第十章曲線積分與曲面積分

1、(二)線面積分的計(jì)算方法1曲線積分的計(jì)算 基本方法：曲線積分轉(zhuǎn)化定積分第一類線積分：設(shè)f (x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為X-(t), y-'(t),，(: _t _(要解決1、積分限，2、被積函數(shù),3、弧微分)其中(t)；-(t)在.,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且'2(t)宀'2(t) =0,則Lf(x,y)ds= ；f(t)(t).,'2(t) '- '2(t)dt,(： : Jx - a cost2【例U 求 xeyds，其中L是由(a . 0)所表示的曲線上相應(yīng)于仁2Ly = asi nt33的一段弧解(法一)ds 二.a2

2、 sin2t a2 cos2 tdt = adt,2 二27：故原式二 y a cost easint adt 二 aeasint= 0.3 3(法二)容易看出積分弧段關(guān)于y軸對(duì)稱，而被積函數(shù)是關(guān)于變量x的奇函數(shù)，故xeyds 二 0【例2】 求(x+y)ds，其中L是以O(shè)(0,0), A(1,0), B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形(圖10.1)邊界解L(x y)ds 二 OA(x - y)ds AB(x y)ds 麗(x y)ds =_ xdx 亠 i 2dx 亠! ydy = 1、2I . x2 y2ds,式中L為圓周【例3】求2 2x y ax(a 0)解L的極坐標(biāo)方程為jir = acos

3、 (),2 2 Ttds = 、r2(寸)r (丁)2d)- ad -貝H l x2 y2ds 二 2 a cos丁 ad 丁 - 2a2【例4】求l (x2 y2)ds，其中L是曲線x =a(cost tsint),y = a(sin t -tcost),(0 t 乞2二，a _ 0)222222解 ds 二 a t cos t a t sin tdt = atdt，于是l(x2 y2)ds= 0 a2 (cost tsin t)2 a2(s in t-t cost)2 atdt2».3232=a t(1 +t )dt =2ira (1 +2兀)第二類線積分：設(shè)P(x, y),Q(

4、x, y)在有向曲線弧 L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為X = (t)，當(dāng)t單調(diào)地-； 時(shí)，(要解決1、積分限，2、被積函數(shù)，3、弧微分) .y J (t),點(diǎn)M (x, y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B，(t)1 (t)在以及 為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且'2(t)，2(t) = 0，則P''LP(x,y)dx Q(x,y)dy： P W- (t)(t) Q ：(t)(t)卜(t)dt 【例1】求勿dx -xdy，其中L是曲線y = In x上從點(diǎn)(1,0)到點(diǎn)(e,1)的一段弧.丄x1解 由 y = ln x得 dx 二 dy, x = ey，故xx= (y

5、21 1dx dyABC1例 刃求 ABCy-其中ABC如圖10.2所示原式=.02ydy0eydyx = xAB:,x:1-； 0,dy 二-dx,=1 _x解(法一)x 二xBC :,x:0-1,dy = dx畀=1 + xdx dyBC x |y=°dx (-dx).1 x (1-x)0 _x 1 x解(法二)因?yàn)?X + y =1,又 dx+dy =d(x + y),故 原式= (x+y)(40).(1,0) 一 一乙【例 3】 求。(x2 y2)dx (x2 y2)dy，其中 C為曲線 y =1 - 1 x , (0 乞 x 乞 2)解 當(dāng) 0 乞 x1 時(shí)，y=1-(1x

6、)=x，貝U dy=dx ；當(dāng) 1x 三2時(shí)，y =1(x1) = 2x，貝U dy - -dx ;1 2C (x2 y2)dx (x2 - y2)dy 二 °2x2dxx2 (2 - x)2-x2(2 x)2dx基本技巧 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算；【例1】 求仃（x y）2ds，其中L為圓周x2 y2二a2.2 + y )ds + 2 JLxyds解由對(duì)稱性得(X y)2ds 二 L(x2 2xy y2)ds =QL(x2【例 2】求 | 二 n【（x 1）2 （舟 1）2ds,其中 C:x2 y2 =1解利用對(duì)稱性I = j(x2 十學(xué))(x y)ds =l(x2工 5)ds44Cc(

7、x y)ds 二 0)2 2 2 2 屋寧寸）於¥=3115=n4 利用格林公式（注意：添加輔助線的技巧）；【定理10.1】 格林（Green）公式 設(shè)函數(shù)P（x, y）和Q（x, y）在分段光滑的閉曲線 L所圍 成的閉區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有FPi|7（-）dxdy= / Pdx+Qdy D ex cy上L其中L是D的正向邊界2x2222【例1】計(jì)算| e /x2ydx xy f Sin2y dy,其中L是x2 y a2,順時(shí)針?lè)较騆 xyxy2 2 2解將x y二a代入被積分式中，x2pdx 仔學(xué) dyL x yx y1 I_ . x2222=p (e _xydx+(xy

