橢圓的熱點問題(一)

1、橢圓的熱點問題（一）一 離心率橢圓的第二定義：到一個定點F和到一條定直線L（F不在定直線L上）的距離之比是一個常數(shù)e（）的點的軌跡是橢圓，這個常數(shù)e就稱為離心率。 橢圓的離心率e決定了它們的形狀特征：e越接近1，則c越接近，從而越小，橢圓越扁；e越接近0，這時橢圓就越接近于圓。求橢圓離心率或其范圍是這一部分的重點題型，也是全國各省高考的熱點。下面從幾個方面淺談如何確定橢圓離心率e的值或范圍。求離心率的關鍵是列出一個與a,b,c,e有關的等式或不等關系.在此,要活用橢圓的特征三角形.常用方法如下： .利用定義。橢圓的第二定義是與離心率密不可分的,在題目中挖掘這隱含信息有助于解題.利用橢圓的變量范

2、圍。橢圓中變量的變化范圍對離心率的影響是直接的,充分利用這一點，可優(yōu)化解題.利用直線與曲線的位置關系。根據(jù)題意找出直線與曲線相對的位置關系，列出相關元素的不等式，可迅速解題.利用點與曲線的位置關系。根據(jù)某點在曲線的內部或外部，列出不等式，再求范圍，是一個重要的解題途徑5.聯(lián)立方程組。如果有兩曲線相交，將兩個方程聯(lián)立，解出交點，再利用范圍，列出不等式并求其解6.三角函數(shù)的有界性。用三角知識建立等量關系，再利用三角函數(shù)的有界性，列出不等式易解7.用根的判別式根據(jù)條件建立與、相關的一元二次方程，再用根的判別式列出不等式，可得簡解8.構造關于e的方程求解. 9.數(shù)形結合法：解析幾何和平面幾何都是研究圖

3、形性質的，只不過平面幾何只限于研究直線形和圓。因此，在題設條件中有關圓、直線的問題，或題目中構造出直線形與圓，可以利用平面幾何的性質簡化計算。（一） 橢圓離心率的值的求法舉例：例 1、點P（-3，1）在橢圓（）的左準線上，過點且方向為的光線，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（ ）A B C D 解：由題意知，入射光線為，關于的反射光線（對稱關系）為，則解得，則，故選A例2、與底面成角的平面截圓柱側面得一橢圓截線，則該橢圓的離心率為（ ） A B C D 以上都不是解：橢圓的短軸長為圓柱底面圓的直徑。弄清了這一概念，考慮到橢圓所在平面與底面成角，則離心率 ； 故選A變式練習1：

4、設橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：例3：已知橢圓，F(xiàn)1,F2是橢圓左右兩個焦點，以F1F2 為邊做正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，求橢圓離心率。（）變式練習1：已知橢圓，A是左頂點，F(xiàn)是橢圓右焦點，B是短軸的一個頂點，求橢圓離心率。 （）變式練習2：如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、D為一橢圓的兩個焦點，其余四個頂點B、C、E、F均在橢圓上，求橢圓的離心率 （ ）解：以AD所在直線為X軸，AD中點為坐標原點建立坐標系。設正六邊形的邊長為r，則橢圓的半焦距，易知AOF為等邊三角形，F(xiàn)（，代入橢圓方程中，得：，即：，又法二

5、：如圖，連結AE，易知，設，由橢圓定義，有：，例4：已知橢圓的兩焦點為F1(-c,0),F2(c,0),P是以為直徑的圓與橢圓的一個交點，且=5，求橢圓離心率e。 解：為直徑的圓與橢圓的一個交點，+=又=5 =，= 設： 由正弦定理可得： 又 把代入得： 又 把代入得：例5、橢圓過左焦點F1且傾斜角為的直線交橢圓于A,B兩點，若，求橢圓離心率e。解：設L為橢圓的準線，分別過A、B作L , L于 ,過B作BM于M，設則 直線AB的傾斜角為。ABM= AM=又由橢圓的第二定義知： 例6：橢圓的左焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與橢圓交于A、B兩點且F分的比為，求橢圓的離心率e。解：如圖：過A、B

6、兩點分別作橢圓準線的垂線，垂足分別是,過B作的垂線，垂足為M，有題意可設直線AB的傾斜角為， 變式訓練1：過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為 答案變式訓:2：如圖，在平面直角坐標系xOy中，分別是橢圓的左、右焦點，頂點B的坐標為，連結并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結（1）若點C的坐標為，且，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓離心率e的值解析：（1），橢圓方程為（2）設焦點關于x軸對稱，三點共線，即，即聯(lián)立方程組，解得 C在橢圓上，化簡得，, 故離心率為（二）橢圓離心率的范圍的求法舉例：例1:已知橢圓的方程，F(xiàn)1,F2是橢圓的兩個焦點，P是

