大學數(shù)學《實變函數(shù)》電子教案

1、實變函數(shù)電子教案（重慶郵電大學數(shù)理學院 鄧志穎 ）課程名稱：實變函數(shù)學時 /學分： 48/3.0教材名稱：實變函數(shù)與泛函分析基礎（第三版）出版社：高等教育出版社編著者：程其襄等適用專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)（大三上學期 ）序言：實變函數(shù)簡介微積分發(fā)展的三個階段:?創(chuàng)立（17世紀）：Newton （力學）Leibniz （幾何）（無窮?。?嚴格化（19 世紀）：Cauchy, Riemann, Weierstrass（極限理論（e -N, e - 8 語言）,實數(shù)理 論）?外微分形式（20世紀初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微積分基本定理如何在高維 空間得到體現(xiàn)）微

2、積分繼續(xù)發(fā)展的三個方向：?外微分形式（整體微分幾何）（微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn)）?復數(shù)域上的微積分（復變函數(shù)）?微積分的深化和拓展（實變函數(shù)）1.Riemann積分回顧：Riemann積分的定義b af(x)dx 加0nf( i) Xii 1其中 XiXiXi 1, Xi 1 i Xi積分與分割、介點集的取法無關 .幾何意義（非負函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。2 2） Riemann可積的充要條件f （x）在a,b上 Riemann 可積f(x)dxlim11TH 0 ilim11TH 0mi1Xif (x)dx其中:M i supf (x): xi 1 x x用 inf f (

3、x): x 1 x xin0,分劃T ,使得 i xi i 10,分劃T ,使得所有振幅i的小區(qū)間i的總長度不超過例：Dirichlet函數(shù)不 Riemann可積.因為上積分為b下積分為aD(x)ba f(x)dx 11Tm0f (x)dx lim itiinmi1xin所以對于 分劃T ,有xi所以Dirichlet函數(shù)不Riemann可積.（3）Riemann積分的局限性a）微積分基本定理0,1 Q0,1 Q.八，.八定理：若F （x）在a,b上連續(xù)，則（R） F'（t）dtaF(x) F(a)1881年Volterra作出一可微函數(shù)，導函數(shù)有界但不Riemann可積;b）積分與極

4、限交換次序（一般要求一致收斂）例：設rn為0,1中全體有理數(shù)（因為其為可數(shù)集，故可把它排成序列），作0,1上的函數(shù)fn(x)x 1,2產(chǎn)3,|“儲0 x 0,1 1,2,3,|“，n 1,2,3,|則 fn(x)在a,b上 Riemann 可積，但nim fn(x) D(x)1 x 0,1Q 不 Riemann 可積.0 x 0,1 Q故對一般收斂函數(shù)列，在Riemann積分意義下極限運算與積分運算不一定可交換次序，即:limnbba fn(x)dxa nim fn(x)dx不一定成立.2.Lebesgue積分思想簡介:為使f （x）在a, b上Riemann可積，按Riemann積分思想，必

5、須使得分劃后在多數(shù)小區(qū)間上的振幅足夠小，這迫使在較多地方振動的函數(shù)不可積.Lebesgue提出，不從分割定義域入手，而從分割值域入手；即采取對值域作分劃，相應得到對定義域的分劃 （每一塊不一定是區(qū)間），使得在每一塊上的振幅都很小，即按函數(shù)值的大小對定義域的點加以歸類對此Lebesgue自己曾經(jīng)作過一個比喻，他說：假如我欠人家一筆錢，現(xiàn)在要還，此時按鈔票的面值的大小分類，然后計算每一類 的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；如不按面額大小分類，而是按從錢袋取出的先后次序來計算總數(shù)，那就是Riemann積分思想即： 0, 作分劃 m y0 yi y2 | yn M 其中 y yi 1

6、 ,m f(x) M作點集Ei x:y- f (x) yj f(x)在Ei上的振幅不會大于.n作和：simEi mEi表示Ei的長度，y i yii 1 n取極限：(L) ab f (x)dx limoimEi3 .Lebesgue積分構思產(chǎn)生的問題： (1)先介紹集合日(第一章集合，第二章點集)(2)集合Ei的 長度”如何定義(第三章 測度論)；(3)怎樣的函數(shù)可使Ei都有長度”(第四章可測函數(shù))；(4)定義Lebesgue積分并研究其性質(第五章積分論)；(5)將牛頓萊布尼茲公式加以推廣(第六章微分與不定積分)教材：實變函數(shù)論與泛函分析基礎(第三版)，程其襄等編，高等教育出版社，2010年

7、6月.參考文獻：實變函數(shù)論(第二版)，江澤堅，吳智泉編，高等教育出版社，2003年7月. 周民強，實變函數(shù)(論)，北京大學出版社，1995.6(2001)周性偉，實變函數(shù)，科學出版社， 1998.9胡適耕，實變函數(shù)，高等教育出版社，1999.7徐森林，實變函數(shù)論，中國科學技術大學出版社，2002鄭維行等，實變函數(shù)論與泛函分析概要，高等教育出版社，1987夏道行等，實變函數(shù)論與泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos,測度論(Measure theory) Rudin ,實分析與復分析 (Real and complex analysis).教時安排：第一章 集合6學時，第二章 點集6

