第三章導(dǎo)數(shù)與分

1、1、設(shè) f (x)2、設(shè) f(x)可導(dǎo)，又3、設(shè) f(x)4、證明函數(shù)5、6、7、8、9、導(dǎo)數(shù)與微分(A)1一，試按定義求f (x)， f1 Xx a (x)，其中(x)為連續(xù)函數(shù)，且(a)0,證明f(x)在a點(diǎn)不f(x)在a點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)各等于什么?已知f (x)f(x)求曲線y e在拋物線yx 0，求f'(x), f'(0)又f (0)是否存在.1 x 1IX0xax bX 0 在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).x 000，問(wèn)a, b應(yīng)為何值時(shí)，f(x)處連續(xù)、可導(dǎo).在點(diǎn)(0,1)處的切線方程和法線方程x2上哪一點(diǎn)的切線有下面的性質(zhì)(1) 平行于ox軸；(2) 與ox軸的正向構(gòu)

2、成45°角;(3)與拋物線上橫坐標(biāo)為x-i1,x23的兩點(diǎn)連線平行.求過(guò)原點(diǎn)且與曲線y證明:若在點(diǎn)Xi10、已知汽相切的直線方程.X0 處 f(x)可導(dǎo)，則 limXf(X0)X0f(x)X X0x X0f(Xo) Xof(Xo).a與y bln(1 2x)在x 1對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)處相切，求 a , b的一 一 1 211、一質(zhì)點(diǎn)以初速為v°向上作拋物運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為S S(t) v°tgt ( V0 >0為常數(shù)）（1）求質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度；（2）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為0;（3）求質(zhì)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)的速度.12、（ 1）求圓的面積變量S相對(duì)于半徑變量r的變化率

3、；（2）求圓的面積為1時(shí)，周長(zhǎng) 相對(duì)于變量r的變化率；（3） 求圓的面積為1時(shí)，面積變量相對(duì)于變量周長(zhǎng)的變化率.13、討論函數(shù)y sinx在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.14、 設(shè)y x x在x=0處可導(dǎo)，求 的取值范圍.15、證明：雙曲線xy a2上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積都等于2a2.16、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y2 x32x(2) yC X11)( x 1)J5；x(3)y2 xx 1(4) y2 x2x 1x3x(5)y(x3) ,6x(6) yx x x(7)yx(xa）（x b） （a ,b為正常數(shù)）(8) yxe17、求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y3xx5x 2 3e(

4、2) yln x 2 lg x log5 x(3)yln xx(4) y1 ln x(5)y2 tan x secx cos a（a為常數(shù)）(6)y3cosx ex(7) ysin xx(8)y1 si nt(9) yx ln x secx1 cost(10)y2l nx x3(11) y12“ 22 23ln x x1 x x(13)25x 3x 4x21(14)f(x) & 5二，求 f (0),f.(15)y=、 sin(xta nx 2cscx(17)10x 110x 1(18) y2secx1 x2(19)ln3cot x(20) yx2ax si nx e(21)f(x)

5、(1 x)(51-2),求fx(1), f (a).(22)(23)xarcta nx(24)x2 arcsinx33 x2(25)arcs in x arccosx(26)(28)(30)18(1)(3)(5)(7)(9)2cos xsin x cosxarcs in xarccosxn(x k)k 0求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=(2x+5)43x2y ay=ln(1 +x2)y=arcta n&)y=logacosx(27)(29)(10)(12)(14)y= loga(cscx-cotx)1ln x1ln xxn ln x(2) y=cos(4-3x)2(4) y=sinx(a>

6、0,a HI)(11)(13)2y=ln(x +x+ 1)y arcsin , x(15)2(8) y= tanx2y cos 3x e(6) y=、a2 xy=ln( secx+ta nx)1y=arccos-x(y= (arcsi n)22(17) y= 1 ln2 x(18)arcta n 代y= e(19) y=lnln(In x)(20)J1 x 41 / x_ zv'1 x(21) y=arcsin J _x 1 x(22)y=arctanJ/ x 1(23) y=sin .1 2x 2(24)y=l n(2-x+3-x+4-x)x1(25) y= 2 ln(sinx)(2

