠旅嫱ㄟ^對豎直方向上做簡諧運動的彈簧振子的運動特征進一步探討，來挖掘相關(guān)問題中提供的有用信息。1. 豎直方向上簡諧運動模型的建立由簡諧運動的概念可知，要證明物體是否做簡諧運動可從兩方面入手：回復(fù)力大小跟

10、物體偏離平衡位置的位移成正比；方向總指向平衡位置?，F(xiàn)在，我們一起來證明豎直方向上的彈簧振子的簡諧運動。如圖1所示，把一個質(zhì)量為的有孔小球安在勁度系數(shù)為的彈簧的上端，彈簧的下端固定，小球穿在光滑的豎直桿上，可以在豎直桿上滑動。彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，可以忽略不計。圖1振子靜止在點時，回復(fù)力為零，是振子的平衡位置，此時彈簧處于壓縮狀態(tài)，設(shè)壓縮量為，則。把振子拉到平衡位置上方點，偏離平衡位置點的位移為，然后釋放，則在振動過程的任意位置，以圖中的點和點為例，設(shè)偏離平衡位置的位移分別為和，受力分析并根據(jù)牛頓第二定律列式分別有：點：彈簧可能被拉伸也可能仍處于壓縮狀態(tài)。若彈簧被拉伸，回復(fù)力大小 若彈簧

11、處于壓縮狀態(tài)，回復(fù)力大小點：彈簧處于壓縮狀態(tài)，回復(fù)力大小而在此過程中回復(fù)力的方向始終指向平衡位置。因此，豎直方向的彈簧振子做的是簡諧運動。圖（2）中的情況與圖（1）中的情況基本相同，學(xué)生可自行分析。圖22. 與水平方向彈簧振子簡諧運動的比較分析對豎直方向做簡諧運動的彈簧振子的特征，既要能夠與水平方向進行類比，化陌生為熟悉，同時又要注意區(qū)分兩者的不同點。彈簧振子受力特點運動特點能量特點水平方向回復(fù)力由彈簧彈力（合外力）提供，平衡位置時彈簧處于原長狀態(tài)。振子在平衡位置附近做往復(fù)運動，速度和加速度隨時間按正弦規(guī)律周期性變化動能與彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，振子與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒。豎直方向回復(fù)力由重力和

12、彈簧彈力的合力（合外力）提供，平衡位置時彈簧處于壓縮（圖1）或拉伸（圖2）狀態(tài)。與水平方向相同動能、彈性勢能和重力勢能相互轉(zhuǎn)化，振子與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒。3. 應(yīng)用舉例在解決與豎直方向彈簧振子做簡諧運動模型有關(guān)的問題時，既要能夠透徹理解簡諧運動中的一些重要概念，如平衡位置、振幅、回復(fù)力等；同時還要能夠準(zhǔn)確把握簡諧運動中的一些物理量的對稱性特點，如回復(fù)力、振幅等，合理地進行類比、推理。另外，對于彈簧模型的受力、能量特點的理解也是必不可少的。例1 一輕彈簧直立在地面上，其勁度系數(shù)為，彈簧的上端與盒子連接在一起，盒子內(nèi)裝物體，的上下表面恰好與盒子接觸，和的質(zhì)量，不計阻力，先將向上抬高使彈簧伸長

13、后從靜止釋放，和一起做上下方向的簡諧運動，已知彈簧的彈性勢能決定于彈簧的形變大小。試求：（1）的振幅；（2）的最大速率；（3）在最高點和最低點時對的作用力。解析：（1）設(shè)和做簡諧運動到平衡位置時，彈簧的壓縮量為，由平衡條件，得，故的振幅為。（2）當(dāng)運動到平衡位置時速率最大，和由靜止釋放到平衡位置過程中，彈簧的伸長量與壓縮量相等，彈性勢能不變，由動能定理，得。（3）設(shè)、一起運動的最大加速度大?。ㄗ罡唿c和最低點）為，由牛頓第二定律，得。取B為研究對象，在最高點時有，得A對B的作用力，方向向下；在最低點時有，得對的作用力，方向向上。例2 如圖3所示，質(zhì)量分別為和的、兩物塊，用勁度系數(shù)為的輕彈簧相連后