8、學時， 第三章 測度論8學時，第四章 可測函數(shù)10學時， 第四章 積分論12學時，第六章 微分與不定積分 6學時，共六章48學時。第一章集合（總授課時數(shù)6學時）由德國數(shù)學家Cantor所創(chuàng)立的集合論，是現(xiàn)代數(shù)學中一個獨立的分支，按其本性 而言，集合論是整個現(xiàn)代數(shù)學的邏輯基礎；而就其發(fā)展歷史而言，則與近代分析（包括 實變函數(shù)論）的發(fā)展密切相關，實變函數(shù)通常是第一門大量運用集合論知識的大學數(shù)學 課程.因此，在現(xiàn)代數(shù)學教育中，對集合論知識的較系統(tǒng)的介紹，通常構成實變函數(shù)教 材的第一章.不過，對于實變函數(shù)論來說，集合論畢竟只是一個輔助工具，因此，本章 僅介紹那些必不可少的集論知識.§ 1、集

9、合及其運算教學目的 引入集的概念與集的運算，使學生掌握集和集的基本運算規(guī)律.本節(jié)重點 De Morgan公式是常用的公式.證明兩個集相等和包含關系是經(jīng)常要遇到的論 證，通過例子使學生掌握其基本方法.集列的極限是一種新型的運算，學生應理解其概念 本節(jié)難點對集列極PM的理解.授課時數(shù)2學時一、集合的概念及其表示集合也稱作集，是數(shù)學中所謂原始概念之一，即不能用別的概念加以定義，它像幾何學中的“點”、“直線”那樣，只能用一組公理去刻畫.就目前來說，我們只要求掌握以下樸素的說法：“在一定范圍內的個體事物的全體，當將它們看作一個整體時，我們把這個整體稱 為一個集合，其中每個個體事物叫做該集合的元素. &q

10、uot;一個集合的元素必須彼此互異，而且哪些事物是給定集合的元素必須明確.以集合作為元素的集合，也常稱為集族或集類.以后常用大寫字母 A,B,C,D,X,Y,Z”表示集合，用小寫字母 a,b,c,x, y|M表示集合中的兀索.如果a是集合A的元素，則說a屬于A,記作a A,或說A含有a.如果a不是集A的元素，則說a不屬于A,記作a A,或說A不含有a.有些集合可用列舉其元素的辦法來表示，如：只含有一個元素a的集合稱為單元素集或獨點集，可表示為a.由n個元素ai,a2”| an所組成的集合，可表示為4,22“苗尸由全體自然數(shù)所組成的集合稱為自然數(shù)集，可表示為1,2,|,n,|.當集A是具有某性質

11、P的元素之全體時，我們用下面的形式表示A：A x|x具有性質p例如，方程X2 1 0的解x的全體組成的數(shù)集是 x|x2 1 0,實際上就是1,1.有時我們也把集x|x E,x具有性質p改寫成Ex具有性質p .例如，設f(x) 是定義在集合E上的一實函數(shù) ,a是一一個實數(shù)，我們把集x | x E, f (x) a寫成Ef(x) a或 Ef a.不含任何元素的集合稱為空集，記作設A, B是兩個集，若 A和B的元素完全相同，就稱 A和B相等，記作 A = B (或 B = A).若集合A的元素都是集合 B的元素，就稱為 A是B的子集，記作 A B (或B A), 讀作A包含于B (或B包含A).若A

12、 B且A B ,就稱A是B的真子集，規(guī)定空集是任何集的子集.由集的“相等”與“包含”的定義可得如下定理：定理1對任何集合 A, B, C,均有(1) A A;(2)若 A B,B C ,則 A C ；(3) A B A B且 B A.二集合的運算設A, B是兩個集合，集合 A與B的并集或并 a|Jb x:x A或x B集合A與B的交集或交A。B x:x A且x B特別地，若 A B ,稱A與B不相交；反之，則稱 A與B相交.集合A減B的差集或差：A B或A B x:x A但x B當B A時，稱差集 A B為B關于A的余集記作(CAB).當我們研究一個問題時，如果所討論的集合都是某個固定集A的子

13、集時，就稱 A為基本集或全集，并把 A的子集B關于A的余集CAB簡稱為B的余集，記為BC或CB.并集與交集的概念可以推廣到任意個集的情形，設為一非空集合，并且對每一個,指定了一個集合 A，此時我們稱A |是以 為指標集的集族，集族A |的并與交分別定義為,使 x AA A x：A A x:，有x A 一、一 一 11例設A x:1 一x 1 -，n N,則nnn1An 1,0 ,n1An(2,1)關于集合的并和交顯然有下面的性質：(見課本P9-P10)更一般地有：De Morgan公式(川小。仙)。證明(略)注：通過取余集，使 A與AC ,與 互相轉換.三、集列極限設Ai,A2,|, An,|

