浙江省2016屆高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題七計(jì)數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學(xué)歸納法過關(guān)提升理

1、1專題七專題七計(jì)數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學(xué)歸納法計(jì)數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學(xué)歸納法專題過關(guān)提升卷第卷(選擇題)一、選擇題1用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0 至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A方程x3axb0 沒有實(shí)根B方程x3axb0 至多有一個(gè)實(shí)根C方程x3axb0 至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x3axb0 恰好有兩個(gè)實(shí)根2.z是z的共軛復(fù)數(shù)，若zz2，(zz)i2(i 為虛數(shù)單位)，則z()A1iB1iC1iD1i3若數(shù)列an是等差數(shù)列，bna1a2ann，則數(shù)列bn也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()Adn

2、c1c2cnnBdnc1c2cnnCdnncn1cn2cnnnDdnnc1c2cn4(2015勤州中學(xué)模擬)有 6 名男醫(yī)生、5 名女醫(yī)生，從中選出 2 名男醫(yī)生、1 名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A60 種B70 種C75 種D150 種5若(12x)2 015a0a1xa2 015x2 015(xR R)，則a12a222a2 01522 015的值為()A2B02C1D26(2015義烏模擬)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這 5 個(gè)點(diǎn)中，任取 2 個(gè)點(diǎn)，則這 2 個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為()A.15B.25C.35D.457用a代表紅球，用b代表白球，根據(jù)分類加法計(jì)

3、數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理，從 1 個(gè)紅球和 1 個(gè)白球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1a)(1b)的展開式 1abab表示出來其中“1”表示一個(gè)球都不取， “a”表示取一個(gè)紅球， “b”表示取一個(gè)白球， “ab”表示把紅球和白球都取出來，以此類推：下列各式中，其展開式中可用來表示從 5 個(gè)無區(qū)別的紅球、5 個(gè)無區(qū)別的白球中取出若干個(gè)球，且所有的白球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)B(1a5)(1bb2b3b4b5)C(1a)5(1bb2b3b4b5)D(1a5)(1b)58 已知定義在 R R 上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足f（x）g（x）ax， 且f(x

4、)g(x)f(x)g(x)，f（1）g（1）f（1）g（1）52，若有窮數(shù)列f（n）g（n） (nN N*)的前n項(xiàng)和等于3132，則n等于()A4B5C6D7第卷(非選擇題)二、填空題9已知復(fù)數(shù)z3i（1 3i）2，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則zz_10觀察下列不等式112232，112213253，112213214274，3照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_11(2015瑞安中學(xué)模擬)觀察下列等式1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_12(2015效實(shí)中學(xué)模擬)(xy)(xy)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_(用數(shù)字填寫答案)13若在122xn的展開式中第 5 項(xiàng)、第

5、 6 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_14(2015樂清模擬)從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是 6 的概率為_15將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第 45 行從左向右的第 17 個(gè)數(shù)為_三、解答題16 (2015桐鄉(xiāng)高級中學(xué)模擬)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展， 某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動(dòng)員 3 名，其中種子選手 2 名；乙協(xié)會的運(yùn)動(dòng)員 5 名，其中種子選手 3 名從這 8 名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇 4 人參加比賽(1)設(shè)A為事件“選出的 4 人中恰有 2 名

6、種子選手，且這 2 名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的 4 人中種子選手的人數(shù)，求X分別為 1，2，3，4 的概率417(2015杭州高級中學(xué)模擬)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列18(2015諸暨中學(xué)模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an1an2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若2bn1an1，且Pn(1b1)(1b3)(1b2n1)，求證：Pn 2n1.19小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1、A2、A3、A4、A5、A6(如圖)這 6 個(gè)點(diǎn)中任取兩

7、點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X0 就去打球，若X0 就去唱歌，若X0 就去下棋(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率520(2015臺州一中模擬)已知函數(shù)f(x)ex，xR R.(1)求f(x)的反函數(shù)的圖象上點(diǎn)(1，0)處的切線方程；(2)證明：曲線yf(x)與曲線y12x2x1 有唯一公共點(diǎn)；(3)設(shè)ab，比較fab2與f（b）f（a）ba的大小，并說明理由專題過關(guān)提升卷1A依據(jù)反證法的要求，即至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒有，直接寫出命題的否定方程x3axb0 至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3axb0 沒有實(shí)根，故選 A.2D設(shè)

8、zabi(a，bR R)，由zz2，得a1，(zz)i2，2b2，b1，z1i，故選 D.3D由an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則bna1a2anna1n12d，又正項(xiàng)數(shù)列cn為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則dnnc1c2cnncn1qn2n2c1qn12，故選 D.4C從 6 名男醫(yī)生任選 2 名有 C26種，從 5 名女醫(yī)生任選 1 名有 C15種，共有 C26C1575種5C(12x)2015a0a1xa2015x2015，令x12，則12122 015a0a12a222a2 01522 0150，其中a01，所以a12a222a2 01522 0151.6C如圖：不妨取正方形邊長為 1.基本事件

9、總數(shù)為 C2510，其中等于正方形邊長的有：AB，AD，DC，BC共 4 條，長度為 2的有：BD，AC，共 2 條，不小于該正方形邊長的有 6 條，6概率為P61035，故選 C.7A取出紅球的所有可能為1aa2a3a4a5；取出白球的方法只有1b5.故滿足條件的所有取法為(1aa2a3a4a5)(1b5)8B令h(x)f（x）g（x），則h(x)f（x）g（x）f（x）g（x）g2（x）0，故函數(shù)h(x)為減函數(shù)，即 0a1.再根據(jù)f（1）g（1）f（1）g（1）52，得a1a52，解得a2(舍去)或者a12.所以f（n）g（n）12n，數(shù)列f（n）g（n） 的前n項(xiàng)和是12112n112

