圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題

1、的物體,靜止在水平面上,另一端通過光滑小孔吊著一 m圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題關(guān)于水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題,涉及的是臨界速度與臨界力的問 題,具體來說,主要是與純的拉力、彈簧的彈力、接觸面的彈力和摩擦力有關(guān).1、與純的拉力有關(guān)的臨界問題例1如圖1示,兩純系一質(zhì)量為m 0.1kg的小球,上面純長l 2m,兩端都拉直時(shí)與軸的夾角分別為30o與45°,問球的角速度在什么范圍內(nèi),兩繩始終張緊, 當(dāng)角速度為3rad/s時(shí),上、下兩繩拉力分別為多大2、因靜摩擦力存在最值而產(chǎn)生的臨界問題例2如圖2所示,細(xì)純一端系著質(zhì)量為 M 0.6kg質(zhì)量為m 0.3kg的物體,M的中

2、央與圓孔距離為0.2m,并知M與水平面間的最大靜摩擦力為2N ,現(xiàn)讓此平面繞中央軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),問轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿足什么條件可讓m處于靜止?fàn)顟B(tài).g 10m/s23、因接觸面彈力的有無而產(chǎn)生的臨界問題二、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng),中學(xué)物理中只研究物體通過最高點(diǎn) 和最低點(diǎn)的情況,并且也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)臨界狀態(tài).1、輕純模型過最高點(diǎn)如下圖,用輕純系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的情況, 與小 球在豎直平面內(nèi)光滑軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)過最到點(diǎn)的情況相似, 都屬于無支撐的 類型.臨界條件：假設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為Vo,此時(shí)繩子的拉力軌道的彈力2剛好等于零,小球的重力單獨(dú)提供

3、其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,即 mg m里,Vo 而,式中的Vo是小球過最高點(diǎn)的最小速度,即過最高點(diǎn)的臨界速度D v Vo剛好到最高點(diǎn),輕繩無拉力（2） V Vo能過最高點(diǎn),且輕純產(chǎn)生拉力的作用（3） V Vo實(shí)際上小球還沒有到最高點(diǎn)就已經(jīng)脫離了軌道例4、如圖4所示,一根輕繩末端系一個(gè)質(zhì)量為 m 1kg的小球,純的長度l o.4m,輕純能夠承受的最大拉力為Fmax iooN ,現(xiàn)在最低點(diǎn)給小球一個(gè)水平初速度,讓小球以輕繩的一端O為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),要讓小球在豎直平面內(nèi)做完整 的圓周運(yùn)動(dòng)且輕繩不斷,小球的初速度應(yīng)滿足什么條件g iom/s22、輕桿模型過最高點(diǎn)如下圖,輕桿末端固定一小球在豎直

4、平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的情況, 與小球在豎直放置的圓形管道內(nèi)過最到點(diǎn)的情況相似,都屬于有支撐的類型.臨界條件：由分析可知,小球在最高點(diǎn)的向心力是由重力和輕桿管壁的 作用力的合力提供的,如果在最高點(diǎn)輕桿管壁對(duì)小球的作用力與重力剛好平 衡,那么此時(shí)外界提供的向心力為零,即小球過最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以為零, 所 以小球過最高點(diǎn)的臨界速度為Vo o0mg1 v o,輕桿管壁對(duì)小球有向上的支持力 Fn ,且Fn(2)0 v vgF ,輕桿(管壁)對(duì)小球有向上的支持力Fn ,由mg Fn2Vm,r2可得Fn mg m , Fn隨v的增大而減小,0 Fn mg r(3)v gr ,重力單獨(dú)提供向心力,輕桿(

5、管壁)對(duì)小球沒有力的作用(4)v Jgr ,輕桿(管壁)對(duì)小球施加向下的拉力(壓力),由mg2Vm,r可得F拉2初速度Vo各應(yīng)m mg ,且F拉隨著v的增大而增大 r例5、如圖5所示,半徑為R,內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放(1)假設(shè)要小球能從C端出來,初速度Vo多大置,AB段平直,質(zhì)量為m的小球以水平初速度vo射入圓管.(2)在小球從C端出來瞬間,對(duì)管壁的壓力有哪幾種典型情況,滿足什么條件3、汽車過拱橋如下圖,汽車過拱形橋頂時(shí),由汽車的重力和橋面對(duì)汽車的支持力的合力22提供其最高點(diǎn)的向心力,由 mg Fn m,可得Fn mg m,由此可見, rr橋面對(duì)汽車的支持力隨著汽車速度的增大而減小,如果速

6、度增大到某一個(gè)值v0,會(huì)出現(xiàn)橋面對(duì)汽車的支持力為零,即 vo .gr是汽車平安過拱橋頂?shù)呐R界速度.(1) 0 v . gr ,汽車不會(huì)脫離拱形橋且能過最高點(diǎn)(2) v 而,因橋面對(duì)汽車的支持力為零,此時(shí)汽車剛好脫離橋面做平拋運(yùn)動(dòng)(3) v . gr ,汽車將脫離橋面,非常危險(xiǎn)例6、如圖6所示,汽車質(zhì)量為m 1.5 104kg ,以不變的速率通過凸形路面,路面半徑為 R 15m,假設(shè)要讓汽車平安 行駛,那么汽車在最高點(diǎn)的臨界速度是多少如果汽車通過最 高點(diǎn)的速度剛好為臨界速度,那么接下來汽車做什么運(yùn)動(dòng),水平運(yùn)動(dòng)的位移是多少g 10m/s2例題1.解析：1當(dāng)角速度很小時(shí),AC和BC與軸的夾角都很小,