14、是一個集合序列，其上限集和下限集分別定義為 上極限集：lim An (或limsup An ) x:x屬于無限多個集合 An x:存在無限多個An,使x An nnx: N, n N,使x An下極限集：ljmAn(或liminf An) x:除去有限個集外，有x An nnx:當n充分大時，有x Anx: N, n N,有x An注:lim An n如果集列入的上極限集與下極限集相等，即lim Anlim AnAnnUrn A n例：設A 2n 0,1, A2nl1,2,則上極限集為0,2,下極限集為1.極限集則稱集列An收斂，稱其共同的極限為集列An的極限集，記為：lim A An單調增集

15、列極限若集列An滿足An Ai( n N),則稱 AJ為單調增加;若集列An滿足An An i( n N),則稱A為單調減少；定理2 :單調集列是收斂的1)如果集列An單調增加，則lim An n2)如果集列An單調減少，則lim An n11例 1：設廉1( 1 -,1 -),A2n(nnlim An(,n一 、一111例2：設'1-,4 T，A2n -,1n nnn, n),n N,則),血 An( 1,1n-,n nN,則lim Ann0,4),血 An(0,1/、結本節(jié)介紹了集的基本概念，集的運算和運算性質.這些知識是本課程的基礎.證明兩個集的相等是經(jīng)常會遇到的，應掌握其證明方

16、法.De Morgan公式很重要，以后會經(jīng)常用到.集列的極限是一種與數(shù)列極限不同的極限，應正確理解其概念.作業(yè)：P30 5, 7, 8練習題(1) An為一集列：(1)作B A,Bn An UAk(n 1),證明Bn為一列互不相交的集列，且UAk UBk(n 1,2,，,，)(2)若An是單調減少的集列，證明A (A A?) (A2 A3)(入。)0,并且其中各項互不相交An , lim AnUn N nAn(2) 明：lim Ann(3) lim_ Anlim AnnimAn nimAUAlim Anlim AnAnnnnnn(4) An單調遞增時，有Um An n(5) An單調遞減時，有

17、lim An n3.已知 A2nE,A2n 1 F,(n 1,2,)，求 lim An和 lim An ,并問 lim An是否存在?nn-n§ 2對等與基數(shù)教學目的 介紹映射，基數(shù)，等概念和它們的屬性.本節(jié)要點一一對應的思想與方法是貫穿本節(jié)的核心.基數(shù)的概念，討論都要用一一對應的方法.證明兩個集對等或具有相同的基數(shù)，有時需要一定的技巧，因而具有一定難度通過較多的例題和習題，使學生逐步掌握其中的技巧 .本節(jié)難點證明兩個集對等或具有相同的基數(shù) .授課時數(shù)2學時1映射的定義在數(shù)學分析課程中我們對函數(shù)已經(jīng)很熟悉.其中函數(shù)的定義域通常是 Rn的子集，值域是實數(shù)集或者復數(shù)集.若將函數(shù)的定義域和

18、值域換成一般的集，可得到映射的概念.定義：設X ,Y是兩個非空集合，若依照對應法則f ,對X中的每個x ,均存在Y中唯一的y與之對應，則稱這個對應法則f是從X到Y的一個映射，記作 f :X Y或：設X ,Y是兩個非空集合，f是X Y的子集，且對任意x X ,存在唯一的y Y使(x, y) f ,則f是從X到Y的一個映射.注：集合，元素，映射是一相對概念 .略：像，原像，像集，原像集，映射的復合，單射，滿射，一一映射(雙射)在數(shù)學分析課程中研究的函數(shù)當然是一種映射 .除此之外，我們還經(jīng)常會遇到許多其它 的映射.例如，定積分可以看作是可積函數(shù)集到實數(shù)集的映射 ，求導運算可以看作是可導函 數(shù)集到函數(shù)

19、集的映射，線性代數(shù)中的線性變換就是線性空間到線性空間的映射等2集合運算關于映射的性質(像集)定理1：設f:X Y,A, B,A( )是*的子集，稱 f (x) :x A為A的像集，記作f (A),則有：1)A B f (A) f (B);2)f(AB) f(A)|J f(B), 一般地有 f (Ja ) J f(A );3)f(AB) f(A)f(B), 一般地有 f(口 A) 口 f(A)；證明的過程略注：f (ApB) f (A)。f (B) 一般不成立，如常值映射，等號成立當且僅當f為單射.集合運算關于映射的性質(原像集)定理2：設f：XY,A X,C刀，C (儂丫的子集，稱x: f (

20、x) C為C的原像集，記作f 1(C)(f不一定有逆映射)，則有：1)C D f 1(C) f 1(D);2)f 1(CD)f 1(C) |J f 1(D),一般地有：f 1(jC ) |J f 1(C )；3)f 1(C pD) f 1(C)f 1(D),一般地有：f 1(p|C ) p| f 1(C );4)f 1(C D) f 1(C) f 1(D);5)f 1(Cc) f 1(C)c; 16)A f 1f(A);7)ff 1(C) C;證明略.注：6), 7) 一般不能使等號成立，6)等號成立當且僅當 f為單射，7)等號成立當且僅當f為滿射.3對等與勢1)定義設A, B是兩非空集合，若

