線性代數(shù)知識點歸納

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點第一部分行列式1. 排列的逆序數(shù)2. 行列式按行（列）展幵法則3. 行列式的性質(zhì)及行列式的計算 行列式的定義1. 行列式的計算:（定義法）ai1a2ita12a22ka1na2nt（1）川 1宀2|毘an1ann（降階法）行列式按行an2（列）展幵定理:行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.（化為三角型行列式）上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.若A與B都是方陣（不必同階）OOB=0 B(1)mn A B副對角a1na1 na2n 1a2n 1n(n 1

2、)(1)Fdna2nan1an1范德蒙德行列式：abbbaba b型公式：bbaIpphIiIIPbbbx12X1X22X2kn 1X2HIa (nXn2Xnn 1Xn1)b(aXXj1 j i nn 1b) （升階法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法 （遞推公式法）對n階行列式Dn找出Dn與Dni或Dn 1, Dn 2之間的一種關(guān)系 稱為遞推公式，其中Dn, Dm，Dn 2等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出D.的方法稱為遞推公式法（拆分法）把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性 質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以例計算（數(shù)學(xué)歸納法）n2. 對于n階行列式A

3、 ,恒有：E A n （ 1）kSk n k，其中Sk為k階主子式；k 13. 證明A 0的方法： 、A A ； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax 0,證明其有非零解； 、利用秩，證明r（A） n ； 、證明0是其特征值.4. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj （ 1）i jAijA； （ 1）i jMij第二部分矩陣1.矩陣的運算性質(zhì)2. 矩陣求逆3. 矩陣的秩的性質(zhì)4.矩陣方程的求解311312Sin1.矩陣的定義由m n個數(shù)排成的m行n列的表Aa2i113221afn 稱為m n11am1am2* |amn矩陣.記作：A aj m n或珞n同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等.矩陣相

4、等:兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等矩陣運算a. 矩陣加(減)法：兩個同型矩陣，對應(yīng)元素相加(減)b.數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣A的乘積記作 A或A，規(guī)定為A ( 3j).C.矩陣與矩陣相乘：設(shè)A (aj)ms, B (bj)sn,則C AB G)mn，其中不成立.0 或 B=0乘 ：注：矩陣乘法不滿足:交換律、消去律,即公式ABABBA0 Aa.AA11A，BBiiB22AB *A22 B22,AnAniA；2b. 用對角矩陣?yán)С艘粋€矩陣，相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的(行行向量；c. 用對角矩陣乘一個矩陣，相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的邈向量.d.兩個同階對角矩陣相乘只用把對角

5、線上的對應(yīng)元素相乘方陣的冪的性質(zhì)：AmAn Am n, (Am)n (A)mn矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣 A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作At .a.對稱矩陣和反對稱矩陣:A是對稱矩陣AAT .b.A是反對稱矩陣At.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:atbtCTdt伴隨矩陣：A* Aj TaiiA12IAn1An2Aj為| A中各個元素的代數(shù)余AnA2nIllAnn子式.* *AA A AAE,AnA1.分塊對BAAB/ 八 mn .(1) A B矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：AA AA |Ae (無條件恒成立)B/ 八 mn .(1) B A伴隨矩陣法 A1adbe主換

6、位 副川變號初等變換法(AE)I初等行變換(EA1)A1aiA1aia3a2a2as1a3a2asa2配方法或者待定系數(shù)法（逆矩陣的定義ABBA臺階3行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為 0;每個臺階只有一行,數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零當(dāng)非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所 在列的其他元素都是0時,稱為行最簡形矩陣4. 初等變換與初等矩陣對換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式rirj ( eiCj )ri k ( Ci k )rirjk ( qCjk)矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:對A施行一次初等(行行變換得到

7、的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣 財乘對A施行一次初等 變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣 冏乘A.注意：初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定：左乘為初等行矩陣、5.矩陣的秩關(guān)于A矩陣秩的描述：、r(A)r , A中有r階子式不為0, r 1階子式、r(A)r , A的r階子式全部為0;、r(A)r , A中存在r階子式不為0;右乘為初等列矩陣.(存在的話)全部為0 ；矩陣的秩的性質(zhì): A O r(A) > 1; Ar(A) 0; 0< r(Am)< min( m, n) r(A) r(AT) r(ATA)r(kA) r(A)其中 k 0若 Amn,Bns,若(AB) 0r