7、6)y=x、x2 a2 a2ln(xx2a2)(27)Vx2 2xy=3、x32(28)y = ln $V e 1(29)1 tan xy=si n ex(30)xy lntan cosx tan(ln x)2(31)x e y= arcta n()x(32)y=(arccos)2e-xx(33)y=se(?(ex +1)(34)y=ln(x sin . 1 x2 )(35)(36)cosxy=.cos2x(37)y= 1 cot(2x 1)19、求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y2 2xy+9=0(3)x+ yxy=e $(2)x3+y3 3xy=0(4)yy 1 xe(5)y=ta n(x+y)

8、(6)y sin x+cos(x-y)=0(7)xy yx (x>0,y>0)(8)(9)exey sin (xy)(10)sin(xy) + ln(y-x)=x,求 y(11)ln(x2+y2)=x+y 1,求 dy .(exey2xy 1(13) arctan ln x2y2x(14)y=x+ Iny(15) xsiny+y sinx=0(16)2cos(x +y)=x(18)y=exy+x(17)(19)(20).x2 y25arctanx(21)(22)sin(xy) ln x11，求 yy(24)x ,y 4x2y e2x= sinyx yx= e y(23) y 2x=

9、(x y)ln(x y)設(shè)y=y(x)是由方程1+sin(x+y)= e xy在(0, 0)點(diǎn)附近所確定的隱函數(shù),20、求y及y=y(x)在(0, 0)點(diǎn)處的法線方程利用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)xx y=-1 x(3)y= x 2(3 x)4(x 1)5(4)y= x sin x , 1 ex(5)x23y=C3 x.(3 x)2(6) y=(x 1)(x2) +xsinx(2x 3)(3x 4)(7)2 Xy=(x+ .1 x2 )(8)x cot_ y=(ta n2x) 2求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).(1)y=2x2+l nx(3)y=xcosx(4)2x-1y=e-t .丄y=e s

10、in t(5)y= a2 x2(6) y=ln(1-x2)(7)y=ta n x(9)2y=(1+x )arctan x(10)x e y= x2(11) y=xex(12)y=l n(1+ . 1x2 )若f"(x)存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1) y=f ( x2 )(2) y = f(sin2x)(3) y=f (Inx) Inx(4) y=lnf (x)23、求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1) y=tan(x+y)( 2)y x&=1,求 y"(0)(3) xy ex+y=0(4) 設(shè)y=f(x+y)，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于1.(5)

11、24、求下列函數(shù)的微分1L(1) y= - 2 xx(3)(7)(9)xy=x21y=x2e2xy=arcsin 一1 x2(2) y=x sin 2x(4) y=ln(1 -x)2(6) y=e-xcos(1-x)(8) y=tan2(1+2x2)1 x2y=arcta n 21 x(10) S=Asin( t )(A,是常數(shù))(11) y=lncosx In(x2 1)(13) y=xlnx25、求下列隱函數(shù)的微分.(1) xy+ey -x = 0(3) y=1 + sin x cosy26、利用微分求近似值.(1) cos 149°Q ii(12) y=cot、x 2 ln s

12、in . x(14) y= y=xy(4) y2+exy=x(2) 4 8027、當(dāng)丨x丨較小時(shí)，證明近似公式1 x.(B)/一、選擇題：1、在 充分” 必要” 充分必要”中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)是f(x)在點(diǎn)(1) f(x)在點(diǎn)X0可導(dǎo)是f(x)在X0處連接的 條件，f(x)在點(diǎn)X0連接X(jué)0可導(dǎo)的條件.(2) f / (x)在點(diǎn)X0的左導(dǎo)數(shù)f (X0)及右導(dǎo)數(shù)f (X0)都存在且相等是f (x)在點(diǎn)X0條件.2、設(shè) Xim0則(Xf(x)在x=0處不一定連續(xù)(B)3、(C)(D)f(x)在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)f(x)在x=0處可導(dǎo)，但f (x)在x=0處不連續(xù)f(x)在x=0處導(dǎo)函數(shù)