21、存在著A到B的一一映射(既單又滿)，則稱A與B對等,記作A B .約定 注：(1)稱與A對等的集合為與A有相同的勢(基數(shù))，記作A.(2)勢是對有限集元素個數(shù)概念的推廣.2)性質a)自反性:AA;b)對稱 fIe： A B B A;c)傳遞性：A B,B C A C;例：1)N N奇數(shù)N偶數(shù)Z2)( 1,1)(,)證明：令f :xtg(-x),則f是(1,1)到(,)的映射.故(1,1)(,)注：有限集與無限集的本質區(qū)別：無限集可與其某個真子集合有相同多的元素個數(shù)(對等)且一定能做到，而有限集則不可能.3)基數(shù)的大小比較2)若A B,則稱A B;b)若A BiB,則稱A B；相當于：A到B有一

22、個單射，也相當于B到A有一個滿射.c)若A B,且A B,則稱A B.注：不能用A與B的一個真子集對等描述.如：(1,1)( 1,1)(,)4 Bernstein 定理引理：設A: B :是兩個集族， 是一個指標集，又,A B，而且A :中的集合兩兩不交，B :中的集合兩兩不交，那么：UaUb證明略*定理3: (Bernstein定理)若有A的子集A ,使B A ,及B的子集B ,使A B ,則a b.即：若 A B,B A,則A B.、一一，一 ri一一、i ，.，>*證明：根據(jù)題設，存在 A到B上的一一映射f ,以及B到A上的一一映射 g .令*A A A ,B1f(A),A2g(B

23、1),B2f(A2) ,A3g(B2),B3f(A3),由g(B) A知A2g(B1)A,而A A A,故A1與A不交.從而A1,A2在f的像B,B2不交，B1,B2在g下的像A2,A3不交.*由A3A，知A1與A3不交，故A,A2,A3兩兩不交.從而A1, A2,A3在f的像B1，B2,B3也兩兩不交，一從而 A,A2, A3, III 兩兩不交，B,B2,B3,| 也兩兩不交且 AnBn(n 1,2,|),所以Bng另外由 BkAk1(k1,2,|)，可知gBk Ak 1_ g * 又BA，所以g*BkAAki(A A1)Ak1A AkBk AA (A卜心(叫叫Bk)B證畢.注：要證A B

24、,需要在A與B間找一個既單又滿的映射；而要證 A B,只需找一個單射即可；從而我們把找既單又滿的映射轉化成找兩個單射例：(1,1) 1,1證明：由(1,1) 1,1 (,)( 1,1)可知，(1,1) 1,1作業(yè)：P30 9, 10練習題11 . R上以有理數(shù)為端點的區(qū)間的全體所成之集與自然數(shù)集之間能否建立一一對應？2 .證明：若 A B C, AC,則 A B1C.3 ,證明：若 A B, A A C,則有 BB C.4.設F是0,1上的全體實函數(shù)所成的集合，而 M是0,1的全體子集所成的集合，則FNM，§ 3、可數(shù)集合教學目的介紹可數(shù)集概念及其運算它們的屬性.本節(jié)要點可數(shù)集是具有

25、最小基數(shù)的無限集,可數(shù)集性質十分重要，不少對等問題可以與可數(shù)集聯(lián)系起來，可數(shù)集證明技巧較強通過較多的例題和習題，使學生逐步掌握本節(jié)難點證明集合可數(shù).授課時數(shù)1學時1可數(shù)集的定義與自然數(shù)集N對等的集合稱為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為a或0123,4,5,6a1, a2, a3, a4,a5, a6 1注：A可數(shù)當且僅當A可以寫成無窮序列的形式a1,a2,a3,a4,a5,a6Mll"例：1） Z=0,1,-1,2,-2,3,-3 |2） 0,1中的有理數(shù)全體 二0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 32 可數(shù)集的性質（子集） 定理1任何無限集合均含有可數(shù)子集.

26、證明：設M是一個無限集，取出其中的一個元素從M中任取一元素，記為己.則M 3，在M 3中取一元素 食,顯然e2e1.設從M中已取出n個互異元素包金，|屜，由于M是無限集，故 Mse2Mlen，于是又可以從M 向,6,“|備中取出一元素en 1, 它自然不同于e,e7,|en.所以，由歸納法，我們就找到M的一個無限子集*32,|,0|它顯然是一個可數(shù)集.證 畢.這個定理說明可數(shù)集的一個特征：它在所有無限集中有最小的基數(shù). 可數(shù)集的性質（并集）有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集有限個可數(shù)集的并仍為可數(shù)集 可數(shù)個可數(shù)集的并仍為可數(shù)集A 4包改,“，Bbi,b2,|,bn , CC1,C2,C3,|假設A,