8、(A) r(B) nB的列向量全部是Ax0的解r(AB) < min r(A),r(B)若P、Q可逆,則 r(A)r(PA) r(AQ) r(PAQ)；即:可逆矩陣不影響矩陣的秩只有零解若 r(Am n) nAxr(AB) r(B)ABA 在矩陣乘法中有左消去律ABOAC若 r(Bn s) nr(AB) r(B)B在矩陣乘法中有右消去律.若（A）A與唯一的O O等價，稱O 0為矩陣A的等價 r(A B) < r(A) r(B),max r(A),r(B) < r(A, B) < r(A) r(B)r(A) r(B),r(A) r(B)求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法6

9、矩陣方程的解法（A 0）:設(shè)法化成（I） AX B 或（II） XA B第三部分線性方程組1. 向量組的線性表示2. 向量組的線性相關(guān)性3. 向量組的秩4. 向量空間5. 線性方程組的解的判定6. 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）（1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）（2）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）1.線性表示：對于給定向量組，1, 2,|, n,若存在一組數(shù)k1,k2|,kn使得 k1 1 k2 2 | kn n，則稱是1, 2,|, n的線性組合，或稱稱可由1, 2,|, n的線性表示線性表示的判別定理:可由1, 2,|, n的線性表示由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n

10、元線性方程:、an X1a12 X2a21 X1a22 X2a1n Xna2n Xnthb2有解、am1 Xaa21 am2xa：卅a1na2 nanm XXXbnb1b2Axamamnbm、aia2IIIX1X2an（全部按列分塊，其中Xnbn2.設(shè)Am n, Bn s,則 AB Cm sa? X2|、有解的充要條件:a1x1anXnr(A)（線性表出）r（A, ） n （ n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）A的列向量為1, 2,M1Pib12b22B的列向量為C1 , C2J , CsA i Ci，(i 1,2,|,s)bn102|bnsi為Axc的解C1,C2,川,Cs可由n線性表示.即：C的列向

11、量能由A的列向量線性表示,B為系數(shù)矩陣.同理：C的行向量能由B的行向量線性表示,A為系數(shù)矩陣.an2a11an1TTT,aa2d2 na1a2111ma22ma3.線性相關(guān)性定丈；給定向試糾4叭皿宀、如果存在不金為零的實 數(shù)島務(wù)宀使得疵殆+的十*雄/科二0 （零向量）則稱向疑組川是此性相矢的，否則稱它是我件無關(guān)的Cn 2 c1 a2n 2 C2IIIamn 2 Cm判別方法:法1向量組線性相關(guān)脾兀齊次線性方樨組Ax 0二）有非零解法2法3推論線關(guān)于向量組糾，心“設(shè)矩陣定理3向屋組瑪血力找件相關(guān)的充分必耍糾牛是該向量糾中至少占一個向輦可出其余向奮線件表示.也叫電電勺4空，戟門：兀大.|性相關(guān)性判

12、別法(歸納)線性相關(guān)性的性質(zhì) 零向量是任何向量的線性組合，零向量與任何同維實向量正交. 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān) 部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).(向量個數(shù)變動) 原向量組無關(guān)，接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān) ，原向量組相關(guān).數(shù)變動) 兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān) 向量組1, 2, n中任一向量i (1 < i < n)都是此向量組的線性組合 若1,2,n線性無關(guān)，而1,2, n,線性相關(guān),則可由1,2,且表示法唯一一4.最大無關(guān)組相關(guān)知識向量組的秩 向量組(向量維線性表示,最大光關(guān)組(1總：巧旳，迅戰(zhàn)性.七黃，(2) A

