八個(gè)有趣模型——搞定空間幾何體地外接球與內(nèi)切球(教師版)

1、八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、有關(guān)定義 1球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡稱球.2外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面 體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球 .3內(nèi)切球的定義： 若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球 .二、外接球的有關(guān)知識與方法1性質(zhì)：性質(zhì) 1：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì) 2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì) 3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓

2、所在的平面（類比：圓的垂徑定理）；性質(zhì) 4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì) 5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中， 兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心） .2結(jié)論：結(jié)論 1：長方體的外接球的球心在體對角線的交點(diǎn)處，即長方體的體對角線的中點(diǎn)是球心；結(jié)論 2：若由長方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長方體的外接球相同；結(jié)論 3：長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之， 就是：底面的一條對角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論 4：圓柱體的外接球球心在上下

3、兩底面圓的圓心連一段中點(diǎn)處；結(jié)論 5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論 6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論 7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論 8：圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論 9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3 終極利器 ： 勾股定理、正定理 及余弦定理 （ 解三角形求線段長度） ；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直. （與直線切圓的結(jié)論有一致性） .2內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面

4、體各頂點(diǎn)的距離均相等. （類比：與多邊形的內(nèi)切圓） .3正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.5基本方法： （1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（ 2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法 ） .四、與臺體相關(guān)的，此略 .五、八大模型第一講 柱體背景的模型類型一、墻角模型三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式 （2R） ac aAcb圖1-1b2c2 ，即 2Ra2 b2 c2 ，求出例1A1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為B 20 C 24164，D體積為 16，則這個(gè)球的表面

5、積是（ 32解：V a2h 16 ， a 2 ， 4R2 a2 a2 h24 4 16 24 ， S 24 ，選 C；2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3 ，則其外接球的表面積是解：4R2 3 3 3 9， S 4 R2 9 ；3）在正三棱錐 S ABC中， M、N 分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且 AM MN ,若側(cè)棱 SA 2 3 ,則正三棱錐 S ABC 外接球的表面積是. 36解：引理： 正三棱錐的對棱互相垂直 . 證明如下：如圖（ 3）-1 ， 取AB,BC的中點(diǎn) D,E，連接 AE,CD ， AE,CD交于 H，連接 SH， 則 H 是底面正三角形 ABC 的中心，SH 平面

6、 ABC ， SH AB，AC BC， AD BD， CD AB， AB 平面 SCD，AB SC，同理： BC SA， AC SB，即正三棱錐的對棱互垂直， 本題圖如圖（ 3）-2，AM MN ， SB/ MN ，AM SB， AC SB ， SB 平面 SAC ，SB SA， SB SC ， SB SA， BC SA，SA 平面 SBC， SA SC， 故三棱錐 S ABC 的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，C（3）題-1（引理）（3）題-2（解答圖）(2R)2(23)2(23)2(23)236，即 4R236，正三棱錐S ABC 外接球的表面積是 36 .（4）在四面體S ABC 中，SA 平面

7、 ABC ，BAC 120 ,SA AC 2, AB 1, 則該四面體的外接球的表面積為（D )1040A.11B.7C.D.33BC2rsin BAC 3273，2 2 2 2 7 2 4040(2R)2 (2r)2 SA2 ( )2 4 ，S ，選 D 3 335）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、 4 、 3，那么它的外接球的表面積是解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b,c( a,b,c R )，則解：在 ABC中， BC2 AC2 AB2 2AB BC cos120 7， BC 7， ABC的外接球直徑為ab 122222 2bc 8 ， abc 24

8、，a 3，b 4，c 2，（2R）2a2b2c229， S 4 R229 ，ac 66）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為 1的正方形，則該幾何體外接球的體積為（6）題圖6）題直觀圖AB CD ，AD BC ，AC BD )AxDycyzCbx a圖2-12 2 2 2 (2R)2 a2 b2 c2類型二、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體） 中，已知三組對棱分別相等， 求外接球半徑 第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱； 第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c， AD BC x ，AB CD y ， AC BD z， 列方

9、程組，222a b x2 2 2b c y222caz11 補(bǔ)充 ：圖 2-1 中， VA BCD abc abc 4 abc . A BCD 6 32222222 2 2第三步：根據(jù)墻角模型， 2R a2 b2 c2x2y2z2 ，R2x2y2z2，Rx2y2z2 ，2 8 8 求出 R.思考 ：如何求棱長為 a 的正四面體體積，如何求其外接球體積？例 2（1）如下圖所示三棱錐 A BCD ，其中 AB CD 5,AC BD 6,AD BC 7, 則該三棱錐外接 球的表面積為 .解：對棱相等，補(bǔ)形為長方體，如圖 2-1 ，設(shè)長寬高分別為 a,b,c ，2（a2 b2 c2） 25 36 49

