第21講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式

1、第21講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公夯實基礎(chǔ)【P50】【學習目標】1. 掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式;2. 掌握二倍角公式；3. 靈活應(yīng)用公式.【基礎(chǔ)檢測】1. 化簡 cos 15 cos 45 sin 15 sin 45 的值為()1313A.? B.牙 C. 2 D. 丁11.故選【解析】 由題意可得：cos 15 cos 45 sin 15 sin 45 cos(15 + 45 = cos 60A.【答案】1 n n ,、2. sin12cos12=()A 11 廠 1c 1nn 1n 1cos =- sin_=1212 4 6 4b.4 % 晶【解析】由題意得，

2、1sini2 12【答案】C3.若 sin 2 1B.2a31 D. 0【解析】4.已知a 3為銳角sin31令3, tan( 3- a)=-,則 tan 護()5313A.孑1D.1【解析】二 tan/ sin a 3, a 為銳角，/ cos of*. 1 sin2 a= 4.55sin a 3 a a A .cos a 4tan(%) + tan a 13tan 護tan( 3- a1tan(B廠故選 A【答案】A【知識要點】1.兩角和與差的三角函數(shù)公式S a土： si n( a #) sinacosB os %sin 衛(wèi) .C( a 土： cos( a=B) cosacosg?sina

3、 sin 衛(wèi) .tan a 土n B z., n .T(a 土 B)tan( a#L _(a B, a 土簾k n+-, k Z).1 ?tan a tan B22.二倍角的三角函數(shù)公式S2a： sin 2 a= 2sin acos_ a_.2 2 2C2a： cos 2 a= _cos a sin a_=一2cos a 1 =1 2sin a .T2 a：tan 2 a=2tan a2_1 tan a3. 常用公式變形(1)tan a 土n = 一tan( a 土 B?tan a tan B )降幕:(3)配方:2cos a=sin2a=1 cos 2 a21 + COS 2 a21 5in

4、 a=升幕：1 + cos a= _2cos 2_ ；2 a1 cos a= 2sin2-4. 輔助角公式asin a+ bcos a=.a2 + b2sin( a+ $)其中 tan $= ?.sin a cos a= 2sin1典例剖析 【P51】考點1三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用例1( 1)若an， n，tan a+；3A54%55【解析】-tan a=.| n tan * 11(1)： tan a+：=；,V4/ 1 tan a 75 sin a4= cos ,cos =又/ sin2 a+：sin a .cos2 a= 1, sin2 a=_9 25.【答案】A(2)計算sin 47 si

5、n 17 cbs 30cos 17 的值等于【解析】由 sin 47 = sin(30+ 17) = sin 30cos 17+ sin 17cos 30 知，原式=sin 30 cs 17 1cos 17 2.1【答案】寸【小結(jié)】觀察分析角和三角函數(shù)名稱之間的關(guān)系，實現(xiàn)非特殊角向特殊角的轉(zhuǎn)化是求解此類題的關(guān)鍵.(1) 使用兩角和與差的三角函數(shù)公式 ，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.(2) 使用公式求值,應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.考點2三角函數(shù)公式的逆用和變形用例2( 1)已知cos a:+ sin = 43d.4,則sin a+亍的值是()a-n a sin=簡 + 6 =護 所以

6、sin a+ = 5 , 故sin a+亍=【答案】C【解析】cos453 . a qSin asin a+ 6 +sin /6 =-4,選 C.(2)在斜三角形 ABC 中，sin A = Q2cos B cos C,且 tan B tan C = 1 Q2,則角 A 的 值為()n n n 3 nA.4 B.3 C.2 d4【解析】 由題意知：sin A= 2cos B cos C= sin(B+ C) = sin B cos C+ cos B sin C, 在等式.2cos B cos C= sin B cos C+ cos B sin C 兩邊同除以 cos B cos C,tan B

7、 + tan C得 tan B + tan C = 2,又 tan但 + C)= 1 = tan A,所以 tan A= 1,1 tan Btan CnA = _A 4.【答案】考點3角的變形問題例3已知 cos =, sin( a0) =耳/,且 a 3 0 列 求: (1 )cos(2 a 3 的值；(2 )3的值.【解析】(1)因為a 3 ip, n所以a 3n n 又因為 sin(a 3 )= 1*10,所以 Ov a 3；,耐 /3 Wio. 劉5則 cos(a 3 = “，sin = _ ,105則 cos(2 a 3= cosa+ (a 3 = cos a 坯呼一 3 sin a

8、 Sia-(2 )cos=cos甘 CoQ a- ( a- 3a C(sc 3)+ sin a又因為3 o, n,所以3=n【小結(jié)】仔細分析角與角之間的關(guān)系是利用兩角和與差的三角函數(shù)求值的關(guān)鍵，解這部分問題時，“一看角、二看名、三看結(jié)構(gòu) ”.(1 )解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示. 當“已知角”有兩個時，“所求角” 一般表示為兩個 “已知角”的和或差的形式； 當“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然 后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(2)常見的配角技巧：+ 3 a 3a+ 32 a= ( a+ 3) + ( a 3 , o

9、= ( a+ 3 3, 3= 2 2 ， a= 2 +a 3 a 3r，r =(【能力提升】例4在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,已知sin(A B) = 2sin a(1 )求 sin Acos B 的值；(2)若b=亍，求B.【解析】(1)sin(A B)= 1 cos C 扌=1 sin C = 1 sin(A + B),1故 2sin Acos B= 1, / sin Acos B= ?.、sin A a 3(2)由正弦疋理得喬=b2/5/31 sin 2B=23,由(1 )知 sin Acos B= -sin Bcos B=sin 2B= 2， 2B =；

10、或竽B =冒或寸.方法總結(jié) 【P52】1. 巧用公式變形: 和差角公式變形：tan x n y= tan(x勺)(1 ?tan x tan y); 倍角公式變形：降幕公式cos?a=1 + cos 22,a sin2a= 1 cs 2配方變形:1 + sin(_aasin 2os 2 ，21 cos = 2sin .2“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分【P52】1小1. （2018全國卷川）若sin令3，則cos 2a （8779.a9 b9 c .【解析】cos 2 a 1 2sin2 a= 1 29【答案】B2 .（2018 全國卷 n ）已知 tan則 tantantan 111 + tan a 55 n tan tan 廠【解析】45 n1 + tan a 啣解方程得tan a 2.3【答案】3(n1 + cos a+ 2