13、連續(xù)函數(shù)f (x) =cosVX2在點(diǎn)x=0處(A)不可導(dǎo)，且f (0),(B)不可導(dǎo)，且f (0),可導(dǎo)的(C)可導(dǎo)，且 f (0)=0,4、).(A) f(x) g(x)在X0處不可導(dǎo)(B)f (x)(g (x)0)在X0處不可導(dǎo)g(x)(C) g(x) f(x) (g(x)>0)在 X。處不可導(dǎo)(D)以上命題均不對(duì)1(D)可導(dǎo)，且 f (0)=-，2設(shè)f(x)在X0處可等，g(x)在X0處不可導(dǎo)，貝U下列命題正確的是(5、(B)若 f (x) g(x),則 f (x) >g (x)(C)如果 lim (f (x) g (x)0,則 lim (f (x)X X0x X0g(x)

14、 0(D)如果 f(X0)= g (x0), f (x) , g (x)在 X0 處可導(dǎo)且 lim 0,則 f (Xo)g(x°).X X0XXg6、F列命題正確的是(A)如果 lim f (x)=a ,貝U f (xo)=a ;X X)(B)如果lim f (x)不存在，則f(x)在點(diǎn)X0處不可導(dǎo); X X°(C)如果f在X0處存在，則f (x)在點(diǎn)X0處連續(xù);設(shè)g(x), f(x)均可導(dǎo)，下列命題正確的是(A)若 f (x)>g (x)，則 f(x) >g(x)(D)如果f (X)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)，則f(X)在該區(qū)間內(nèi)有界.7、設(shè)函數(shù) y=f(e-x),

15、 y=f(u)可微，則 dy=(A) f (e x)dx ;(D) - e-x f (e x)dx(C) f (e x) dx ;(B) e-x f (e x)dx;8、函數(shù)y= | sinx |在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)是(A) 0(B) 1(C)-1(D)不存在9、由方程y=x+ln(xy)所確定的曲線y=f(x),在點(diǎn)(2, 2)處的斜率(9(A) 94(B) 19) 5(D) 3ln(3 f(x)10、如果 lim -x 00，其中a是大于0的常數(shù)，則(A) limx 0f(x)存在且不為0;x(B) lim dj單存在且不為x 0 x '0；(C) limx 0匕單存在且不為0；x(

16、D) lim包勺存在且不為0. x 0 x2、綜合題3、設(shè) f(x)=ax esin2xX 0試問(wèn)當(dāng)a,b為何值時(shí)f (x)為可導(dǎo)函數(shù)，并寫出導(dǎo)函數(shù). x> 04、討論函數(shù)f(x)1e：2x5、設(shè)函數(shù)f(x)g(x)si n1x0在x=0處的可微性.00 ,g(o)存在，問(wèn)g(0), g (0)等于什么時(shí)，f(x)01、設(shè)f(x)在點(diǎn)X0的左、右導(dǎo)數(shù)都存在，證明f(x)在X0連續(xù).2、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim f(x)存在，證明在點(diǎn)x=0處可微.X 0 x在x=0處可微?6、試求由方程y= (y+x)x所確定的隱函數(shù)y=y(x),求 3dx設(shè)y ln(1 x2)，求乎,書,羋，牛,dx d(x2) d(x3) dx28、設(shè) y=x | x | ，求 y9、設(shè) f (xsin3y)=yex,其中 f 可微，求 dy.10、計(jì)算3 1.0098 (精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位)11、計(jì)算 037)： 1的近似值.(2.037)11 /12、設(shè) f(x) 2，求 f1 x帀),f(帀13、設(shè)f (xo)存在，求limn14設(shè)f(X)在x=0點(diǎn)連續(xù)'且 牛11 ).n f(X。) f(X0n(1)求f(0),問(wèn)f(x)在x=0點(diǎn)是否可導(dǎo).15、設(shè) f(0)=1, f (0) = 1,求極限(1) limfxLJx 2 x2