10、 110 ， 2 2 2 2a b c 55 ， 4R 55 ， S 55（1） 題圖（ 2）在三棱錐 A BCD中， AB CD 2， AD BC 3， AC BD 4 ，則三棱錐 A BCD 外接 29球的表面積為 .2解：如圖 2-1 ，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a, b, c ，則 a2 b2 9，2 2 22(a2 b2 c2) 9 4 16 29 ，22 2 2 2 2 2b2c24 ， c2a216 2(a2 b2c2)9 4 16 29 ，b2c2294R2 29 ， S 29223）正四面體的各條棱長都為2 ，則該正面體外接球的體積為解：正四面

11、體對棱相等的模式，放入正方體中，2R 3 ，34）棱長為 2 的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三 角形 （正四面體的截面 ）的面積是.（4）題解答圖解：如解答圖，將正四面體放入正方體中，截面為PCO1 ，面積是 2 .類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）題設(shè)：如圖 3-1，圖 3-2，圖 3-3, 直三 棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心 O的位置， O1是 ABC的外心，則 OO1 平面 ABC ；11第二步：算出小圓 O1的半徑 AO1 r ，OO1AA1h（ AA1 h也是圓柱的高）

12、 ；22第三步：勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 (h)2 r2 Rr2 (h)2，解出 R22例 3（ 1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，9 且該六棱柱的體積為 9 ，底面周長為 3 ，則這個(gè)球的體積為81 解：設(shè)正六邊形邊長為 a ，正六棱柱的高為 h ，底面外接圓的半徑為 r ，則 a ，2正六棱柱的底面積為 S 6 3（1）23 3 ，V柱Sh 3 3 h9，h3，4R212（3）244 2 8 柱 8 8也可 R2 ( 3)2 (1)2 1)，22R 1 ，球的體積為 V球 4球32）直三棱柱 ABC A1B1C1 的各

13、頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ，則此球的表面積等于 .解： BC 2 3，2r 2 3 4，r 2，R 5， S 20 ； sin 120（3）已知 EAB 所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ，則多面體 E ABCD 的外接球的表面積為 . 16解：折疊型，D法一： EAB的外接圓半徑為 r13，OO1 1， R 1 3 2；法二： O1M3 ， r2 O2D13 ， R2223 13 4 ， R 2 ， S表 16 ；44法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略. 換一種方

14、式，通過算圓柱的軸截面的對角線長來求球的直徑：(2R)2 (2 3)2 22 16，S表 16 ；4）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB 4,AC 6,A,AA134 ，則直三棱柱ABC A1B1C1 的外接球的表面積為160解：法一：27BC2 16 36 2 4 6 1 28， BC 2 7， 2r23473 ， r273，R2r2 ( AA1)2228401604， S表3 3 3法二：求圓柱的軸截面的對角線長得球直徑，此略第二講 錐體背景的模型類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑正弦定理求大圓直徑是通法）OOAB圖4-1CPPOAACCBBO1圖4-3圖4-41

15、如圖 4-1 ，平面 PAC 平面 ABC，且 AB BC（即 AC為小圓的直徑） ，且 P的射影是 ABC的外 心 三棱錐 P ABC的三條側(cè)棱相等三棱 P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P 點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn) .解題步驟： 第一步：確定球心 O的位置，取 ABC 的外心 O1，則 P , O, O1三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓 O1 的半徑 AO1 r ，再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高） ；第三步：勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r 2 ，解出 R；事實(shí)上， ACP的外接圓就是大圓，直接用 正弦定理 也可求解出 R.2如圖 4-2 ，平面 PA

16、C 平面 ABC，且 AB BC（即 AC為小圓的直徑） ，且 PA AC，則 利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 PA2 （2r）2 2R PA2 （2r）2 ； R2 r2 OO12R r 2 OO123如圖 4-3 ，平面 PAC 平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 為小圓的直徑）OC2 O1C2 O1O2R2 r 2 O1O2AC 2 R2 O1O24題設(shè)：如圖 4-4 ，平面 PAC 平面 ABC，且 AB BC（即 AC為小圓的直徑） 第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即 PAC 的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑 AC 2r ； 第二步：在 PAC 中，可根

