完整word版,(自己整理)圓錐曲線常考題型總結(jié)——配有大題和練習(xí),推薦文檔

1、圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線?？碱}型和熱點(diǎn)問題一.?？碱}型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)問題題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點(diǎn)共線問題題型十：范圍為題（本質(zhì)是函數(shù)問題）題型十一：存在性問題（存在點(diǎn)，存在直線y kx m,存在實(shí)數(shù)，三角形（等邊、等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓）二.熱點(diǎn)問題1 .定義與軌跡方程問題2 .交點(diǎn)與中點(diǎn)弦問題3 .弦長及面積問題4 .對(duì)稱問題5 .范圍問題6 .存在性問題7 .最值問題8 .定值，定點(diǎn)，

2、定直線問題第二部分知識(shí)儲(chǔ)備與一元二次方程ax2 bx c 0（a0）相關(guān)的知識(shí)（三個(gè)“二次”問題）21 .判別式：b 4ac2 .韋達(dá)定理：若一元二次方程2ax bx c 0（a 0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根xi,x2 ,則Xi X2b, Xi X2 9aa3 .求根公式：若一元二次方程2ax bx c 0（a 0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根、. b2 4acxi,22a二.與直線相關(guān)的知識(shí)1.直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式，斜截式，截距式，兩點(diǎn)式，一般式2.與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率:y tan0,);點(diǎn)到直線的距離公式：d Ax0 By0 C(一般式)或 kx0 y0 b (斜截式) ,Ap在雙曲線

3、上時(shí) SvFipf2 b /tan 四.常結(jié)合其他知識(shí)進(jìn)行綜合考查i.圓的相關(guān)知識(shí)：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關(guān)系2.導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)：求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則，特別是與切線方程相關(guān)的知識(shí)3.向量的相關(guān)知識(shí)：向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4.三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)：各類公式及圖像與性質(zhì)5.不等式的相關(guān)知識(shí)：不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五.不同類型的大題（i）圓錐曲線與圓例i.（本小題共i4分） B2J2 k23 .弦長公式：直線 y kx b上兩點(diǎn) 人(為), B(X2,y2)間的距離：AB Vl k2 |xi X2 J(1 k2*- X2)2 4

4、取2(或 AB| Ji J, y?)4 .兩直線li ： yiKx打上：y2k2X2 b2的位置關(guān)系： liI2ki k21 I1/I2 ki k2且bb25 .中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)A（x（,yi）,B（X2，y2）,若點(diǎn)M x, y線段AB的中點(diǎn)，則Xi Xiyi y2x,y22三.圓錐曲線的重要知識(shí)考綱要求：對(duì)它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1 .圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2 .圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3 .圓錐曲線的基

5、本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù)a,b,c三者的關(guān)系，p的幾何意義等4.圓錐曲線的其他知識(shí)：通徑：橢圓2b22 b2fb-,雙曲線2b-,拋物線2P焦點(diǎn)三角形的面積:p在橢圓上時(shí)SVFpFb2tan 222已知雙曲線c：勺Y2a b1(a 0,b 0)的離心率為J3 ,右準(zhǔn)線方程為x,33(I)求雙曲線C的方程；(n)設(shè)直線l是圓O：x2 y2 2上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)(x0y0 0)處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn) A,B ,證明 AOB的大小為定值【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力.a2 _J(I

6、)由題意，得 c 3 ,解得a 1,c 點(diǎn)， c .3 a2b2c2a22,.所求雙曲線C的方程為x2-y-1.2(n)點(diǎn) P xO,y0 xOy0 0 在圓 x2 y2 2上,圓在點(diǎn)P x0,y0處的切線方程為y y0 x x0 ,y。化簡得x0x y0y 2 .22 y2222_y0 2 得 3x0 4 x4x0x 8 2x0 0 , x 12由 2 及%x y°y 2切線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn) A、B,且02222.3x0 4 0,且 16x2 4 3x2 4 8 2x；0,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 x1，y1 , x2,y2 ,4x0、8 2飛2, x1 x22，3x2