13、中桿一向辭都可由隔養(yǎng)匸則問甲細(xì).耳足向H爼.i的r 1 向呈空間的基設(shè)了為向鈦空間，若冇r個問暈嚀畋鼻聲氏丨1滿足 嚀峪心ifc性無關(guān);V屮任 向杲祁對山口I，養(yǎng)示則稱:向置組磯.“機(jī)稱為向Ufujr的一個抵基礎(chǔ)劃系盟沖次線性方農(nóng)組不三Q的 組解向址 弘務(wù) 博 満足 痔朽*齊線性無關(guān)；(2) Ax = 0的仃*解都可由蟲品，.3線性表示* 則稱帀，的*”鳴稱為.4x = Ofli個皐礎(chǔ)解耘1,2, n的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)， 稱為這個向量組的秩.記作 r( 1,2,|, n)矩陣等價| A經(jīng)過有限次初等變 換化為B .向量組等價可以相互線性表示. 記作：1，2，n1，2，n 矩陣的行向量組

14、的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù) 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行(列)向量間的線性關(guān)系 向量組1, 2, , s可由向量組1, 2, , n線性表示，且S n,則1, 2, , s線性 相關(guān).向量組1, 2, , s線性無關(guān)，且可由1, 2, , n線性表示，則S < n. 向量組1, 2, , s可由向量組1, 2, , n線性表示，且r( 1, 2, , s) r( 1, 2, , n),則兩向量組等價； 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價 .向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價. 向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定 若兩個線性無

15、關(guān)的向量組等價，則它們包含的向量個數(shù)相等. 設(shè)A是m n矩陣,若r(A) m , A的行向量線性無關(guān)；5. 線性方程組理論線性方程組的矩陣式Ax向量式X| 1X22 I" Xna11a12lCnX1b1jAa2111a2211la2nX2*,X14Ib21J1其中j:2j ,j1 2ll|,n1am1pam2 IK4amn1Xn1bmpmj(1)解得判別定理(2)線性方程組解的性質(zhì)：(1)1, 2 是 Ax的解,1 2也是它的解是Ax的解,對任意k,k也是它的解III，k是Ax的解,對任意k個常數(shù)1, 2'|,k,112 2k k也是它的解是Ax的解是其導(dǎo)出組Ax 的解是Ax

16、 的解1, 2 是 Ax的兩個解2是其導(dǎo)出組Ax 的解2是Ax的解,貝U1也是它的解12是其導(dǎo)出組Ax的解2,Hl'k是Ax的解，則1 12 2k k也是Ax的解12III k1 12 2k k是Ax 0的解12卅k0判斷1,2, HI，s是Ax的基礎(chǔ)解系的條件：1s線性無關(guān)；1,2i,s都是Ax 的解；1sn r (A)每個解向量中自由未知量的個數(shù)求非齊次線性方程組 Ax = b的通解的步驟(5)其他性質(zhì)一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一V若 是Ax 的一個解，1, J, s是Ax的一個解1，| s,線性無關(guān)AV Ax 與Bx 同解(A, B列向量個數(shù)相同)r r(A) r(B),且

17、有結(jié)果:B 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng)，從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系V矩陣Amn與Bl n的行向量組等價齊次方程組Ax 與Bx 同解 PA B(左乘可逆矩陣P );第四部分方陣的特征值及特征向量1. 施密特正交化過程2. 特征值、特征向量的性質(zhì)及計算3. 矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化1.標(biāo)準(zhǔn)正交基 n個n維線性無關(guān)的向量，兩兩正交，每個向量長度為1.向量aj,a2,an T與34,bn T的內(nèi)積n(,) abJabazd|a.*i 1n.(,)a2.a2 a；川 a；i 1和n維非零列向量x,使得與正交（，）0. 記為:是單位向量1 1

18、 J（ , ）1.即長度為1的向量2.內(nèi)積的性質(zhì)：正定性：（，）0,且（，）0對稱性：（，）（，）線性性：(12, ) ( 1, ) ( 2,向量S1,a2J|,an T的長度3.設(shè)A是一個n階方陣，若存在數(shù)Ax x，則稱是方陣A的一個特征值，x為方陣A的對應(yīng)于特征值 的一個特征向里.A的特征矩可E A 0 （或A E 0）.A的特征多項石 | E A （）（或|A E|（） （）是矩陣A的特征多項式（A） O12tr A，tr A稱為矩陣A的跡. 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n各元素.若A 0,則0為A的特征值，且Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0的線性無關(guān)的特征向量. r(A)

