概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè) 2

1、第一章隨機(jī)事件與概率1. 將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件中的樣本點(diǎn)。解： ,2.設(shè)，試就以下三種情況分別求：（1），（2），（3）解: （1）（2）（3）3.某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解: 記H表?yè)芴?hào)不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號(hào)能接通。注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。 如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。 4進(jìn)行一系

2、列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率均為，試求以下事件的概率：（1）直到第次才成功；（2）在次中取得次成功；解: (1) (2)5. 設(shè)事件A，B的概率都大于零，說明以下四種敘述分別屬于那一種：（a）必然對(duì)，（b）必然錯(cuò)，（c）可能對(duì)也可能錯(cuò)，并說明理由。（1）若A，B互不相容，則它們相互獨(dú)立。（2）若A與B相互獨(dú)立，則它們互不相容。（3），則A與B互不相容。（4），則A與B相互獨(dú)立。解: (1)b, 互斥事件,一定不是獨(dú)立事件 (2)c, 獨(dú)立事件不一定是互斥事件, (3)b, 若A與B互不相容,則,而 (4)a, 若A與B相互獨(dú)立,則,這時(shí)6. 有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中放有3個(gè)白球，2個(gè)紅球；乙

3、盒中放有4個(gè)白球，4個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)地取一個(gè)球放到乙盒中，再?gòu)囊液兄腥〕鲆磺?，試求?1)從乙盒中取出的球是白球的概率；(2)若已知從乙盒中取出的球是白球，則從甲盒中取出的球是白球的概率。解: (1)記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉?。B=A1B+A2B且A1，A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =(2)7.思考題：討論對(duì)立、互斥（互不相容）和獨(dú)立性之間的關(guān)系。解:獨(dú)立事件不是對(duì)立事件,也不一定是互斥事件;對(duì)立事件是互斥事件,不能是獨(dú)立事件;互斥事件一般不是對(duì)立事件,一定不是獨(dú)立事件.第二章隨

4、機(jī)變量及其概率分布1.設(shè)X的概率分布列為：Xi 0123Pi 0.10.10.10.7F(x)為其分布的函數(shù)，則F（2）=？解: 2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)=則常數(shù)c等于？解:由于,故3.一辦公室內(nèi)有5臺(tái)計(jì)算機(jī)，調(diào)查表明在任一時(shí)刻每臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率為0.6，計(jì)算機(jī)是否被使用相互獨(dú)立，問在同一時(shí)刻(1) 恰有2臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？(2) 至少有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？(3) 至多有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？(4) 至少有1臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？解: (1)(2)(3) =0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4) 4.設(shè)隨機(jī)

5、變量K在區(qū)間 (0, 5) 上服從均勻分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0 有實(shí)根的概率。解: 由可得:所以5.假設(shè)打一次電話所用時(shí)間（單位：分）X服從的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進(jìn)電話亭，試求你等待：（1）超過10分鐘的概率；（2）10分鐘 到20分鐘的概率。解:6. 隨機(jī)變量XN (3, 4), (1) 求 P(2<X5) , P(- 4<X10), P(|X|>2),P(X>3)；（2）確定c，使得 P(X>c) = P(X<c)。解:=0.5328=所以 故 7設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X，Y的分布律分別為X01Y12PP試求：

6、（1）二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律；（2）隨機(jī)變量Z=XY的分布律.解: X Y1200.10.1510.30.45Z012P0.250.30.458. 思考題:舉出幾個(gè)隨機(jī)變量的例子。第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布1.設(shè)盒子中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黑球，從中隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球個(gè)數(shù)，用Y表示取到的白球個(gè)數(shù)，寫出 (X, Y) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。解:X Y0120000.1100.40.220.10.20YX01200.10.2a10.1b0.22.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：試根椐下列條件分別求a和b的值； (1)； (2)； (3)設(shè)是的分布函數(shù)，。解: (1

7、),(2),3.的聯(lián)合密度函數(shù)為：求（1）常數(shù)k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。解: (1),故(2)(3)(4)4的聯(lián)合密度函數(shù)為：求（1）常數(shù)k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。解: (1),故(2) (3) 5.設(shè)(X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求與的邊緣密度函數(shù)。解: 6. 設(shè)(X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求與的邊緣密度函數(shù)。解: ,7. (X, Y) 的聯(lián)合分布律如下， YX12311/61/91/182ab1/9試根椐下列條件分別求a和b的值；(1) ； (

8、2) ； （3）已知與相互獨(dú)立。解: (1),(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/188.(X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c，并討論與是否相互獨(dú)立？解: ,c=6,故與相互獨(dú)立.9.思考題：聯(lián)合分布能決定邊緣分布嗎？反之呢？解:聯(lián)合分布可以得到邊緣分布,反之不真.第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1盒中有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球的個(gè)數(shù)，則EX是：B （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.2.設(shè)有密度函數(shù)：, 求,并求大于數(shù)學(xué)期望的概率。(該題數(shù)有錯(cuò))解: 3.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為 YX01200.10.2a10.1

