因式分解講義

1、因式分解知識(shí)點(diǎn)1:因式分解的定義1.分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘的積,這種變形叫做分解因式,它與整式的乘法互為逆運(yùn)算.如：判斷以下從左邊到右邊的變形是否為分解因式： x2 9 8x (x 3)(x 3) 8 () 9x2 4y2(9x 4y)(9x 4y)()(x 3)(x 3) x2 9() x2y 2xy2 xy xy(x 2y)()知識(shí)點(diǎn)2:公因式公因式：定義：我們把多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.公因式確實(shí)定：(1)符號(hào)：假設(shè)第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)負(fù)號(hào)那么先把負(fù)號(hào)提出來(提出負(fù)號(hào)后括號(hào)里每一項(xiàng)都要變號(hào))(2)系數(shù)：取系數(shù)的最大公約數(shù)；(3)字母：取字母(或多項(xiàng)

2、式)的指數(shù)最低的；(4)所有這些因式的乘積即為公因式；例如：1 .多項(xiàng)式-3ab 6abx 9aby的公因式是2 .多項(xiàng)式8a3b2c 16a2b3 24ab2c分解因式時(shí),應(yīng)提取的公因式是()A. 4ab2cB. 8ab3C. 2ab3D. 24a3b3c3. x(m n)2 y(n m)4 (m n)3 的公因式是 知識(shí)點(diǎn)3:用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公 因式提出來,從而將多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式的乘積,這種分解因式的方法叫做提 公因式法.例如：1 .可以直接提公因式的類型：(1) 9a3b2 6a2b4 12a4b3=;n 1 n

3、1 n aaa =(3) x(a b)2y(a b)4 (a b)5 =(4)不解方程組2x y 3 ,求代數(shù)式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值5x 3y 22.式子的第一項(xiàng)為負(fù)號(hào)的類型：(1) 4x2y 6x2 y2 8x3y3 = 4(m n)3 8(m n)4 12(m n)2 =(2)假設(shè)被分解的因式只有兩項(xiàng)且第一項(xiàng)為負(fù),那么直接交換他們的位置再分解(特別是用到平方差公式時(shí))如： 8x2 18y2練習(xí)：1 .多項(xiàng)式:6ab 18abx 24aby的一個(gè)因式是6ab,那么另一個(gè)因式是()A. 1 3x 4y B.1 3x 4y C 1 3x 4y D.1 3x 4y2 .

4、分解因式一5(y - x)3 10y(y -x)33 .公因式只相差符號(hào)的類型：公因式相差符號(hào)的,要先確定取哪個(gè)因式為公因式,然后把另外的只相差符號(hào)的 因式的負(fù)號(hào)提出來,使其統(tǒng)一于之前確定的那個(gè)公因式.(假設(shè)同時(shí)含奇數(shù)次和偶數(shù)次那么一般直接調(diào)換偶數(shù)次里面的字母的位置,如(x y)6-(y x)5 (y-x)6-(y-x)5 (y - x)5(y - x-1)例：(1) (b a) 2+a (ab) +b (ba)(2) (a+bc) (a-b+c) + (b-a+c) (b-a-c)(3) a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)練習(xí)：1 .把多項(xiàng)式m(a-2)+ m2- a)分解

5、因式等于()(A)( a-2)( m+nr)(B)(a-2)( m-m (C)m( a-2)( m1)2 .多項(xiàng)式x(y 3) x3(3 y)的分解因式結(jié)果( )3 32A. (y 3)(x x ) B . (y 3)(x x ) C . x(y 3)(1 x ) D . x(y 3)(1 x)3.分解因式：(1) m(x y) n(y x) (x y)() 45(2) -6(x-y) -3y(y -x)知識(shí)點(diǎn)4公式法分解因式.公式法分解因式：如果把乘法公式反過來,那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做公式法.一、平方差公式分解因式法平方差公式：兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)的

6、和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.即 a2-b 2=(a+b)(a-b)特點(diǎn)：1、是一個(gè)二項(xiàng)式,每項(xiàng)都可以化成整二的平方1.2.兩項(xiàng)的符號(hào)相反.例如：1、判斷能否用平方差公式的類型. (1)以下多項(xiàng)式中不能用平方差公式分解的是()(A)- a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16nn-25 n2p2(2) .以下各式中,能用平方差分解因式的是()A.x2 y2 B . x2 y2 C . x2 xy2 D . 1 y22、直接用平方差的類型(1)16x2 9y2(2)25x2 1(3) x a a5(5)x3 9x(6) (m n)3 (m n) 13、整體的類型：(1) (m n)

7、2 n2(2) (x y)2 (2x 3y)24、提公因式法和平方差公式結(jié)合運(yùn)用的類型(1)m34m=. (2) a3 a .練習(xí)：將以下各式分解因式,、222 一 2一 一22(1) x2 14x2(2)100x 81y;(3)9(a -b) -(x-y);(7) (2x y) 4(2x y)3二、完全平方式分解因式法2倍,等于這完全平方公式：兩個(gè)數(shù)的平方和,加上(或減去)這兩數(shù)的乘積的兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.即a 2+2ab+b2=(a+b)a2-2ab+b 2=(a-b) 2特點(diǎn)：(1)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式;(2)其中有兩項(xiàng)同號(hào),且此兩項(xiàng)能寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式;(3)另一項(xiàng)為哪一項(xiàng)這