8、 -siny )dy計(jì)算對(duì)于坐標(biāo)的曲線積分第二種解法：利用格林公式求解，計(jì)算前必須使用代入技 巧，消去分母，否則工作量太大因?yàn)長(zhǎng)是反向的，所以使用格林公式是需要補(bǔ)加一個(gè) 負(fù)號(hào)a x2222P = e -x y,Q 二xy -siny ,-:Q ：:P22y x .:x；:y根據(jù)格林公式，原式 $! ! ix2 y2 da x2 y2 _a212 二.a 3二 -一r dra2 002嚴(yán)【例 2】計(jì)算Jx2 +y2dx + x + yln（x+Jx2 +y2 Jdy,2 2其中L是（x1） +（y1） =1的上半圓周 順時(shí)針?lè)较虿灰字苯佑?jì)算，應(yīng)該檢驗(yàn)-0.補(bǔ)充 AB: y =1,x 由 2 至

9、0, y原式=忙也BAB .然后利用格林公式.2 2Q 二 x yl nxx y血亠/6P =廠A：xx2 y2 :：y x2 y2:x:y補(bǔ)：AB : y =1,x 由 2 至 0,AB與L所圍成的區(qū)域記為 D.原式=|$L 4ABAB；廠卯x廠 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件【定理10.3】(積分與路徑無(wú)關(guān)的條件)設(shè)函數(shù) P(x,y)和Q(x, y)在單連通區(qū)域 D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列四個(gè)條件相互等價(jià)，即互為充要條件：(1) Pdx亠Qdy在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)；Lab在D內(nèi)存在一個(gè)函數(shù) u(x, y)，使du = Pdx - Qdy ,其中xyxyu(x,y)» P(x, y&

10、#176;)dxQ(x,y)dy»i P(x,y)dxQ(x°,y)dyxoyoxoyo(3)(x°, y°)為D內(nèi)任一取定的點(diǎn).Pdx Qdy = 0，其中L為D內(nèi)任一分段光滑的閉曲線(4)在D內(nèi)等式恒成立dy&【例 1】求 L(2xy3-y2cosx)dx (1-2ysinx 3x2y2)dy,其中 L為2兀2x xy從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)B(2,1)的一段弧解 P(x, y)=2xy -y cosx,Q(x, y) = 1-2ysin x 3x y衛(wèi)"xy2.x:y-2y cos x,故積分與路徑無(wú)關(guān)，選取折線路徑0(0,0)C(,

11、0) > B(,1)2-y2)妒 42 21兀兀2 213兀原式=-2ysin § 3(2)2y2dy 二.0(1-2y -2 2 2 2【例2】適當(dāng)選取a,b,使(y 2xy ax(兀2by)dy是某個(gè)函數(shù)址“的全微分,并求出u(x, y)解因?yàn)椋?Q _ 2 x3 3x2y (2b T)xy2 _ y3 :x(x2 y2)23223x (1 - 2a)x y -3xy - y/ 2 + r2(x y )CQ審令 匚，比較系數(shù)得a=1,b=1&cy2 2 2 2 (x,y)(y +2xyx)dx(x +2xy y)dy u(x, y)=(1,1)/2 丄 2、2(x

12、y )2x1 2x x(x2 1)2/ 2 2、2(x y )x2y2【例3】試確定可導(dǎo)函數(shù)(B)f (x)，使積分ex f (x) ydxf (x)dy與路徑無(wú)關(guān)，且求A, B(A)為(0,0),(1,1)時(shí)的積分值解 P =ex f (x) y, Q = _ f (x),衛(wèi)=- f (x), P 二 ex f (x)exdy令 衛(wèi) 二蘭，則有f (X) f (x) = -ex,解一階線性非齊次微分方程得 :x:y2xf(x) C),21 1 x代入 f(0) 得，C=1,即 f(x)=eex.當(dāng)A,B為(0,0),(1,1)時(shí)，積分為1)1 x1 x11e 1(e e)ydx_(e e )

13、dy 八 (e e)dy =©0)22°22 e【例4】 計(jì)算R xdy _ydj，其中l(wèi)為任意一條不通過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單光滑正向的封閉曲線Lll x2 +4y2-yxQ =2 2 2 2x 4y x 4y解.2 24y -xT2 2 (x 4y ).:P除去原點(diǎn)-:yO(0,0)以外一切點(diǎn)上式都成立當(dāng)曲線L的內(nèi)部不含原點(diǎn)時(shí)ry xdy ydx"如 即(L 2 1 2 = "(一丁)dxdy = “0dxdy = 0 LL x +4yd excyd當(dāng)曲線L的內(nèi)部含原點(diǎn)時(shí)，可在L的內(nèi)部做一個(gè)充分小的橢圓c: x二2a cost, y = a sin t，從 t

14、= 0到t = 2二.利用復(fù)連通域上的格林公式，有x 十4y x +4y 4a Lc4a22 iidxdy =4a2 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式【定理10.2】（兩類曲線積分之間的關(guān)系）l Pdx Qdy 二 L（Pcost，QcosF ）ds其中cos, - dx,cos = dy，:和一：表示曲線的切向量的方向角 dsds2曲面積分的計(jì)算基本方法：曲面積分轉(zhuǎn)化二重積分第一類面積分：當(dāng)曲面由方程z =z(x, y)給出，f(x,y,z)dS fx, y,z(x, y)fj z：(x,y) z：(x, y)dxdy，ZDxy(Dxy為v在xoy面上的投影區(qū)域)要解決 1曲面方程如z二z(x,