27、B,C兩兩不交，則A BI,b2,|,bn,a1,a2,|（當集合有公共元素時，不重復排）ai,G,a2,C2,a3,q,III關于可數(shù)個可數(shù)集的并仍為可數(shù)集的證明11111,111,111 III當Ai互不相交時，按箭頭所示，我們得到一個無窮序列當Ai有公共元時，在排列的過程中除去公共元素;因此An是可數(shù)集。說明：與Hilbert旅館問題比較；如何把無限集分解成無限個無限集合的并例全體有理數(shù)之集Q是可數(shù)集首先0,1中的有理數(shù)全體=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,是可麴集，Q （Q 0,1） （Q 1,0） （Q 1,2） （Q 2, 1） HI所以Q是可數(shù)集（

28、可數(shù)個可數(shù)集的并）說明：有理數(shù)集在直線上稠密，但仍與稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點（對等意義下）.3可數(shù)集的性質（卡氏積）定理：有限個可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集只須證：設A,B是可數(shù)集，則 A B也是可數(shù)集（利用數(shù)學歸納法即得有限個乘積的情形）A從而AB （x,y）|x A,y B x A（.x；y） | y B）B也是可數(shù)集（可數(shù)個可數(shù)集的并）x固定，y在變例1平面上以有理點為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體A為可數(shù)集 變證明：平面上的圓由其圓心（x,y）和半徑r唯一決定，從而A Q Q Q (x,y,r)| x,y Q,r Q )例2代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集整系數(shù)多項式方程的實根稱為代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)

29、數(shù)的實數(shù)成為超越數(shù)。設P是整系數(shù)多項式全體所成之集 ，Pn是n次整系數(shù)多項式全體Pn anxn an ixn 1 I" ao |ai Z,i 1,2,|,n,an 0首先 P0 1 Z , Pn （Z 0） Z 乙田| Z （有限個可數(shù)集的卡氏積）故p U R為可數(shù)集（可數(shù)個可數(shù)集的并）由代數(shù)基本定理知任意 n次整系數(shù)多項式至多有有限個實根，從而結論成立例3設A是一個無限集，則必有 A 人，使人8人，而人人可數(shù)證明：由A是一個無限集，則 A包含可數(shù)子集el ,e2, e3，111 ,令e,e2,e3,| , A* A則*A且*A, AAoUe?©,%，' Ao |J

30、 q,生©,A:0©©，|是可數(shù)集，證畢 小 結 本節(jié)利用一一對應的思想，給出了集的基數(shù)和可數(shù)集的定義 .集的基數(shù)是有限 集元素的個數(shù)在無限集的推廣 .可數(shù)集是具有最小基數(shù)的無限集 .可數(shù)集經(jīng)過有限或 可數(shù)并運算后仍是可數(shù)集.有理數(shù)集是一個重要的可數(shù)集作業(yè)：P30 12, 15練習題1、設A中的元素是直線上兩兩不交的開區(qū)間，則A為至多可數(shù)集.2、怎樣建立無限集與它的一個真子集的一一對應關系？3、證明任一可數(shù)集的所有有PM子集全集是可數(shù)集4、證明遞增函數(shù)的不連續(xù)點白全體為至多可數(shù)集§ 4、不可數(shù)集合教學目的 介紹不可數(shù)集概念及其屬性.證明相關問題具有重要意

31、義 握.本節(jié)要點 區(qū)間0,1是典型不可數(shù)集，注意比較可數(shù)集與不可數(shù)集性質的異同，利用R集，相應的證明技巧較強，通過較多的例題和習題，使學生逐步掌本節(jié)難點 證明集合不可數(shù) 授課時數(shù)1學時不是可數(shù)集的無限集稱為不可數(shù)集.1不可數(shù)集的存在性定理1 區(qū)間0,1是一個不可數(shù)集證明：假設0,1可數(shù)，則 0,1上的點可以排成一個無窮序列:X1,X2,|,Xn,|、一八1記0,1為I。，把I。三等分于其中取一不含X的閉區(qū)間，記為I1，則I1的長度| I1 | .再3 1. 一 .、把I1三等分，取其中不含 x2的閉區(qū)間，記為I2,則| I2 | ,這樣下去，可以得到一列閉3區(qū)間In滿足：I。I1 I2 II

32、In |",| In I J,4 In3故In形成閉區(qū)間套，因此存在唯一點X0In(n0,1,2,|),而由假設，n°N使得X0In0 ,這與X0In(n 0,1,2,)矛盾，故0,1是不可數(shù)集.2連續(xù)勢集的定義定義1：與區(qū)間0,1對等的集的基數(shù)稱為連續(xù)基數(shù)(連續(xù)勢)，這個基數(shù)記作c.推論1 c aN 1,2,3,”，故c a.證明： 由定理 1.4.1 知，a c.但 0,11,-,1,|12 3證畢.推論2開區(qū)間0,1的基數(shù)也是C.定理2 全體實數(shù)所成之集 R的基數(shù)是C. 2x 1一證明令 (x) tan- , x (0,1),則是0,1至ij , 上的映射,所以R的基