8、兩數(shù)或兩式乘積的2倍.1、判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否可用完全平方公式進(jìn)行因式分解如：以下多項(xiàng)式能分解因式的是()A. x2 y B . x2 y2 C . x2 y2 y D . x2 6x 92、關(guān)于求式子中的未知數(shù)的問題如：1.假設(shè)多項(xiàng)式x2 kx 16是完全平方式,那么k的值為()A. -4 B . 4 C .±8 D .±42 . 假設(shè) 9x2 6x k是關(guān)于 x 的完全平方式,那么 k=3 .假設(shè)x2 2(m 3)x 49是關(guān)于x的完全平方式那么 m= 3、直接用完全平方公式分解因式的類型4 242m mn n932(1) x2 8x 16 ；(2)4x2 12xy 9y

9、2 ；(3) 上 xy y2 ；(4)44、整體用完全平方式的類型(x -2)2+ 12(x 2)+36;(2)9 6(a b) (a b)2(2)1 ax2y2+2axy+2a求 3abx2 3aby2 6xyab 的值5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的類型 (1)-4x 3+16x2-16x ;(3)：ab 1,x y 2練習(xí)：分解因式(1) x2 4x 42 2(2) a x 16ax 64/ c 42 24(3) a 8ab 16b(4) (x y)2 14(x y) 49-3- 2-2(6)3x 12x y 12xy/ -、2(5) 9 6(a b) (a b)(7) 2x2

10、2x 1知識(shí)點(diǎn)5、十字相乘法分解因式.十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：(x+a) (x+b) = x2 (a b)x ab ,用來把某些多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做十字相乘法.如：分解因式： x2 7x 10 2x2 5x 3(3)a2+6ab+5 b2(4) x2+5x+6(5)x2-5 x+6(6)x2-5 x-6練習(xí)：(1)x2+7x+12(4) x2+4x-12(5) y2+23y+22(6)(4) x2+5x-6知識(shí)點(diǎn)6、分組的方法分解因式如(1) m3 4m4 5 20m練習(xí)：(1) 9a2 4b2 4bc c2(2) x2-8x+12x2-8 x-204224x

11、 y 4x 1(4) 9x2 y2 4y 4 x3 3x2 4x 12(5 ) xy2 2xy 2y 4(3) x2- x-12 22 (7) x+9x y-36 y(3) x2 2x 6y 9y2小結(jié)因式分解的常規(guī)方法和方法運(yùn)用的程序,可用“一提二公三叉四分這句 話來概括.“一提是指首先考慮提取公因式；“二公即然后考慮運(yùn)用公式(兩項(xiàng)用平方差公式三項(xiàng)的用完全和平方、差平方公式)；“三叉就是二次三項(xiàng)式能否進(jìn)行 十字相乘法；“四分是四項(xiàng)以上考慮分組分解法.課后練習(xí)：分解因式單元練習(xí)一、選擇題(每題4分,共40分)1 .以下從左到右的變形,其中是因式分解的是(.)(A) 2ab 2a 2b(B) m

12、2 1 m 1 m 12 2(C) x 2x 1 x x 2 1(D) a a b b 1 a ab b 12 .把多項(xiàng)式一8a2b3+16a2b2c2 24a3bc3分解因式,應(yīng)提的公因式是(),(A) - 8a2bc(B) 2a 2b2c3(C) 4abc (D) 24a 3b3c33 .以下因式分解中,正確的選項(xiàng)是()(A) 3m2 6mm 3m 6(B) a2b ab a a ab b(C) x2 2xy y2 x y 2(D) x2 y2 x y 24,以下多項(xiàng)式中,可以用平方差,公式分解因式的是(日 )(A)a2 4(B)a22(C)a24( D)a2 45 .把一6(xy)3 3

13、y(y x)3分解因式,結(jié)果是().(A) - 3(x-y)3(2+y.)(C) 3(x-y) 3(y + 2)6 .以下各式變形正確的選項(xiàng)是()(A)a b a b22(C)a b a b7.以下各式中,能用完全平方公式分(A) 乂x2 1(B) 4x2 + 4x13(B) -(x-y) (6-3y)(D)3(x -y)3(y-2)(B) b a a b, 、22(D) b a a b由因式的是(.).(C) x2xy + y2 D . x2x + 2(D) (2 +a)(D) ± 12(D) 98 .因式分解4+a2 4a正確的選項(xiàng)是()一(A) (2 -a)2(B) 4(1 - a) + a2 (C) (2 -a)(2 -a)9 .假設(shè)4x2 mx 9是完全平方式,那么 m的值是()(A) 3(B) 4(C) 1210 .a b 3, ab 2,貝Ua b 2的值是().(A) 1(B) 4(C) 16二、填空題(每題4分,共20分)o21 . 4a b 10ab分解因式時(shí),應(yīng)提取的公因式是2 . am bm m ； x 1；abca3 .多項(xiàng)式x2 9與x2 6x 9的公因式是.4 .利用因式分解計(jì)算： 2022 19925 .如果a2+ m升121是一個(gè)完全平方式,那么 m=解做題1 .將以下各式因式分解：每題5分,共40分2(1) 14abc 7