2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的基本概念及其運(yùn)算

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的基本概念及其運(yùn)算一、目標(biāo)要求：(1)復(fù)數(shù)的概念的發(fā)展和有關(guān)概念(實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù))；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與向量表示。(2)掌握復(fù)數(shù)的表示方法。(3 掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，能正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算(復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法與減法， 乘法與 除法)二、思想方法(1)化歸思想一將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化。(2)方程思想一利用復(fù)數(shù)及其相等的有關(guān)充要條件，建立相應(yīng)的方程，轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)問(wèn)題。三、教學(xué)進(jìn)程1。 引人：實(shí)數(shù)的局限性，比如說(shuō)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)-2 沒(méi)有平方根，那么-2 真的沒(méi)有平方根 嗎？2.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)：(1) i 稱為虛數(shù)單位，規(guī)定，形如 a+bi 的數(shù)稱為復(fù)數(shù)

2、，其中 a，b R.(2) 復(fù)數(shù)的分類(下面的 a，b 均為實(shí)數(shù))r r實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)J有理數(shù)一一循環(huán)小數(shù)有理數(shù)一一循環(huán)小數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)l(b = 0)( (無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)一一一一無(wú)限不循環(huán)小數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)a + bi虛數(shù)虛數(shù)J純虛數(shù)純虛數(shù)( (覆覆= =0)( (非非純虛數(shù)心工純虛數(shù)心工0)(3) 復(fù)數(shù)的相等設(shè)復(fù)數(shù) 乙=3+厲，Z2 =a2+b2i(a1,b,a2,b2 R)，那么的充要條件是：.特別：特別：z = a + bi a = b = O.復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù) z=a+bi (a，b R)可用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn) Z(a，b)來(lái)表示.這 時(shí)稱此平面為復(fù)平面，x 軸稱為實(shí)軸，y 軸除去原點(diǎn)稱為虛軸

3、.這樣，全體復(fù)數(shù)集 C 與復(fù)平面 上全體點(diǎn)集是一一對(duì)應(yīng)的.共輒復(fù)數(shù)共輒復(fù)數(shù)覆小覆小淋為復(fù)淋為復(fù)數(shù)數(shù)*的共範(fàn)復(fù)數(shù)，記為耳那么詢丘的共範(fàn)復(fù)數(shù)，記為耳那么詢丘 對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)關(guān)于實(shí)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱軸對(duì)稱. .且且+ z = 2a, z - z = 2bi j zz-a2+b2r二豆二豆 o o 衣衣R復(fù)數(shù) z=a+bi .在復(fù)平面內(nèi)還可以用以原點(diǎn) 0 為起點(diǎn)，以點(diǎn) Z(a，b)敝點(diǎn)的敝點(diǎn)的向量丘來(lái)表示向量丘來(lái)表示. .復(fù)數(shù)集併腹平面內(nèi)所有購(gòu)復(fù)數(shù)集併腹平面內(nèi)所有購(gòu)點(diǎn)旎點(diǎn)點(diǎn)旎點(diǎn)的所有的所有向量所成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的(例外的是復(fù)數(shù) 0 對(duì)應(yīng)點(diǎn) 0,看成零向量).(6)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不同處：1任

4、意兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)中至少有一個(gè)不是實(shí)數(shù)時(shí)就不能比較大 小.2實(shí)數(shù)對(duì)于四則運(yùn)算是通行無(wú)阻的，但不是任何實(shí)數(shù)都可以開偶次方.而復(fù)數(shù)對(duì)四則運(yùn) 算和開方均通行無(wú)阻.3.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算(1)i=1 , i=i , i=1 , i=i ；(2)i i i i=1 , i + i + i + i=0 ；5 乙=a bi, z2= c di a, b, c, d R ,乙 _z2二 a _c 亠 ib _d i;z1tz2= ac -bd 廠 ibc ad i ;特 若 z=a bia, b R，貝 U zz = z =a2b2;乙 _ a+bi _ (a+bi c-di ) _ ac+

5、bd be-adz2c + di(c + dcdi) c2+d2c2+d2 2四、典型例題分析2【例【例1】實(shí)數(shù)碑何實(shí)數(shù)碑何值時(shí)，值時(shí)，復(fù)廳二復(fù)廳二mf+(m：+血血+ +6)1是是m + 3實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)第三象限？解：解：曲實(shí)部為曲實(shí)部為m+1VJ虛部為虛部為m2+5m + 6m + 3復(fù)數(shù) z 是實(shí)數(shù)的充要條件是：(m2+5m + 6 = 0(m = -2代m = -3i ,O二= -2m + ?護(hù)0(mH - 3當(dāng) vm= 2 時(shí)復(fù)數(shù) z 為實(shí)數(shù).復(fù)數(shù) z 是虛數(shù)的充要條件：fm + 370-3，-,m2+5m + 6#0弄-3且m弄-2當(dāng) 3 且 nn 2 時(shí)復(fù)