15、y)及投影區(qū)域Dxy,2、被積函數(shù) fx, y,z(x, y)，3、 面積微分+z：(x, y) +z：(x, y)dxdy)注：如果積分曲面 7由方程x=x(y, z)或y =y(z,x)給出，也可類似地把對(duì)面積的曲面積 分化為相應(yīng)的二重積分.【例U求11 2 z-x2- y2dS，其中匕為錐面z = x2 y2介于z = 0及z = 1之間的 Z部分.解 曲面匕在xoy坐標(biāo)平面上的投影為 Dxy: x2- 1.- xy故、2 z2 -x2 -y2dS Z=，2 (,x2 y2)2 -x2 -y2 . 1 (乙)2 (zy)2dxdy 以y二 2dxd y = 2 11 dxdyDxy_=2

16、 二=2 二【例2】求i.i xyzdS，匕為曲面x2 y2被平面z=1割下的部分I解 設(shè)二1表示二在第一卦限內(nèi)部分，則J xyz dS =4 JJxyzdS =4xy(x2 + y2) Ji + 4(x2 + y2)dxdyx2 y2 勺x _0,y _0cos-sin 盯2 +4rdr二2；"1 宀125、5 T420第二類面積分:P(x, y, z)dydz 二 Px(y, z), y, zdydz , 龍Dyz(其中v由方程x =x(y,z)給出前側(cè)取正，后側(cè)取負(fù))Q(x, y, z)dzdx 二 Qx, y(x, z), zdzdx, tDyz(其中由方程y =y(x,z)

17、給出右側(cè)取正，左側(cè)取負(fù))M R(x, y, z)dxdy ：十!Rx, y,z(x, y)dxdy，ZDyz(其中7由方程Z =z(x, y)給出上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù))【例1】求.1.1 -e dxdy，二為錐面z = x2 y2及平面z=1和z = 2所圍成的立體表面的 二 x2 y2'外側(cè)解設(shè)匸二和 *2 *3，其中 二：Z =2,x2 y2 乞4，匕 2：z X2 y2,1_z_2,2 23 ： z二1, x y 1在面上的投影分別為2 2 2 2 2 2D1 :x2y- 4,D2:1 乞X2y2 空 4,D3:x2y2乞 1ezdxdyezdxdy ' I Mdxdy =

18、e'dxdy ,.2 2""2 2 ""22 -221、xyT. xy s,xy% xy_ ff e2dxdy旳 dxdy rf_edxdy_f 2 丄H f 2 丄H2 丄2q ,x yd2-x yD3 x y2 2 二.2 1 2- . 2 r二 e d _rdr ( d 寸 edr) (_e 00 r01丫1 2dm 二 e2 2 2【例2】設(shè)-是橢球面一2 2 ' 2 - 1的外側(cè)a b c(a 0,b0,c0),求111Idydz dzdx dxdy xyz解 設(shè)N匸2是二的上半橢球面的上側(cè)和下半橢球面的下側(cè)，冷匸2在xoy面的

19、投影為1 _ 1 1 隊(duì)；dxdy 珂l；dxdy +嘰？dxdy2 if2dxdycx2a)dxx22y8 a0(a bc40dx022.：1 x. 一ydyba4二 abc1 . .4 二abc 1 . .4 二 abc冋理得dydz 2, dzdx =xayb21 1 1所以 I 二 4 - abc(abc基本技巧利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算；【例 1】求口 x2dydz y2dxdz z2dxdy,匕為球面(x - a)2 ( y - b)2(z -c)2 二 R2 的外側(cè).解 記:(a)2 (y -b)2 (z -c)2 乞 R2，利用 Gauss公式，有原式=2 ii i(x y

20、z)dxdydz，Q由重心坐標(biāo)(x, y, z) = (a,b,c)得8原式=2(a b c) 111 dxdydz (a b c)R Q3 利用高斯公式(注意公式使用條件，添加輔助面的技巧);【定理10. 5】高斯(Gauss)公式設(shè)空間閉區(qū)域I是由分片光滑的閉曲面 a所圍成，函數(shù)P(x, y,z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在1】上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有(蘭.衛(wèi)沢i；x .y .z+ 一)dxdydz = ff Pdydz +Qdzdx + Rdxdy,或(蘭衛(wèi)JR一)dxdydz =7( (Pcosa +QcosR + RcosY)dS,這里v是門(mén)的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，cos，cos :,cos 是v在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦【例1】 求| (x2 y2 z2)dydz，其中是球面x2內(nèi)側(cè)y +z )dydz= JJ a dydz = a dydzGauss公式 -a2x2 y2 za2Odxdydz = 0【例2】 求訂zdxdy ydzdx xdydz,其中是球面x2y2z2解由已知得 P二x, Q=y,