9、b0.2已知， 則a和b的值是：D （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。4設(shè)隨機(jī)變量 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求。解：X0123P0.10.20.30.45設(shè)X有分布律：則是：D（A）1；（B）2； （C）3； （D）4.6.丟一顆均勻的骰子，用X表示點(diǎn)數(shù)，求.解：X的分布為 7.有密度函數(shù)：，求 D(X).解：，8.設(shè),相互獨(dú)立，則的值分別是：（A） -1.6和4.88； （B）-1和4； （C）1.6和4.88； （D）1.6和-4.88.解: A9. 設(shè)，與有相同的期望和方差，

10、求的值。（A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5.解: B10下列結(jié)論不正確的是（ ）（A）與相互獨(dú)立，則與不相關(guān)；（B）與相關(guān)，則與不相互獨(dú)立；（C），則與相互獨(dú)立；（D），則與不相關(guān)；解: B11若 ，則不正確的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）；解:D12（）有聯(lián)合分布律如下，試分析與的相關(guān)性和獨(dú)立性。YX-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8解: 由于 而所以與不獨(dú)立. 由于,所以,與不相關(guān)13是與不相關(guān)的（ B ） （A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。14. 是與相互獨(dú)立的（A ）（A）

11、 必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。15.思考題：（1） 設(shè)隨機(jī)變量 (X, Y) 有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗(yàn)證與不相關(guān)，但不獨(dú)立。解: 0,不相關(guān)顯然:,所以與不獨(dú)立.（2）設(shè)有，試驗(yàn)證，但與不相互獨(dú)立解: 顯然:,所以與不獨(dú)立.討論與獨(dú)立性，相關(guān)性與獨(dú)立性之間的關(guān)系解:若X與Y相互獨(dú)立,則,反之不成立.獨(dú)立一定不相關(guān),反之不真.第五章大數(shù)定律及中心極限定理1.一批元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在用，其余29只備用，當(dāng)使用的一只損壞時(shí)，立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年（8760小時(shí)）的近似概

12、率。解: 設(shè)第只元件的壽命為(),則是這30只元件壽命的總合,則所求的概率為: 2.某一隨機(jī)試驗(yàn)，“成功”的概率為0.04，獨(dú)立重復(fù)100次，由中心極限定理求最多“成功”6次的概率的近似值。解: 設(shè)成功的次數(shù)為,則,第六章樣本與統(tǒng)計(jì)量1.有n=10的樣本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，則樣本均值=1.57 ，樣本均方差 0.2541，樣本方差0.06456。2設(shè)總體方差為有樣本，樣本均值為，則 。3. 查有關(guān)的附表，下列分位點(diǎn)的值：=?，=9.236 ，=-1.3722 。4設(shè)是總體的樣本，求。解: 5設(shè)總體，樣本，樣本均值，

13、樣本方差，則 ， ， 第七章 參數(shù)估計(jì)1.設(shè)總體的密度函數(shù)為：，有樣本，求未知參數(shù) 的矩估計(jì)。解:,故 的矩估計(jì):2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)，為估計(jì)的值，在實(shí)地隨機(jī)地調(diào)查了20次，每次1分鐘，結(jié)果如下： 次數(shù)： 2 3 4 5 6 量數(shù)： 9 5 3 7 4 試求的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)。 解:,所以,3.設(shè)總體的密度函數(shù)為：，有樣本，求未知參數(shù) 的極大似然估計(jì)。解:由題設(shè),似然函數(shù)為:,解得的極大似然估計(jì)為4.纖度是衡量纖維粗細(xì)程度的一個(gè)量，某廠化纖纖度,抽取9根纖維，測(cè)量其纖度為：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，試求的置信度為的置信區(qū)間，（1）若,（2）若未知解: (1),的置信區(qū)間為(2) ,時(shí),置信區(qū)間為:5. 為分析某自動(dòng)設(shè)備加工的另件的精度，抽查16個(gè)另件，測(cè)量其長(zhǎng)度，得，s = 0.0494,設(shè)另件長(zhǎng)度,取置信度為，（1）求的置信區(qū)間，（2）求的置信區(qū)間。解:,所以置信區(qū)間為: .的置信區(qū)間為:0.0361,0.0762第八章假設(shè)檢驗(yàn)1.某種電子元件的阻值（歐姆）,隨機(jī)抽取25個(gè)元件，測(cè)得平均電阻值，試在下檢驗(yàn)電阻值的期望是否符合要求？解:檢驗(yàn)假設(shè):,由已知可得: 查表