33、數(shù)是c .推論1全體無理數(shù)所成之集的基數(shù)是c .3連續(xù)勢集的性質(卡氏積)(1)有限個、可數(shù)個連續(xù)勢的卡氏積仍為連續(xù)勢集定理3 設 A (Xi,X2,|,Xn,|)：Xi(0,1),則 A (證明略)推論 n維Euclid空間Rn的勢為(2)連續(xù)勢集的性質(并集)連續(xù)勢集的(有限個，可數(shù)個，連續(xù)勢個)并仍為連續(xù)勢集定理4實數(shù)列全體所成之集 E的基數(shù)是C.(證明略)4無最大勢定理定理5 (Cantor ):設A是一個任意給定的非空集合，則2A A.證明：首先A與2A的一個子集對等是顯然的，只考慮 A a: a A 2A即可。假設A 2A ,則存在A到2A上的一一映射：A 2A，令A* a : a

34、 A, a (a),由于A是A的子集，即 A2A ,因此存在a A ,使得 (a ) A(1)若a*A*,則由A*的定義，有a*(a*)A*若a*A* (a*),則由A*的定義，有a*A*這是矛盾的.故2A A.5可數(shù)勢與連續(xù)勢定理6： 2NR或0,1N R (即 2 0)證明：由于N的子集全體與特征函數(shù)全體存在一一對應關系，故2N與0,1 N對等；下證：0,1N對任意白0,1N,令f() 邛;易知f:0,1N0,1是單射，所以n 1 3n0,1Nan另一萬面，對x (0,1)，設x , an 0,1 (有無窮多1)(即：將x寫成二進n 1 2制小數(shù)0. a1a2a31”,且要求不以0為循環(huán)節(jié)

35、).作 g：(0,1)0,1N；x|40,1N,其中(n) an,n 1,2,3,1“(即將小數(shù)0. aia2a3 J”對應至U序歹U ai, a2,a3,|)易證g：(0,1)0,1N是單射，因此2N,由Bernstein定理知2N.連續(xù)統(tǒng)假設Cantor認為在 0與之間不存在別的基數(shù)，即不存在這樣的集合A,使得0 A但Cantor證明不了，這就是著名的Cantor連續(xù)統(tǒng)假設。Hilbert在1900年第二屆國際數(shù)學家大會上將它列為二十三個難題的第一個問題。/、結.直線上的區(qū)間是典型的不可數(shù)集.證明一個給定的集是可數(shù)集或不可數(shù)集是應當掌握的基本技巧.作業(yè)：P30 17, 18練習題1 .1

36、.直線R中任何包含非空開區(qū)間的點集都具有連續(xù)勢2 .設A B ，則A, B中至少有一個勢為.3 .設An，則An中至少有一個勢為.n 14 . 0,1上的全體連續(xù)函數(shù)集E的勢為第二章 點集 (總授課時數(shù)6 學時)教學目的： 歐氏空間Rn 上的測度與積分是本課程的主要研究對象. 本節(jié)討論歐氏空間上的若干拓撲概念. 通過本節(jié)的學習 , 可以熟悉歐氏空間上的開集, 閉集和 Borel 集 , Cantor 集等常見的集, 為后面的學習打下基礎.本章要點 由 Rn 上的距離給出鄰域, 內點 , 聚點的定義, 從而給出開集, 閉集的定義.由開集生成一個- 代數(shù)引入 Borel 集 . Cantor 集是

37、一個重要的集 , 它有一些很特別的性質 . 應使學生深刻理解本節(jié)介紹的各種集的概念并熟練應用 . 充分利用幾何圖形的直觀 , 可以幫助理解本節(jié)的內容.本章難點Borel 集、 Cantor 集的性質 .授課時數(shù)6學時本章先介紹Rn 中的距離、極限、鄰域、區(qū)間及其體積等基本概念，然后定義了內點、聚點、外點、邊界點、開集、閉集等特殊點和集，并討論了開集與閉集的性質及其構造. 最后介紹了聚點原理、有限覆蓋定理.§ 1度量空間，n維歐氏空間教學目的 1 、深刻理解Rn 中的距離、鄰域、點列收斂等概念，弄清它們在刻劃不同類型的點及點集中的作用 .2 、 理解距離的性質、 點到集合的距離、 兩集

38、合之間的距離、 集合的直徑等概念，理解有界集、無界集、區(qū)間及區(qū)間的體積等概念.3 、了解鄰域的四條性質.本節(jié)要點度量空間的概念.本節(jié)難點度量空間的概念.授課時數(shù)1 學時度量空間定義 1 ：設 X 為一非空集合， d ： X X R 為一映射，且滿足1) )d (x,y)0 ， d(x,y) 0xy (正定性)2) d(x,y)d(y, x)(對稱性)3) d(x,y)d(x,z)d(z, y)(三角不等式)則稱(X,d)為度量空間 例1:(1)歐氏空間(Rn ,d),其中 d(x,y) J fxyiy2(2)離散空間(X,d),其中d(x, y)(3) Ca,b空間(Ca,b表示閉區(qū)間a,b上