19、 1A 一定可分解ai? d,b2，|，bnan2A(印a2b2111anbn)A,從而A的特征值為：1 tr Aaa?b2 川and.IIIn 0.T為A各行的公比，b!,b2,|,bn為A各列的公比.若A的全部特征值1, 2,川，n ,f(A)是多項式,則:若A滿足f(A)OA的任何一個特征值必滿足 f( i) 0 f(A)的全部特征值為 f( i), f( 2),|, f( n)；f(A) f( i)f( 2)|f( n).A與At有相同的特征值，但特征向量不一定相同4. 特征值與特征向量的求法(1) 寫出矩陣A的特征方程|AE| 0,求出特征值i.(2) 根據(jù)(A iE)x 0得到A對

20、應(yīng)于特征值i的特征向量.設(shè)(A iE)x 0的基礎(chǔ)解系為 1, 2,|nr其中ri r(A iE). 則A對應(yīng)于特征值i的全部特征向量為k1 1 k2 2川kn ri n ri , 其中k1,k2,|,kn斤為任意不全為零的數(shù).5. |a與B相似|P 1AP B ( P為可逆矩陣)A與B正交相似| P 1AP B ( P為正交矩陣)A可以相似對A與對角陣相似.(稱 是A的相似標(biāo)準(zhǔn)形)6. 相似矩陣的性質(zhì)： E A E B ,從而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同(注注是A關(guān)于°的特征向量，P 1是B關(guān)于°的特征向 量. tr A tr B A |B 從而A, B同時

21、可逆或不可逆 r(A) r(B) 若A與B相似，則A的多項式f (A)與B的多項式f(A)相似.7. 矩陣對角化的判定方法 n階矩陣A可對角化(即相似于對角陣)的充分必要條件是 A有n個線性無 關(guān)的特征向量.這時，P為A的特征向量拼成的矩陣，P 1AP為對角陣，主對角線上的元素為 A 的特征值.設(shè)i為對應(yīng)于i的線性無關(guān)的特征向量，則有：112P 1AP2 n A可相似對角化n r( iE A) K，其中匕為i的重數(shù) A恰有n個線性無關(guān)的特征向量.® :當(dāng)i 0為A的重的特征值時，A可相似對角化 i的重數(shù) n r(A) Ax基礎(chǔ)解系的個數(shù). 若n階矩陣A有n個互異的特征值A(chǔ)可相似對角化

22、.8. 實對稱矩陣的性質(zhì): 特征值全是實數(shù)，特征向量是實向量; 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 一定有n個線性無關(guān)的特征向量.若A有重的特征值，該特征值i的重數(shù) =n r（ iE A）； 必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形; 與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形; 兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值9.正交矩陣 aA E正交矩陣的性質(zhì)： at a 1 ； aA ata e ； 正交陣的行列式等于1或-1 ； A是正交陣，則At，A 1也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣； A的行（列）向量都

23、是單位正交向量組10.11.求正交矩陣:T把實對稱矩陣化為對角陣的方法：特 r解特征方程|.4=規(guī)求出對稱陣A的全部不同的特征值入.血.二2. 對每個特征值兄嚴(yán)求出對應(yīng)的特征向量，即求齊次線性方程組（丿-= 0的皐礎(chǔ)解駄3. 將屬于每個人 的特征向最先正交化，再單位化。這樣共町得到«個兩兩正交的單位特征向量4. 以%" 外 為列向量構(gòu)成正交矩陣丁二（莎嚴(yán), 有 z Ur = A單位化:23技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量第四部分二次型1. 二次型及其矩陣形式2. 二次型向標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化的三種方

24、式3. 正定矩陣的判定1.二次型11a12| BnX|n nqXjXj(X1,X2|,Xn)1 j 1a21a22a2nX2lbHlIIIan1an2annXnf (%2, |,Xn)其中A為對稱矩陣，x (x1,x2|,xn)TxtAxA與B合同CTAC B .(代B為實對稱矩陣，C為可逆矩陣)正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)p負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項項數(shù)r p符號差2p r ( r為二次型的秩) 兩個矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等 兩個矩陣合同的充分條件是：A與B等價 兩個矩陣合同的必要條件是：r(A) r(B)/正交變換2. f (x1,x2|, xn) xT Ax經(jīng)過(合同變換x Cy化為fdiyi2標(biāo)準(zhǔn)形.可逆線性變換1正交變換法用正