等腰三角形的分割問題

1、“等腰三角形”的分割問題近幾年各地中考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)一些有特色的圖形分割題，這類問題趣味性強(qiáng)，想象 空間廣闊，一般沒有復(fù)雜的計(jì)算，但需要較強(qiáng)的空間想象和分析問題的能力，其中就包括 等腰三角形的分割問題.現(xiàn)例說如下.例1如圖1,已知 ABC中，AB=AC, ZA = 36 .仿照圖1 ,請你再設(shè)計(jì)兩種不 同的分法，將 ABC分割成3個三角形，使得每個三角形都是等腰三角形.(注：如果兩個圖中分割出的3個三角形分別全等而只是分割線的具體位置不同，認(rèn)為是同一種分割方法.)分析與解 本題的背景是數(shù)學(xué)中“黃金三角形”(頂角是36。的等腰三角形稱為黃金三角形)的分割問題.除了題中給出的分割方法，還有如下的分

2、割方法：(1)如圖2,線段BD = BC=BE, AE=AD,這種分割方法其實(shí)借鑒了題中給出的分割 方法，第一次分割方法(分割線BD)與原圖相同，第二次改為把 ABD分割成兩個等腰三 角形.(2)如圖3,分別作 ABC任意兩邊垂直平分線交于點(diǎn) O,連結(jié)OA、OB、OC .由垂 直平分線的性質(zhì)，可知 OA = OB = OC,所以分割符合題意，進(jìn)一步看，其實(shí)點(diǎn) O就是 ABC的外心，從圓的角度來說 OA、OB、OC都是。半徑.(3)更一般的結(jié)論：對于任意銳角三角形，外心 O與三角形頂點(diǎn)的連線都可以把原三 角形分割成三個等腰三角形，如圖4所示.例2經(jīng)過等腰三角形的一個頂點(diǎn)的直線，把等腰三角形分成的

3、兩個較小的三角形， 都是等腰三角形，求原三角形各角的度數(shù).分析與解 易知上題中的“黃金三角形”就是符合題意的一個答案.那么，還有哪些 等腰三角形符合題意呢？可以根據(jù)頂角的大小分類考慮：(1)如果頂角是直角，即原三角形是等腰直角三角形，嘗試畫圖不難發(fā)現(xiàn)只要作頂角的平分線即可，如圖 5,易證AD = BD = CD.如果從底角畫分割線，如圖 6, ABD中，/ A=90 , ABAD ,所以 ABD不可能是等腰三角形(因?yàn)樵谥苯侨切位蜮g角三角形 中直角、鈍角只能作為頂角)；圖5圖6圖7(2)如果頂角是鈍角，同理也只能從頂角畫分割線，并且可以說明分割方法是唯一的， 如圖7, AABC中，AD是分割

4、線.過點(diǎn) A作AG，BC于點(diǎn)G,由“垂線段最短”原理可 知AG最短，并且線段 AB=ACAD ,圖中/ ADB為鈍角，若a ABD是等腰三角形，只 可能 AD=BD, /B = /BAD.在4ADC中，由于 ADAD ,若 AB = BD ,則/ A =/ ADB90 ./ CBD = Z CDB1 ，。=(180 x) 2= 90 - x, /A=180 -x-y. 此時只能有/ A = /ABD.即 180 x y=y (90 x),2.-.3x + 4y = 540 ,即/ ABC = 135 - - Z C;4名C BC叭C圖12圖“圖14若/ C是底角，則有兩種情況：第一種情況，如圖

5、13,當(dāng) DB =DC 時，則/ DBC =x, ABD 中，/ ADB =2x, Z ABD =y-x.(i)由 AB =AD ,得 2x=yx,此時有y=3x,即/ ABC =3/C.(ii)由 AB = BD,得180 x y=2x,此時 3x+y= 180 ,即/ ABC = 180 3/C.(iii)由 AD = BD ,得180 x y= yx,此時 y=90 ,即/ ABC = 90 ,/C為小于45的任意銳角，第二種情況，如圖14,當(dāng)BD = BC時， / BDC = x./ADB = 180 x90 ,此時只能有AD = BD.從而/ A = Z ABD = 1 Z CZ C,2這與題設(shè)/ C是最小角矛盾，當(dāng)/ C是底角時，BD = BC不成立，通過上述三個問題的研究可見，等腰三角形的分割問題，無論是對動手操作能力還是 分析推理能力，都有較高的要求，筆者認(rèn)為，解決這一類問題的一般策略是，先嘗試畫圖 操作，一方面設(shè)法找出一部分結(jié)論，同時也對分割可能的情況有一個初步的了解；在此基 礎(chǔ)上確定一個嚴(yán)密的分類標(biāo)準(zhǔn)(如問題2