39、實值連續(xù)函數(shù)全體),其中d(x, y) max | x(t) y(t)| a t b鄰域定義2：稱集合p|d(P,P0)為P0的 鄰域，并記為U(P0, ) . P0稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑.在不需要特別指出是什么樣的半徑時，也簡稱為P0的鄰域，并記為U(P°).不難看出：點列Pm收斂于Po的充分必要條件是對任意0,存在N ,當m N 時有：Pm U(Po).容易驗證鄰域具有下面的基本性質：1) P U(P)；2)對于 Ui(P)和Uz(P),如果存在P Ui(P) Uz(P),則存在U3(P) Ui(P) U2(P)3)對于 Q U(P),存在 U(Q) U (P);4)對于

40、 Q P ,存在U (Q)和U(P)滿足U(Q) U(P)定義3:兩個非空的點集 A, B間的距離定義為d A,B inf d P,QP A,Q B如果A,B中至少有一個是空集，則規(guī)定 d A,B 0;若B X ,則記d A,B d A,X顯然，若A B，則 d A,B 0。定義4:一個非空的點集 E的直徑定義為:當E 時，規(guī)定E supd P,QP,Q E0。顯然， E 0 E至多只有一個元素。若 E ，則稱E為有界集。定義5:稱 Xi,X2,|Xn |XiA,i 1,2,|,n為集合A的直積，記為nXi X2 m Xn 或Ain定義6：若I Ii ,其中Ii ai，b 為直線上的區(qū)間，則稱

41、I為n維歐氏空間Rn i 1中的區(qū)間；如果所有Ii都是開(閉、左開右閉、左閉右開)區(qū)間，則稱I是開(閉、左開右閉、左閉右開)區(qū)間。如果所有的Ii都是直線上的有界區(qū)間，則稱I是Rn中的有界區(qū)間；如果至少有一個Ii是直線上的無界區(qū)間，則稱 I是Rn中的無界區(qū)間注：R2中的有界區(qū)間即矩形， R3中的區(qū)間即長方體，因此Rn中的區(qū)間有時也稱為“長 方體”.顯然，E為有界集的充要條件是存在有界區(qū)間I E或E為有界集的充要條件是存在有界鄰域E0 U(x0,)n，稱I|(bi ai)為區(qū)間I的“體積”，即i 10B寸，aaR2中的區(qū)間體積即矩形面積=長*寬，R3中的0 0,當 an定義7：I Ii . Iia

42、i,bii 1nI I i .當然，這里約定0 i 1注：R1中的區(qū)間體積即區(qū)間的長度，區(qū)間體積即長方體體積=長*寬x高，因此規(guī)定Rn中的區(qū)間體積=n個邊長的乘積，既是合理的又是自然.§ 2、聚點、內點、界點教學目的1、深刻理解內點、外點、界點、聚點、孤立點的概念，弄清它們的區(qū)別與聯(lián)系.2、理解并掌握開核、導集、閉包、邊界及孤立點集等概念，對一個已知的點集E ,會求這些相關的點集.3、了解 Bolzano-Weierstrass 定理.本節(jié)要點 內點、外點、界點、聚點、孤立點及開核、導集、閉包、邊界及孤立點集等概 念.本節(jié)難點 對一個已知的點集 E,求這些相關的點集.授課時數(shù)1學時歐

43、氏空間中各類點的定義(1) Po為E的內點：(2) Po為E的外點：(3) Po為E的邊界點:0,使得U (P0, ) E ,記為Eo0,使得U(F0, )pE , E的外點的全體記為 Ec. c0,有U (Po, ) E且U(Po, ) E ，記為 E(4) Po為E的聚點：導集，記為E'(5)Po為E的孤立點:o,有U(Po, ) (E po), E的聚點的全體稱為 E的o,使得 U(Po, ) E po(6) Po為E的接觸點:o,有 U(Po, ) E注：聚點、邊界點不一定屬于 E,內點、孤立點一定屬于 E.(由定義可知E E E的孤立點全體 E E E E._ _一. 一 ，

44、 '例 1 ： (1)令 E Q ,則 E E E R, E"(2)令 E，則E0,.1對一切一(kk1,2,3,11|)均為E的孤立占八、聚點的等價定義定理1下面三個陳述是等價的:(1)Po E'(2)對 0, U(P0, ) B E(3) E中有各項互異的點列R RP0,k 1,2,3,|,使Pk證明(1)(2)是顯然的.Po k(2)(3):因為 U P0,1 P0U P0,1 PoE,則P E 且 PiP0.令 1min d P,P0 ,1 ，則U P0, 1中至少有一點P2 E且 2P2Po, P2 P1.令 2 min d P2,Po ,1，則 U P0,

45、 2 中至少有一點 P33P3P i 0,1,2 .這樣繼續(xù)下去，便得到點列Pk且滿足要求(3)(1)：0,存在自然數(shù)k0,當k ko時，有R U P0,，即U R, E為無限集，故Po E'.三、開核、邊界、導集之間的關系定理2 設A ? B，則 A' B', a0 B° , A B .定理 3 A B ' A' B', AB A B證明：(1)因為 A A B,B A B,由定理 2 知，A' A B',B' A B '從而A' B'P B'.于是i 0,使20 ,使取 min