17、據(jù)正弦定理a b c2R，求出 R.sin A sinB sinC例 4 （1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上， 若該棱錐的高為 1，底面邊長為 2 3 ，則該球的表面積為.解：法一：由正弦定理（用大圓求外接球直徑） ；法二：找球心聯(lián)合勾股定理，2R 7 ， S 4 R2 49 ；2）正四棱錐 S ABCD 的底面邊長和各側(cè)棱長都為 2 ，各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為4 解：方法一：找球心的位置， 易知 r 1，h 1，h r ，故球心在正方形的中心 ABCD 處，R 1，V3 方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是SAC的外接圓，此處特殊， Rt SAC 的斜邊是球半徑，42R 2，

18、R 1， V.3（3）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 三棱錐的體積是（ ） A 3 3B 3 C43解：高 h R 1，底面外接圓的半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正4312R 1，直徑為 2R 2 ，設(shè)底面邊長為a ，則 2Ra 2sin60a 3，S 3 a2 3 3 ，三棱錐的體積為44V 1Sh34）在三棱錐 P ABC 中， PA PB PC3,側(cè)棱 PA與底面 ABC所成的角為 60 ，則該三棱錐外接球的體積為（AB.C. 4D.解：選 D，由線面角的知識，得ABC 的頂點(diǎn)A,B,C在以 r 3為半徑的圓上，在圓錐中求解， R 1；25）已知三棱錐 S

19、 ABC 的所有頂點(diǎn)都在球徑,且 SC 2，則此棱錐的體積為（O的求面上 , ABC 是邊長為 1的正三角形 , SC為球 O的直 ）AAB 36D解：OO1R2 r 26，h3263V球 1Sh 1 3 2 6 2球 3 3 4 3 6類型五、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面)1題設(shè)：如圖 5， PA 平面 ABC ，求外接球半徑解題步驟：第一步：將 ABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接 PD，則 PD必過球心 O ；第二步： O1為 ABC的外心，所以 OO1 平面 ABC ，算出小圓 O1的半徑 O1D r (三角形的外接圓直 徑算法：利用正弦定理，得 a

20、b c2r )， OO1 1 PA ；sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)22RPA2 (2r)2 ； R2 r 2 OO12R r 2 OO12 .2題設(shè)：如圖 5-1 至 5-8 這七個(gè)圖形， P的射影是 ABC的外心 三棱錐 P ABC 的 三條側(cè)棱相等 三棱錐 P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P 點(diǎn)也是圓錐的 頂點(diǎn) .第一步：確定球心 O的位置，取 ABC 的外心 O1，則 P , O, O1三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓 O1 的半徑 AO1 r ，再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高） ；第三步：勾

21、股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r 2 ，解出 R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用 正弦定理 求大圓直徑得球的直徑 .例 5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為( )CA 3C16D 以上都不對B解：選 C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上，( 3 R)2 1 R2, R 2 , S 4 R216；3法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形PMN 的外接圓是大24圓，于是 2R ，下略；sin60 3第三講 二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折

22、疊 （ 如圖 6）圖6第一步：先畫出如圖 6所示的圖形，將 BCD畫在小圓上，找出 BCD和 A BD的外心 H1和 H2；22CH12 OC 2第二步：過 H1和H 2分別作平面 BCD和平面 A BD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心 O，連接 OE,OC ； 第三步：解 OEH 1 ，算出 OH1，在 Rt OCH 1中，勾股定理： OH12注：易知 O,H1,E,H2 四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略例 6（1）三棱錐 P ABC中，平面 PAC 平面 ABC， PAC和 三棱錐 P ABC 外接球的半徑為.解：如圖， 2r1 2r22sin6043 ， r1R2 O2H 2 r12 1 4 52

23、1 3 3 3153；1法二： O2H， O1H3AH 1，ABC 均為邊長為 2的正三角形，則1）題213，O2H3 ，R2 AO2 AH 2 O1H 2 O1O25，3，15R135 ；2）在直角梯形 ABCD中， AB/ CD ，A 90 ， C 45 ， AB AD 1，沿對角線 BD 折成四面體 A BCD ，使平面 ABD 平面 表面積為 4BCD ，若四面體 A BCD 的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的(2)題-1(2)題-2S(3)題解：如圖，易知球心在 BC 的中點(diǎn)處， S表 4 ；3（3）在四面體 S ABC中， AB BC， AB BC 2，二面角 S AC B的余弦值為