6、數(shù) z 為虛數(shù)3復(fù)數(shù) z 是純虛數(shù)的充要條件是：_- = o(m =或血=1且m弄-3m2；+ 6護(hù)0。雋且砌-3】當(dāng) m= 1 時(shí)復(fù)數(shù) z 為純虛數(shù).【說(shuō)明】要注意復(fù)數(shù) z 實(shí)部的定義域是 葉 3,它是考慮復(fù)數(shù) z 是實(shí)數(shù)，虛數(shù)純虛數(shù)的必要條件.要特別注意復(fù)數(shù) z= a+bi(a , b R)為純虛數(shù)的充要條件是 a= 0 且 b0.* +3i例 2 (1).若X R,/R，則X二_(2).復(fù)數(shù) a+bi 與 c+di (a, b, c, dR)的積是純虛數(shù)的充要條件是()(2 )1+i+3+100011(2 )= i+2-i-(-i)=2+1【說(shuō)明】計(jì)算時(shí)要注意提取公因式，要注意利用 i

7、的幕的周期性,法 1 :原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i設(shè) S = 1+2i+3+ +1000,則 iS = i+2+3+ +999+1000,=1+i+ +1000法 2:(1i)S :1D00 =-1000 = 40001-1-1000二 S= = -500 -500；【說(shuō)明】 充分利用 i 的幕的周期性進(jìn)行組合，注意利用等比數(shù)列求和的方法. 例5（xx 上海市普通高校春季高考數(shù)學(xué)試卷 18）已知實(shí)數(shù)滿足不等式，試判斷方程有無(wú)實(shí)根，并給出證明.【解】由，解得，.方程的判別式.,由此得方程無(wú)實(shí)根.A. B.

8、C.ac-bd=O 且 ad be= 0D.ae - bd 二 0 且 ad be 0（3）已知z = m 3 3. 3i，其中 m C,且一_3為純虛數(shù)m -3求 m 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡.例3.設(shè)復(fù)數(shù)z；：i，若-a ,求實(shí)數(shù)的值.例 4:計(jì)算:22一2 32 i15-1 2 3iA. 0i 是純虛數(shù) B.原點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)直角坐標(biāo)系的實(shí)軸與虛軸的公共點(diǎn)I4、下列命題中：(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；(2)若 z=a+bi,則當(dāng)且僅當(dāng) a= 0 且 0 時(shí),z 為純虛數(shù)；22口(3) (z1-Z2)+(Z2-Z3)=0 貝UZl=Z2=Z3；x+yi=1+i2019-2020年高中數(shù)學(xué)子集、全集、補(bǔ)集

9、教案1(1)教學(xué)目標(biāo)：理解子集、真子集概念，會(huì)判斷和證明兩個(gè)集合包含關(guān)系，會(huì)判斷簡(jiǎn)單集合的相 等關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)：子集的概念，真子集的概念教學(xué)難點(diǎn)：元素與子集，屬于與包含間的區(qū)別；描述法給定集合的運(yùn)算.課 型：新授課教學(xué)手段：講、議結(jié)合法教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境在研究數(shù)的時(shí)候，通常都要考慮數(shù)與數(shù)之間的相等與不相等(大于或小于)關(guān)系，而對(duì) 于集合而言，類似的關(guān)系就是“包含”與“相等”關(guān)系二、活動(dòng)嘗試1 .回答概念：集合、元素、有限集、無(wú)限集、空集、列舉法、描述法、文氏圖2 .用列舉法表示下列集合： -1 ，1, 2數(shù)字和為 5 的兩位數(shù)14，23，32，41，503.用描述法表示集合：4 .用列舉法表

10、示：“與 2 相差 3 的所有整數(shù)所組成的集合” =-1，55 .問(wèn)題：觀察下列兩組集合，說(shuō)出集合 A 與集合 B 的關(guān)系(共性)(1)A=-1，1，B=-1，0, 1, 2(2)A=N B=R(3)A=為北京人，B= 為中國(guó)人A=，B= 0(集合 A 中的任何一個(gè)元素都是集合 B 的元素)三、師生探究通過(guò)觀察上述集合間具有如下特殊性(1)集合 A 的元素-1，1 同時(shí)是集合 B 的元素.集合 A 中所有元素，都是集合 B 的元素.C.實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是實(shí)數(shù),2、 下列命題中，假命題是()A .兩個(gè)復(fù)數(shù)不可以比較大小C .兩個(gè)虛數(shù)不可以比較大小3、復(fù)數(shù)1+i+等于(A .i虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定

11、是虛數(shù)D .是虛數(shù).兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小.一虛數(shù)和一實(shí)數(shù)不可以比較大小D . 2i(3) 集合 A 中所有元素都是集合 B 的元素.(4) A 中沒(méi)有元素， 而 B 中含有一個(gè)元素 0,自然 A 中“元素”也是 B 中元素. 由上述特殊性可得其一般性，即集合 A 都是集合 B 的一部分.從而有下述結(jié)論四、數(shù)學(xué)理論1. 子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合 A 與 B,如果集合 A 中的任何一個(gè)元素都是集合 B 的元素， 我們就說(shuō)集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A 記作 AB (或 BA,這時(shí)我們也說(shuō)集合 A 是集合 B 的子集.請(qǐng)同學(xué)們各自舉兩個(gè)例子，互相交換看法，驗(yàn)證所舉例子是否符