14、豎直放在水平面上，今用大小為的力把物塊向下壓而使之處于靜止，突然撤去壓力，則（ ） A. 物塊有可能離開水平面 B. 物塊不可能離開水平面C. 只要足夠小，物塊就可能離開水平面 D. 只要足夠大，物塊就可能離開水平面圖3解析：撤去壓力后，物體在豎直方向上做簡諧運動，下壓的的初始位置即為振幅位置，此時最大回復(fù)力為（學(xué)生可類比水平方向得出結(jié)論，也可間接由受力分析得出），由回復(fù)力的對稱性特點，當(dāng)運動到最高點時，回復(fù)力也為，方向向下，設(shè)此時彈簧中的彈力為，有，得，因此，物體不可能離開水平面。（三）簡諧振動的圖象和能量1. 知識點回顧（1）簡諧振動的圖象 物理意義：表示振動物體的位移隨時間變化的規(guī)律。特

15、別要注意的是，振動的圖象不是質(zhì)點的運動軌跡。 應(yīng)用：直觀的讀取振幅、周期以及各時刻的位移；判斷回復(fù)力、加速度的方向；判定某段時間內(nèi)的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況。（2）簡諧振動的能量振動過程是一個動能和勢能不斷轉(zhuǎn)化的過程，在任意時刻的動能與勢能之和等于物體振動時的總機械能。振動物體的總機械能的大小與振幅有關(guān)，振幅越大，振動的能量越大。沒有損耗時，振動過程的總機械能守恒。阻尼振動的振幅逐漸減小，所以阻尼振動的機械能不守恒。2. 典型例題（1）識別簡諧振動的圖象例1 如圖1所示，是一質(zhì)點做簡諧振動的振動圖象。求質(zhì)點的振幅、周期、頻率，并指出質(zhì)點何時位移最大，何時速度最大，何時加

16、速度最大？圖1解析：從圖中可以直接看出質(zhì)點的振幅為，振動的周期為，從圖中還可以看出簡諧振動的物體除具有等時性外，還具有周期性和對稱性：即位移最大的時刻分別是、，其中為非負整數(shù)；同樣，速度最大的時刻分別是、，其中為非負整數(shù)；加速度最大時刻為、其中為非負整數(shù)。振動頻率。（2）簡諧振動的相關(guān)計算例2 如圖2所示，一個質(zhì)點在平衡位置點附近做簡諧運動，若從點開始記時，經(jīng)過質(zhì)點第一次經(jīng)過點；再繼續(xù)運動，又經(jīng)過，它第二次經(jīng)過點；則該質(zhì)點第三次經(jīng)過點所需的時間是（ ）A. B. C. D. 圖2解析：設(shè)圖2中、兩點為質(zhì)點振動過程中的最大位移，若開始記時時刻質(zhì)點從點向右運動，運動過程經(jīng)歷，過程經(jīng)歷，顯然，質(zhì)點第

17、三次經(jīng)過點所需的時間，故C正確；若開始記時時刻質(zhì)點從點向左運動，運動過程經(jīng)歷了，過程經(jīng)歷，顯然，質(zhì)點第三次經(jīng)過點所需的時間，故D正確。因此選C、D。（3）簡諧振動的能量計算題例3 在光滑的水平面上停放著一輛質(zhì)量為的小車，質(zhì)量為的物體與一輕彈簧固定相連，將彈簧壓縮后用細線將拴住，靜止在小車上的點，如圖3所示，設(shè)與間的摩擦因數(shù)為，點為彈簧原長位置，將細線燒斷后，與開始運動。圖31. 位于點的左側(cè)還是右側(cè)，物體的速度最大？簡要說明理由。2. 若物體達到最大速度時，物體已經(jīng)相對小車移動了距離，求此時的速度和這一過程中彈簧釋放的彈性勢能； 3. 判斷與的最終運動狀態(tài)是靜止、勻速還是相對往復(fù)運動？簡要說明