7、BC并不張緊.當(dāng)逐漸增大到30o時(shí),BC才被拉直這是一個(gè)臨界狀態(tài),但BC繩中的張力仍然為零. 設(shè)這時(shí)的角速度為1,那么有：Tac cos30o mgTAC sin30o m 121sin30o將條件代入上式解得1 2.4rad /s2當(dāng)角速度繼續(xù)增大時(shí)Tac減小,Tbc增大.設(shè)角速度到達(dá)2時(shí),Tac 0 這又是一個(gè)臨界狀態(tài),_ o_o2_ o那么有：Tbc cos45mgTbc sin 45m 2 l sin 30將條件代入上式解得2 3.16rad /s所以當(dāng) 滿足2.4rad/s 3.16rad/s, AC、BC兩繩始終張緊.此題所給條件3rad/s,說明此時(shí)兩繩拉力 Tac、Tbc都存在

8、.那么有：Tac sin 30o Tbc sin 45o m 2l sin30oTac cos30o Tbc cos45o mg將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得Tac 0.27N ,Tbc 1.09NACBC注意：解題時(shí)注意圓心的位置半徑的大小.如果 2.4rad/s時(shí),Tbc 0, AC與軸的夾角小于30°.如果3.16rad/s時(shí),Tac0, BC與軸的夾角大于45.M會(huì)被拉向圓孔,即 m不能處于靜止?fàn)顟B(tài).當(dāng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)例題2 解析：由分析可知,如果平面不轉(zhuǎn)動(dòng),的角速度 較小時(shí),M與水平面保持相對(duì)靜止但有著向圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢,此時(shí)水平面對(duì)M的靜摩擦力方向背向圓心,根據(jù)牛頓第二定律,. 一 一2對(duì)

9、于M有：F拉 f靜 M 1 r,可見隨著靜摩擦力的增大,角速度逐漸減小,當(dāng)靜摩擦力增大到最大值時(shí),角速度減小到最小,即當(dāng)靜摩擦力背向圓心且最大,此時(shí)的角速度1是最小的臨界角速度,i 河fmax)/(Mr) 2.9rad/s；當(dāng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較大時(shí),M與水平面保持相對(duì)靜止但有著遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢,此時(shí)水平面對(duì)M的靜摩擦力方向指向圓心,根據(jù)牛頓第二定律,. 一 一2對(duì)于M有：F拉 f靜 M 2 r ,可見隨著靜摩擦力的增大,角速度逐漸增大,當(dāng)靜摩擦力增大到最大值時(shí),角速度增大到最大,即當(dāng)靜摩擦力指向圓心且最大,此時(shí)的角速度 2是最大的臨界角速度,2J(F 拉 fmax(Mr) 6.5rad/so

10、故要讓m保持靜止?fàn)顟B(tài),平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿足：2.9rad/s 6.5rad/s例題3通常情況下受重力、繩的拉力和錐面的支持力,解析：物體在光滑錐面上繞軸線做勻速圓周運(yùn)動(dòng),正交分解各個(gè)力. 2水平方向：Ft sinFn cosml sin豎直方向：Ft cos Fn sin mg2由得 fn mg sin mV C0Sl sin由式可以看出,當(dāng) 、l、m一定時(shí),v越大,Fn越小,當(dāng)線速度增大到某一個(gè)值 Vo時(shí),能使Fn 0,此時(shí)物體與錐面接觸又恰好沒有相互作用,那么Vo就是錐面對(duì)物體有無支持力的臨界速度,令式等于零,得Vo3g(1)由于V1 Vo,物體在錐面上且錐面對(duì)物體有支持力,聯(lián)立兩式得2L

11、-VlFT1 mg sin m - 1.03mg(2)由于v2 v0,物體已離開錐面,但仍繞軸線做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)此時(shí)繩與軸線間的夾角為 (),物體僅受重力和拉力的作用,這時(shí)有2LV2廣/FT2 sinmFT2 cos mg l sin由兩式得60°, FT2 2mg解析：題目中給出了兩個(gè)條件,首先要讓小球能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng),這個(gè)條件的實(shí)質(zhì)是要求小球能夠過最高點(diǎn),這是無支撐的類型,小球過最高點(diǎn)的臨界條件是重力提供向心力,此時(shí)繩子沒v2有拉力的作用,即 mg m丁, v qgl 2m/s,再從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)列動(dòng)能定理方程,那么有1 2 122mgl -mvo1 -mv ,

12、得v01 2J5m/s,此即小球在取低點(diǎn)的初速度的取小 22值.第二個(gè)條件是繩子不斷,通過分析很容易知道,繩子在最低點(diǎn)最容易斷,只要最低點(diǎn)不斷,其它點(diǎn)都不會(huì)斷.所以在最低點(diǎn)有2 ,口八 ,Fmax mg mv02得 v°2 6m/s所以小球的初速度滿足的條件是2.5m/s v0 6m/s例題5解析：(1)小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)的條件是v臨0,此時(shí)需要的初速度為 v0滿足的條件是,由1 212機(jī)械能寸恒th律得 ：一mv02mgR - mv臨,得v0 v4gR ,2 2因此要使小球能從 C端出來需vc 0,故入射速度v0 v4gR o(2)小球從C出來端出來瞬間,對(duì)管壁壓力可以有三種典型情況:剛好對(duì)管壁無壓力,此時(shí)重力恰好提供向心力,由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)Vc mg m由機(jī)械能守恒定R小 1212 5gR律：一mW2mgR -mVc 聯(lián)立解得V0222對(duì)下管壁有壓力,此時(shí)應(yīng)有mgm1,相應(yīng)的入射速度V0應(yīng)滿足j4gR v° j5gR對(duì)上管壁有壓力,此時(shí)應(yīng)有2mg m ,相應(yīng)的入射速度v0應(yīng)滿足v0 j5gR R例題6 解析：此題實(shí)際上