10、112n，由于 112n3132，所以n5.9.14z3i（1 3i）23i22 3i3i2（1 3i）（ 3i） （1 3i）2（1 3i） （1 3i）2 32i83414i，故z3414i，zz3414i3414i31611614.101122132142152162116歸納觀察法觀察每行不等式的特點(diǎn)， 每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列第五個(gè)不等式為 1122132142152162116.11 12223242(1)n1n2(1)n1n（n1）2左邊共n項(xiàng)， 每項(xiàng)的符號為(1)n1，通項(xiàng)為(1)n1n2.等式右邊的值符號為(1)n1

11、，各式為(1)n1(123n)(1)n1n（n1）2，第n個(gè)等式為 12223242(1)n1n2(1)n1n（n1）2.71220(xy)8展開式中的通項(xiàng)為Tk1Ck8x8kyk，當(dāng)k7 時(shí)，T8C78xy78xy7.當(dāng)k6 時(shí)，T7C68x2y628x2y6.(xy)(xy)8展開式中x2y7項(xiàng)為x8xy7(y)28x2y620 x2y7.故x2y7的系數(shù)為20.13.352、70 或 3 432因?yàn)?C4nC6n2C5n，所以n221n980，解得n7 或n14，當(dāng)n7 時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5.所以T4的系數(shù)為 C3712423352，T5的系數(shù)為 C47123247

12、0.當(dāng)n14 時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8.所以T8的系數(shù)為 C714127273 432.14.16十個(gè)數(shù)中任取七個(gè)不同的數(shù)共有 C710種情況，七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為 6，那么 6 只有處在中間位置，有 C36種情況，于是所求概率PC36C71016.152 013觀察數(shù)陣，記第n行的第 1 個(gè)數(shù)為an，則有a2a12，a3a24，a4a36，a5a48，anan12(n1)將以上各等式兩邊分別相加，得ana124682(n1)n(n1)，所以ann(n1)1，所以a451 981.又從第 3 行起數(shù)陣每一行的數(shù)都構(gòu)成一個(gè)公差為 2 的等差數(shù)列，則第 45 行從左向右的第 17個(gè)數(shù)為 1

13、 9811622 013.16解(1)由已知，有P(A)C22C23C23C23C48635.8所以，事件A發(fā)生的概率為635.(2)P(Xk)Ck5C4k3C48(k1，2，3，4)P(X1)C15C33C48114，P(X2)C25C23C4837，P(X3)C35C13C4837，P(X4)C45C03C48114.17(1)解設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1 時(shí)，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1 時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1.qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sna1（1qn）1q，Snna1，q1，a1（1qn）1q，q1.(2)證明假設(shè)an1是等比數(shù)列

14、，則對任意的kN N，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列18(1)解1an12an1an21an，所以1an是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，所以1an12(n1)2n1，即an12n1.(2)證明2bn1an12n，所以bn1n，所以Pn(1b1)(1b3)(1b2n1)(11)113115 112n1 .9用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1 時(shí)，P12 3.假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)命題成立，

15、則Pk1(1b1)(1b3)(1b2k1)(1b2k1)(11)113115 112k1112k1112k12k1.因?yàn)?12k12k12k22k1，所以P2k1( 2k3)22k22k12( 2k3)24k28k4（4k28k3）2k112k10，所以Pk1 2k3，即當(dāng)nk1 時(shí)結(jié)論成立由可得對于任意正整數(shù)n，Pn 2n1都成立19解(1)X的所有可能取值為2，1，0，1.(2)數(shù)量積為2 的有2OA 5OA ，共 1 種；數(shù)量積為1 的有1OA5OA ，1OA6OA ，2OA 4OA ，2OA 6OA ，3OA 4OA ，3OA 5OA ，共 6 種；數(shù)量積為 0 的有1OA3OA ，1

16、OA4OA ，3OA 6OA ，4OA 6OA ，共 4 種；數(shù)量積為 1 的有1OA2OA ，2OA 3OA ，4OA 5OA ，5OA 6OA ，共 4 種故所有可能的情況共有 15 種所以小波去下棋的概率為P1715；因?yàn)槿コ璧母怕蕿镻2415，所以小波不去唱歌的概率為P1P214151115.20(1)解f(x)的反函數(shù)為g(x)lnx,設(shè)所求切線的斜率為k，g(x)1x，kg(1)1.于是在點(diǎn)(1，0)處的切線方程為yx1.10(2)證明法一曲線yex與y12x2x1 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)(x)ex12x2x1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(0)110，(x)存在零點(diǎn)x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，則h(x)ex1，當(dāng)x0 時(shí)，h(x)0 時(shí)，h(x)0，(x)在(0，)上單調(diào)遞增(x)在x0 處有唯一的極小值(0)0，即(x)在 R R 上的最小值為(0)0.(x)0(僅當(dāng)x0 時(shí)等號成立)，(x)在 R R 上是單調(diào)遞增的，(x)在 R R 上有唯一的零點(diǎn)，故曲線yf(x)與y12x2x1 有唯一的公共點(diǎn)法二ex0，12x2x10，曲線yex與y12x2x1 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于曲線y12x2x1ex與y1 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)(x)12x2x1ex，則(0)1，即x0 時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)又(x)（x1）ex（12x2x1）exe2x12