7、4 3x2 4- cos AOBuuu uuu OA OB tuu-uuur OA OBuuu uuuOA OB x1x2 y1y2x1x22 xx2 4 x0 x1x°x2 ,y0XlX24 2x0 x1 x2 XoX0 Xi X28 2x218X2X2 8 2x222 4223x2 4 2 Xo3x2 43x2 4228 2xo 8 2xo o3x2 4 3x2 4AOB的大小為90 .【解法2】(I )同解法1.(n)點(diǎn) P Xo,yo xoyo 0 在圓 x2y2 2上，圓在點(diǎn)P Xo, yo處的切線方程為y yo一 x xo ，化簡得 xox yoy y。22 y ,X12

8、2 c2 .由 2 及 yo 2XoXyoy2c 2,22 c3刈 4 x 4xox 8 2xo o_223xo 4 y8yox 82xo o2切線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn) A、B,且o Xo 2 ,_ 23xo 4 o ,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1 , x2, y2 ,_ 2_ 2_則 X1X28 2x22xo8-2, y1 y22 ,3x2 43x24AOB的大小為9o .uuu uumOA OBX1X2 y1y2o,222(. Xoyo2 且 xoyoo,，o x° 2,oyo 2 ,從而當(dāng)3x2 4 o時(shí)，方程和方程的判別式均大于零)22練習(xí)1:已知點(diǎn)A是橢圓C:人

9、 上 1 t o的左頂點(diǎn)，直線l:x my 1(m R)與橢 9 t AEF的面積為.3圓C相交于E,F兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)B .且當(dāng)m o時(shí),(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)直線 AE , AF與直線x 3分別交于 M , N兩點(diǎn)，試判斷以 MN為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)B ?并請(qǐng)說明理由(2)圓錐曲線與圖形形狀問題2X例2.1已知A, B, C是橢圓W: +y2=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).4(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形 OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形 OABC是否可能為菱形，并說明理由.2解：(1)橢圓W + y2= 1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)

10、.4因?yàn)樗倪呅?OABC;菱形，所以 AC與OB相互垂直平分.所以可設(shè)A(1 , m),代入橢圓方程得 r-2、,2 4y0 +m2=1,即 m .42所以菱形OABC勺面積是 3| OB I AC = 1 X2X2| m = J3 .22(2)假設(shè)四邊形OABC；菱形.因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y= kx + n(k0, m0). x2 4y2 4由 V消 y 并整理得(1 + 4k ) x + 8kmx+ 4m 4=0.y kx m設(shè) A(xb y1) , C(x2, y2),則Xx2m1 4k24kmy1 y2x1 x22, 士 k 1 4k222所以

11、AC的中點(diǎn)為M4km m1 4k2,1 4k2一,一 一 、，一-,，八，1因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線 OB的斜率為 4k因?yàn)閗 w 1,所以AC與OB不垂直.4k所以O(shè)AB郵是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形 OABCF可能是菱形.22練習(xí)1：已知橢圓C： j y- 1(aa2b2b0)過點(diǎn)(J2, 1),且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)設(shè)M (x, y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，P (p,0)是X軸上的定點(diǎn)，求值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).MP的最小值及取最小(3)圓錐曲線與直線問題例3.1已知橢圓C : x* y024 x

12、0 2y2 4,(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2上，且OA OB,求直線AB22_與圓x y 2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論22解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：- 工42a 2,bJ2則c 72,離心率ec J2 a 2直線22AB與圓x y 2相切.證明如下:法一:設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為uuur因?yàn)镺A, OB,所以O(shè)Ax0 y0t 2 ,其中uuuOB 。，即 tx0 2y°X00,解得型x°% t 時(shí)，V。t2-，代入橢圓C的萬程，得22,故直線AB的方程為xV2 .圓心O到直線AB的距離d2.2此時(shí)直線AB與圓xy22相切.當(dāng) t時(shí)，直