24、，則四3面體 S ABC 的外接球表面積為 63 解：如圖，法一： cos SO1 B cos( OO1O2 ) 23sin OO1O23 ， cos OO1O26 ，OO1O1O2cos OO1O2332 ， R2 1 1 3 ， S 4 R2 6 ；2 2 2法二：延長 BO1到 D使 DO1 BO1 r1，由余弦定理得 SB6，SD2 ，大圓直徑為 2R SB 6；（4）在邊長為 2 3的菱形 ABCD中， BAD 60 ，沿對角線 BD折成二面角 A BD C 為120 的四 面體 ABCD ，則此四面體的外接球表面積為 28（4）題圖解：如圖，取 BD的中點(diǎn) M ， ABD 和 CB

25、D的外接圓半徑為 r1 r2 2， ABD和 CBD的外心 O1,O2 到弦 BD 的距離（弦心距）為 d1 d 2 1，法一：四邊形 OO1MO 2的外接圓直徑 OM 2，R7， S 28 ；法二： OO13 ， R 7 ；法三：作出 CBD的外接圓直徑 CE,則 AM CM 3， CE 4，ME 1， AE7， AC 3 3，cos AEC7 16 272727， sin AEC3327，2RACsin AEC33 33 2 7，27（5） 在四棱錐 ABCD 中， BDA 120 ， BDC 150 ，AD BD 2，CD3，二面角 A BD C的平面角的大小為 120 ，則此四面體的外

26、接球的體積為解：如圖，過兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心，（5）題解答圖 -1（5） 題解答圖 -2AB 2 3，r2 2，弦心距 O2M3，BC13，r113 ，弦心距 O1M 2 3，O1O221，OMO1O22 7 ，sin 120法一：R2 OD2 MD2 OM2 29， R29， V球 116 29 ；116 2933法二： OO22 OM2 O2M 2 25， R2 OD2 r22 OO22 29， R 29， V球類型七、兩直角三角形拼接在一起 （斜邊相同 ,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐）模型C題設(shè)：如圖 7， APB ACB 90 ，求三棱錐 P ABC 外接球

27、半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O，1連接 OP,OC ，則 OA OB OC OP AB ， O為三棱錐 P ABC外接球球心，然后在 OCP中2 求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都 為定值 .例 7（1）在矩形 ABCD中， AB 4，BC 3，沿 AC將矩形 ABCD折成一個(gè)直二面角 B AC D，解：則四面體 ABCD 的外接球的體積為（）A125B 125 C 125D12512 9 6 3 54 3 4 125 125（1）2R AC 5，R，VR3，選 C23 3 8 62）在矩形 ABCD中， AB 2，BC 3，沿BD將

28、矩形 ABCD折疊，連接 AC ，所得三棱錐 A BCD的外接球的表面積為 解： BD的中點(diǎn)是球心 O， 2R BD13 ，S 4 R2 13 .第四講 多面體的內(nèi)切球問題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問題1題設(shè)：如圖 8-1 ，三棱錐 P ABC 上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑 .第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖， E,H 分別是兩個(gè)三角形的外心；1第二步：求 DH BD ， PO PH r ， PD是側(cè)面 ABP 的高；3第三步：由 POE相似于 PDH ，建立等式： OE PO，解出 rDH PD2題設(shè)：如圖 8-2 ，四棱錐 P ABC 是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，

29、P,O,H 三點(diǎn)共線；1第二步：求 FH BC ， PO PH r ， PF 是側(cè)面 PCD 的高； 2OG PO第三步：由 POG 相似于 PFH ，建立等式： OG PO ，解出HF PF3題設(shè)：三棱錐 P ABC 是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑 方法： 等體積法 ，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為 r ，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBCVP ABC1 1 13S ABC r 3SPAB r 3SPAC r113SPBC r 3(SABC SPAB SPAC S PBC) r

30、第三步：解出 r3VP ABCSO ABC SO PABSO PACSO PBC例 8 （ 1）棱長為 a 的正四面體的內(nèi)切球表面積是a26解：設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r ，將正四面體放入棱長為a2的正方體中（即補(bǔ)形為正方體） ，如圖，則1 VP ABC 3V正方體3a2262又 VP ABC4 1Sr33a243a2r，3A3a23 a a 2 ar， r， 內(nèi)切球的表面積為 S表 4 r （注：還有別的方法，此略）3 6 2 2 6 62）正四棱錐 S ABCD 的底面邊長為 2 ，側(cè)棱長為 3，則其內(nèi)切球的半徑為122解：如圖， 正四棱錐 S ABCD 的高 h 7 ，正四棱錐 S ABCD 的體積為 VS ABCD47側(cè)面斜高 h1 2 2 ，正四棱錐 S ABCD 的表面積為 S表 4 8 2 ，1 4 8 2正四棱錐 S ABCD的體積為 VS ABCD 31S表r 4 8 247477(2 2 1)