18、理由。解析：1. 的最大速度位置應(yīng)該在點的左側(cè)。因為線燒斷后，在彈力與摩擦力的合力作用下向右做加速運動，當(dāng)彈力與摩擦力的合力為零時，的速度最大，此時彈簧必處于壓縮狀態(tài)。此后，系統(tǒng)的機械能不斷的減小，不能再達到這一速度。2. 選與為一系統(tǒng)，由動量守恒定律得，又因為，設(shè)這一過程中彈簧釋放的彈性勢能為，則有，由上式解得，。3. 與最終將靜止。因為系統(tǒng)動量守恒，且總動量為零，只要與間有相對運動，就要克服摩擦力做功，不斷的消耗能量，所以，與最終必定都靜止。例4 如圖4所示，是一個單擺的共振曲線，則該單擺的擺長約為多大？共振時單擺的振幅多大？共振時擺球的最大加速度和最大速度分別為多大？（）圖4解析：這是一

19、道根據(jù)共振曲線所給信息和單擺振動規(guī)律進行推理和綜合分析的題目，本題涉及到的知識點有受迫振動、共振的概念和規(guī)律、單擺擺球做簡諧運動及固有周期、頻率、能量的規(guī)律等。由題意可知，當(dāng)單擺振動時頻率，即，振幅，由，解得。如圖5所示，當(dāng)最大擺角（共振時）很小時，其中為弧度。當(dāng)很小時，弦近似為弧長。圖5其最大加速度根據(jù)機械能守恒有且（很小），所以【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一. 選擇題1. 單擺做簡諧運動時，其回復(fù)力是（ ）A. 擺球所受的重力 B. 懸線對擺球的拉力 C. 擺球所受重力與懸線拉力的合力 D. 擺球重力在垂直懸線方向上的分力2. 簡諧振動的物體在向平衡位置運動的過程中，加速度和速度變化

20、情況是（ ）A. 增加，增加 B. 增加，減小 C. 減小，增加 D. 減小，減小3. 一個水平彈簧振子的振動周期是，當(dāng)振子從平衡位置開始向右運動，經(jīng)過時，振子的運動情況是（ ）A. 正在向右做減速運動 B. 正在向右做加速運動C. 正在向左做減速運動D. 正在向左做加速運動4. 如圖1所示，彈簧振子的質(zhì)量為，做簡諧振動，當(dāng)它運動到平衡位置左側(cè)時，受到的回復(fù)力是4N，當(dāng)它運動到平衡位置右側(cè)時，它的加速度（ ）A. 大小為，向右B. 大小為，向左C. 大小為，向左D. 大小為，向右圖15. A、B兩個彈簧振子，A的固有頻率為，B的固有頻率為，若它們均在頻率為的驅(qū)動力作用下做受迫振動，則（ ）A.

21、 振子A的振幅較大，振動頻率為B. 振子B的振幅較大，振動頻率為C. 振子A的振幅較大，振動頻率為D. 振子B的振幅較大，振動頻率為6. 公路上勻速行駛的貨車受一擾動，車上貨物隨車廂底板上下振動但不脫離底板，一段時間內(nèi)貨物在豎直方向的振動可視為簡諧運動，周期為T，取豎直向上方向為正方向，以某一時刻作為計時起點，即，其振動圖象如圖2所示，則（ ）A. 時，貨物對車廂地板的壓力最大B. 時，貨物對車廂地板的壓力最小C. 時，貨物對車廂地板的壓力最大D. 時，貨物對車廂地板的壓力最小圖2二. 填空題：7. 一單擺做小角度振動，如圖3為擺球的振動圖象，圖中把擺球經(jīng)過平衡位置向右運動時記為，取擺球向右的位移為正，則：（1）擺球在內(nèi)通過的路程為 cm；（2）擺球在末的位移為 cm。圖38. 一物體在某星球表面受到的萬有引力是它在地球表面受到萬有引力的，在地球上走得很準(zhǔn)的擺鐘搬到此行星表面上后，此