13、線AB的方程為y即 y0 2 x % t y 2%ty。0.圓心O到直線AB的距離2x0 ty02x°t2y0 , 一,故x02x0% |4 x2| % _-4 Z2 TTx0 8x0 162x2此時(shí)直線AB與圓x2 y2 2相切.法二: 由題意知，直線 OA的斜率存在，設(shè)為 k,則直線OA的方程為y kx, OA ± OB ,當(dāng)k 0時(shí)，A 2 0 ,易知B 0 2 ,此時(shí)直線AB的方程為x y 2或x y原點(diǎn)到直線AB的距離為夜，此時(shí)直線AB與圓x|2k2 2原點(diǎn)到直線 AB的距離d 2 -_2.k、.1 2k21 k 1 2k2此時(shí)直線AB與圓x2 y2 2相切。綜上

14、知，直線 AB 一定與圓x2 y2 2相切.法三：當(dāng)k 0時(shí)，A 2 0 ,易知B 0 2 ,此時(shí)|OA 2 OB 2 , y2 2相切;2 2k22k1-2k2.12k2 .當(dāng)k 0時(shí)，直線OB的方程為y聯(lián)立 kx 9得點(diǎn)A的坐標(biāo)山2k2 J1 2k2或x2 2y2 41 y x 聯(lián)立 k得點(diǎn)B的坐標(biāo)y 2由點(diǎn)A的坐標(biāo)的對(duì)稱性知，無妨取點(diǎn)A . 2 , 2k ,進(jìn)行計(jì)算, - 1 2k2.1 2 k22k于是直線AB的方程為:.1一2k222k即 k .1 2k2 x 11 2k22kk J1 2k2 x 1 k, 1 2k22k ，kTi2k2 y 2k2 2 0 ,AB后7 2屯原點(diǎn)到直

15、線AB的距離dOA OBAB此時(shí)直線 AB與圓x2 y2 2相切;當(dāng)k 0時(shí)，直線OB的方程為y設(shè) A 為 B x2 y2 則 OA J1 k2 |x1OB| J1k 2V22 1 k2k2ky kx聯(lián)立 22 得點(diǎn)A的坐標(biāo)x 2y 41 2k21 2k22k22.1 k21 2k2OB 2 1 k2 ,1 2k2所以dOA OBAB尹2廣中二 J2 ,直線AB與圓2 2 1 k.12 k2y22相切;綜上知，直線AB 一定與圓2y 2相切2X練習(xí)1 ：已知橢圓C： -2 a2 y_ b21(a b 0)過點(diǎn)(0,1),且長軸長是焦距的五倍.過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于AB兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)

16、.(i)(n)(出)并說明理由;求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；若直線AB垂直于x軸，判斷點(diǎn)。與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系， 若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線 AB的斜率k的取值范圍.(4)圓錐曲線定值與證明問題例4.1已知橢圓C的中心在原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在x軸上，離心率為且橢圓C上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4.(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn) M ,與y軸交于點(diǎn)N ,過原點(diǎn)與l平行的直線與橢圓交于點(diǎn) P .證明：| AM | | AN | 2|OP|2 .2解：(i)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為32 a2方 1(a b 0),c由題意知 -a2ab2-324,解

17、得a 2, b 1.2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24(n)設(shè)直線AM的方程為：y k(x2),則 N(0,2k) .y k(x 2)22由 22 得(1+4k )xx 4y 4,2216k x 16k4 0 (*).設(shè)A( 2,0) , M (Xi, yi)，則2 , x1是方程(*)的兩個(gè)根,所以X f1 4k28(1 k2)4 .1 k2 2 .1 k24 1 k21 4k2| AM | AN |1 4k24k2設(shè)直線OP的方程為：yy kx,由I? 4y2 4 得(14k2)x20.設(shè) P(%,y。)，則 xo241 4k22V。4k21 4k2所以|OP|2二2|OP|28k21 4k2