7、橢圓上的一點若，求橢圓離心率的取值范圍。解：設：由余弦定理得： 又 橢圓離心率的取值范圍變式練習：已知F1,F2是橢圓的兩個焦點，若滿足的點總在橢圓的內部，求橢圓離心率的取值范圍； 例2：已知橢圓的兩焦點為F1(-c,0),F2(c,0),P是直線上的一點，的垂直平分線恰過點，求橢圓離心率的取值范圍。解：設是的中點，MN于M，則M點 的橫坐標為 ，的橫坐標為 即橢圓離心率的取值范圍是例6已知A、B是橢圓長軸的兩個端點，如果橢圓上存在一點Q，使AQB=120°，求橢圓離心率的取值范圍.解：設AQB=，Q（m，n）由橢圓的對稱性，只用考慮的情況因為點Q在橢圓上，所以 又而把式代入上式消去

8、m，并整理得： 把代入并解出得： 把代入并整理得又 即橢圓離心率的取值范圍是。另解：因為橢圓上存在點Q使得AQB=120°所以把代入即得橢圓離心率的取值范圍是例7：橢圓中心在原點，焦點在x軸上，若存在過橢圓左焦點的直線交橢圓于P、Q兩點，使得OPOQ，則橢圓離心率的取值范圍為 解：設橢圓方程為，F(xiàn)(c，0)，c直線l的方程為xkycP(x1，y1)，Q(x2，y2)x1x2k2y1y2kc(y1y2)c2OPOQx1x2y1y20k2k20，2a2c2a2b202c2a2c203e2a2e2又e1橢圓的離心率取值范圍是。例8：橢圓上有點 ，使得OPA=90°（點A是橢圓的右

9、端點）, 求橢圓的離心率的取值范圍.解：因為，所以 即.由得： 分解因式得有一個根此時和A點重合，舍去。所以，這就是點P的橫坐標. 所以， 把代入并解得。因此橢圓的離心率的取值范圍是例9：已知橢圓C：1（ab0），兩個焦點分別為F1和F2，斜率為k的直線l過右焦點F2且與橢圓交于A、B兩點，設l與y軸交點為P，線段PF2的中點恰為B. 若k，求橢圓C的離心率的取值范圍；解：設右焦點F2（c，0），則l：y=k（xc）.令x=0，則y=ck，P（0，ck）.B為F2P的中點，B（，）.B在橢圓上，1.k2·（1）（4e2）e25.k，e25.（5e24）（e25）0.e21.e1變式訓

10、練：已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）A. B. C.3 D.2 答案：A二 定值問題例1橢圓1(ab0)與直線xy10相交于P，Q兩點，且OPOQ(O為原點)(1)求證：等于定值；(2)若橢圓的離心率e，求橢圓長軸長的取值范圍(1)證明：由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，直線與橢圓有兩個交點，0，即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1 、x2是方程的兩實根x1x2，x1x2.由OPOQ得x1x2y1y20，又y11x

11、1，y21x2，得2x1x2(x1x2)10.式代入式化簡得a2b22a2b2.2.(2)解利用(1)的結論，將a表示為e的函數(shù)由eb2a2a2e2，代入式，得2e22a2(1e2)0.a2.e，a2.a0，a.長軸長的取值范圍是，例2：已知橢圓1(a0，b0)的左焦點F為圓x2y22x0的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為1. (1)求橢圓方程；(2)已知經(jīng)過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，點M，證明：·為定值解(1)化圓的標準方程為(x1)2y21，則圓心為(1,0)，半徑r1，所以橢圓的半焦距c1.又橢圓上的點到點F的距離最小值為1，所以ac1，即a.故所求橢圓的

12、方程為y21.(2)當直線l與x軸垂直時，l的方程為x1.可求得A，B.此時，··.當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x1)，由得(12k2)x24k2x2k220，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.因為··y1y2x1x2(x1x2)2k(x11)·k(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)·k22.所以，·為定值，且定值為.變式訓練1.若AB是過橢圓1(ab0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM、BM與兩坐標軸均不平行，kAM，kBM分別表示直線AM，BM的斜率，

13、則kAM·kBM（ ）A B C D解析法一(直接法)：設A(x1，y1)，M(x0，y0)，則B(x1，y1)，kAM·kBM· .法二(特殊值法)：因為四個選項為定值，取A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM. 答案B變式訓練2（13山東（理）橢圓的左、右焦點分別是,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.()求橢圓的方程; ()點是橢圓上除長軸端點外的任一點,連接,設的角平分線交 的長軸于點,求的取值范圍;()在()的條件下,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這個定值. 解:()由于,將代入橢圓方程得 由題意知,即 又 所以, 所以橢圓方程為 ()由題意可知:=,=,設其中,將向量坐標代入并化簡得:m(,因為, 所以,而,所以 (3)由題意可知,l為橢圓的在p點處的切線,由導數(shù)法可求得,切線方程為: ,所以,而,代入中得 為定值. 例3.（12江蘇）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值解：（1）由題設知，由點在橢圓上，得，