46、 1,U P, P這說明P AA B '.另一方面，任取U P, 1U P, 22 ,則A B U P,B ',這與P A B方面，即有 A B 'A B A B 'P A B ',若 PPA,PB,PAU'矛盾.所以P A'A' B'.A B A' B'A' B',則 P A'且P, P BA A' B B'A B.證畢定理4 ( Bolzano-Weierstrass定理)Rn中的有界點列必有收斂子列.(證略)作業(yè)：P492, 3, 4, 5練習題1 E是R1與R

47、2上的全體有理點，在 R1與R2中分別看E時，E,E,E0,E各是有哪些點構 成的.2 設 A ? B，證明 A' B', A0B0 , A B .§ 3、開集、閉集、完備集教學目的1、掌握開集、閉集和完備集的概念、性質及相關定理（對偶性定理及運算方面的定理）.2、理解Heine-Borel有限覆蓋定理.本節(jié)要點開集、閉集和完備集的概念、性質及相關定理本節(jié)又fl點Heine-Borel有限覆蓋定理.授課時數(shù)2學時一、開集、閉集的定義若E0E ,則稱E為開集（E中每個點都為內點）若E E ,則稱E為閉集（與E緊挨的點不跑到 E外）,_,_ _'汪：由于E E E

48、 E E的孤立點全體，故E E等價于E E說明：要證E是開集，只要證 E E： （ E：E顯然）要證E是閉集，只要證E' E或E E （E E顯然）例1：開區(qū)間（a,b）為開集證明：任取 x （a, b）取 min x a , x b,則 U（x, ）（a, b）從而 x 是（a,b）的內點，故（a,b）是開集。例2：閉區(qū)間a,b為閉集.證明：任取x a,bc,取 min x ax b,則 U(x, )a,bc,從而a,b的接觸點都在a,b內，從而a,b是閉集。注：閉集為對極限運算封閉的點集.即：A為閉集當且僅當 A中的任意收斂點列收斂于A中的點.定理1對任何ERn, E；是開集，E和

49、E都是閉集.證明：(1) E；是開集.只要證E： (E )任取x E：,由內點的定義知0,使得U(x, ) E .任取 y U(x,),取' d(x,y),則 U(y, ') U (x, ) E,從而 y 為 E的內點，從而U(x, ) E：,所以x為E；的內點，即x (E：)：,從而E：(E：)l,即E)為開集.(E'是閉集。只要證 E' E''任取x E',由聚點的定義知 0,有U(x, )(E' x),取x' U (x, ) (E' x),有 x' E',(當'min d(x,x

50、9;),d(x,x')時，有 x U (x , ) U (x,),從而 U(x, ) (E x) ，即 x為 E 的聚點， ' 從而E' E'oE可得E為閉集.利用(E)' (E E')' E' (E')' E' E' E注：E；為含于E內的最大開集。二、開集與閉集的對偶性a) (E)c (Ec)：面(E')cb)若E為開集，則Ec為閉集；若E為閉集，則Ec為開集。證明：設E為開集，即 x E,0,使得 U(x, ) E ,從而 U (x, ) Ec ,從而x不是Ec的接觸點，也即Ec的接觸

51、點一定在Ec內，從而CE CE ,即Ec為閉集.設E為閉集，即E E ,任取x Ec,假如x不是Ec的內點，則x的任一鄰域內至少 有一個屬于E的點，從而x為E的接觸點，由E為閉集可知x在E內，這與x Ec矛盾，所以Ec中的點都為Ec的內點，即Ec為開集。三、開集的性質1)空集，Rn為開集；2 ) 任意多個開集之并仍為開集；3) 有限個開集之交仍為開集。注： 無限多個開集的交不一定為開集，如：En(0,1/ n),Rn 中只有空集和Rn 既開又閉，存在大量既不開又不閉的集合，如： E 0,1)四、 閉集的性質1)空集，Rn為閉集；2)任意多個閉集之交仍為閉集；3) 有限個閉集之并仍為閉集。注：

52、無限多個閉集的并不一定為閉集，如：En0,11/ n說明： 不僅Rn 中開集具有以上三性質，一般距離空間也有此性質，在拓撲空間中以上三性質則是描述開集概念的三公理.五、完備集n定義 1 設 E R ，如果 E E ，稱 E 是自密集 .注： ( 1 )如果集合中的每個點都是這個集合的聚點，則這個集合是自密集.(2) 沒有孤立點的集合是自密集.定義 2 設 E Rn ，如果 E E' ，則稱 E 為完備集或完全集.注： 完備集是自密閉集，也就是沒有孤立點的閉集.作業(yè) ： P49 6, 8, 11練習題1 、 證明每個閉集必是可數(shù)個開集的交， 每個開集必是可數(shù)個閉集的并.2 設 f (x) 是 Rn 上的實函數(shù)，證明： f (x) 是連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是對任意開集 11nGR1, f 1(G) 是 Rn 的開集 .3、設f(x) 是直線上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意常數(shù) a ， E x | f(x) a 是開集，而E1 x | f (x) a 是閉集 .E4、設 f(x)在 E 上有te義，稱(x0) limsup| f (x ) f(x)|:x,xO(Xo,