18、2所以 |AM | | AN | 2|OP| .j X2例4.2:已知橢圓C： a2 y b21 (a>b>0)的離心率為 ,A (a,0) ,B(0,b)2,0(0,0), OABB勺面積為1.(I )求橢圓C的方程；(I I)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn),直線PA與Y軸交于點(diǎn) M 直線PB與x軸交于點(diǎn)No求證:AN ? BM為定值。由已知得.白=：=3 ,%#拓=*白=L4，而且口丁 =產(chǎn)+泌，由®解褥/2,b=L則橢回方程內(nèi)9+ p=LCID設(shè)期期上點(diǎn)P的小原為(ZeMmEDL史已知AZQ.M(M卜喇R線PA的方粒.為y - - (x - 2)2g曲-2令x=0.就可以群到M

19、 r*坐林&fO.1同樣可以得到N的坐標(biāo)為【盧%N)1 - S £ 巾 OF】一刑卿目工&StilTr-CCJ52X練習(xí)1 :已知橢圓C： -2 a4 1(a b 0)的離心率為46 ,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè) b23焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為5 .23(I)求橢圓C的方程;(n)已知?jiǎng)又本€y k(x 1)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)17uuur uuur為 一，求斜率k的值；若點(diǎn)M ( 一 ,0),求證：MA MB為定值.23練習(xí)2:已知拋物線C : y2 =2 px (p> 0),其焦點(diǎn)為F, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 AB (不垂直于x軸)過點(diǎn)

20、F且拋物線C交于A, B兩點(diǎn)，直線OA與OB的斜率之積為p .(1)求拋物線C的方程；(2)若M為線段AB的中點(diǎn)，射線OM交拋物線C于點(diǎn) D ,求證:|OD|OM |>2練習(xí)3:動(dòng)點(diǎn)P(x, y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與它到定直線l: x 4的距離之比為-.2(I )求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(n) 已知定點(diǎn)A( 2,0) , B(2,0),動(dòng)點(diǎn)Q(4,t)在直線l上，作直線 AQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為 M，作直線BQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N ,證明：M , N,F三點(diǎn)共線.(5)圓錐曲線最值問題 222例5：已知橢圓C：勺 4 1(a b 0)的離心率為Y3 ,橢圓C與y軸交于A,

21、B兩點(diǎn)， a b2|AB| 2.(I )求橢圓C的方程；(n)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè).直線PA, PB與直線x 4分別相交于M, N兩點(diǎn).若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)E, F,求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及| EF |的最大值.解：(I)由題意可得,1,c 3e ，a 2/日 a2 1 3得丁 4橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 1.1分 2分, 3分, 4分 5分(1)設(shè) P(xo,yo)(O x 2), A(0,1), B(0, 1),所以kPA 迎二，直線PA的方程為y 顯x 1 , xoxo同理：直線PB的方程為y *x 1, xo直線PA與直線x 4的交點(diǎn)為M (4, 4

22、(yo , 1),xo直線PB與直線x 4的交點(diǎn)為N(4,4(y0 1) 1),Xo線段MN的中點(diǎn)(4,4區(qū))，Xo所以圓的方程為(x 4)2 (y32(1Xo因?yàn)樗?,2Xo2 y。(x4)2因?yàn)檫@個(gè)圓與xo(x 4)2旦5X016y22X。(1比、24，10分y2 1X20,X軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,0,解得 X。 (8,2.5設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)(X1,0),(X2,0),則 |x1 x2| 2(| X02)11分12分所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2.14分22練習(xí)1:已知橢圓C：與yr1 aa2b2的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2, 0),離心率為過焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A, B兩點(diǎn), 橢圓于M, N兩點(diǎn)。線段AB中點(diǎn)為D, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過O,D的直線交(1)(2)求橢圓C的方程；求四邊形AMBN面積的最大值。練習(xí)2：已知橢圓C: mx2 3my2 1(m 0)的長軸長為2 J6, O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I )求橢圓C的方程和離心率;(n)設(shè)點(diǎn) A(3,0),動(dòng)點(diǎn)B在y軸上，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，且P在y軸的右側(cè)，若 |BA| |BP|,求四邊形OPAB面積的最小值(6)圓錐曲線存在性問題22O例6.已知橢圓c ： x21 a b 0的離心率為 J ,點(diǎn)P 0,1和點(diǎn)A m,n m 0a2 b22都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M .(I )求橢圓C