12、合定義2.真子集：對(duì)于兩個(gè)集合 A 與 B,如果，并且，我們就說(shuō)集合 A 是集合 B 的真子集，記作： AB或 BA,讀作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A這應(yīng)理解為：若 AB,且存在 b B,但 bA,稱 A 是 B 的真子集. 注意：子集與真子集符號(hào)的方向3當(dāng)集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 時(shí)，貝 U 記作 AB(或 BA 如: A= 2 , 4, B=3 , 5, 7，則 AB.4說(shuō)明(1) 空集是任何集合的子集 A(2)空集是任何非空集合的真子集 A 若 AM，則A(3) 任何一個(gè)集合是它本身的子集(4) 易混符號(hào)“”與“”：元素與集合之間是屬于關(guān)系；集合與

13、集合之間是包含關(guān)系如R, 11 , 2, 30與：0是含有一個(gè)元素 0 的集合，是不含任何元素的女口0不能寫成=0, 0五、鞏固運(yùn)用例 1 (1)寫出 N,乙乙Q R 的包含關(guān)系，并用文氏圖表示(2)判斷下列寫法是否正確AAAA解(1)： NZQR(2)正確；錯(cuò)誤，因?yàn)?A 可能是空集；正確；錯(cuò)誤；思考 1:與能否同時(shí)成立？結(jié)論：如果 AB,同時(shí) BA 那么 A= B.如：a, b,c, d與b,c, d , a相等；2 , 3 , 4與3 , 4 , 2相等；2 , 3與3 ,2相等.問(wèn)：A= x |x= 2mH1, Z , B= x | x= 2n 1 , n Z. (A=E)稍微復(fù)雜的式

14、子特別是用描述法給出的要認(rèn)真分辨思考 2:若 AB, BC 則 AC?真子集關(guān)系也具有傳遞性若 AB, BC,則 AC.例 2 寫出a、b的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.分析：尋求子集、真子集主要依據(jù)是定義解：依定義：a , b的所有子集是、a、b、a , b,其中真子集有、a、b. 變式：寫出集合1 , 2 , 3的所有子集解:、2、3、1 , 2、1 , 3、2 , 3、1 , 2 , 3QR猜想：(1)集合a,b,c,d的所有子集的個(gè)數(shù)是多少？()(2)集合的所有子集的個(gè)數(shù)是多少？()注：如果一個(gè)集合的元素有 n 個(gè)，那么這個(gè)集合的子集有 2n個(gè)，真子集有 2n- 1 個(gè).六、回

15、顧反思1 概念：子集、集合相等、真子集2 性質(zhì)：(1)空集是任何集合的子集 A(2) 空集是任何非空集合的真子集 A ( AM)(3) 任何一個(gè)集合是它本身的子集(4) 含 n 個(gè)元素的集合的子集數(shù)為；非空子集數(shù)為；真子集數(shù)為；非空真子集數(shù)為七、課外練習(xí)1. 下列各題中，指出關(guān)系式 AB AB AB AB A= B 中哪些成立：A=1 , 3, 5, 7 , B=3 , 5, 7.解：因 B 中每一個(gè)元素都是 A 的元素，而 A 中每一個(gè)元素不一定都是 B 的元素， 故 AB 及 AB成立.(2)A=1 , 2, 4, 8 , B=x | x 是 8 的約數(shù).解：因 x 是 8 的約數(shù)，貝 U

16、 x: 1, 2, 4, 8那么集合 A 的元素都是集合 B 的元素， 集合 B 的元素也都是集合 A 的元素， 故心B. 式子 AB ABA= B 成立.2.判斷下列式子是否正確，并說(shuō)明理由.(1) 2 x | x 10解：不正確.因數(shù) 2 不是集合，也就不會(huì)是x | x 10的子集.(2) 2 x | x 10解：正確.因數(shù) 2 是集合x | x 10中數(shù).故可用.2 x | x 10 解：正確.因2是x | x 10的真子集.(4) x | x 10解：不正確.因?yàn)槭羌?，不是集合x | x 10的元素.(5) x | x 10解：不正確.因?yàn)槭侨魏畏强占系恼孀蛹? x | x 3, B= x | 4x +0,當(dāng) AB 時(shí)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.分析：該題中集合運(yùn)用描述法給出，集合的元素是無(wú)限的，要準(zhǔn)確判斷兩集合間關(guān)系 需用數(shù)形結(jié)合.解：將 A 及 B 兩集合在數(shù)軸上表示出來(lái)要使 AB,則 B 中的元素必須都是 A 中元素 即 B 中元素必須都位于陰影部分內(nèi)那么由 XV 2 或 x3 及 xv知 8故實(shí)數(shù) m 取值范圍是 m 8 5滿足的集合有多少個(gè) ? 解析: 由可知 , 集合必為非空集