數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽習(xí)題

1、第一題：解：?jiǎn)栴}分析與模型建立：用表示各位經(jīng)理人的人壽保險(xiǎn)額，用表示各位經(jīng)理人的平均收入，由題目可以得到，經(jīng)理的年收入和人壽保險(xiǎn)額之間存在著二次關(guān)系，可以通過畫對(duì)的散點(diǎn)圖進(jìn)行驗(yàn)證。用表示各位經(jīng)理人的風(fēng)險(xiǎn)偏好度，它的數(shù)值越大，就越偏愛高風(fēng)險(xiǎn)?，F(xiàn)在畫出對(duì)和的散點(diǎn)圖，觀察各自的變化趨勢(shì)，進(jìn)行驗(yàn)證與趨勢(shì)變化分析。圖1 人壽保險(xiǎn)額與平均收入的關(guān)系圖2 人壽保險(xiǎn)額與風(fēng)險(xiǎn)偏好度的關(guān)系觀察圖1，隨著的增加，也有明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，可以建立線性模型觀察圖2，隨的增加，也隨之增大，且向上彎曲趨勢(shì)增長(zhǎng)，可以建立二次函數(shù)模型：將上面兩點(diǎn)進(jìn)行結(jié)合，建立一個(gè)中體的回歸模型如下：以上各式中，叫做回歸系數(shù)，叫做影響的主要因素

2、，主要因素是人能夠進(jìn)行控制的，同時(shí)還受到各種因素的影響，這些是人沒有辦法進(jìn)行控制的，稱為隨機(jī)誤差，記作。隨機(jī)誤差可以被看作是一個(gè)隨機(jī)變量，在模型選擇合適的情況下，大致服從均值為零的正態(tài)分布。所以，模型可以完整的記做：對(duì)回歸系數(shù)是線性的，滿足線性回歸條件，所以建立線性回歸模型。模型求解：在matlab中用命令regress解決線性回歸問題。使用格式如下：b,bint,r,rint,stats=regress(y',x);其中，b為回歸系數(shù)的估計(jì)值；bint是b各項(xiàng)的顯著水平為的置信區(qū)間；stats是檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量。其計(jì)算結(jié)果如下：b = -113.9272 4.4587 -6.74

3、32 1.1390bint = -153.5452 -74.3091 4.0434 4.8739 -16.6588 3.1723 0.2101 2.0678stats = 0.9920 580.5290 0.0000 61.5420畫出的殘差圖如下：對(duì)數(shù)據(jù)整理如下：回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間-113.9272-153.5452 -74.30914.45874.0434 4.8739-6.7432 -16.6588 3.17231.13900.2101 2.06780.9920580.52900.0000表1 回歸模型數(shù)據(jù)整理所以回歸模型結(jié)果為：結(jié)果分析：由上表可以看出，=0.992

4、0指因變量（人壽保險(xiǎn)額）的99.20%可以由模型確定；=580.5290遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于檢驗(yàn)的臨界值；=0.0000遠(yuǎn)小于=0.05；綜上，所建立的模型大致可以反映實(shí)際情況。回歸系數(shù)的置信區(qū)間只有的自置信區(qū)間包含零點(diǎn)，表明回歸變量對(duì)因變量的貢獻(xiàn)是不顯著的；而的置信區(qū)間不包含零點(diǎn)，表明回歸變量對(duì)因變量的貢獻(xiàn)是顯著的，所以可以將仍保留在模型內(nèi)，故得模型為：現(xiàn)我們可以認(rèn)定題目中的假設(shè)是成立的，即經(jīng)理的年收入和人壽保險(xiǎn)額之間存在著二次關(guān)系，并有把握的認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額有線性效應(yīng)。模型的改進(jìn)與分析求解：（1） 假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)偏好度（）對(duì)人壽保險(xiǎn)額（）是否有二次效應(yīng)，將原模型可以修改為： 進(jìn)行模型求解，輸出結(jié)果

5、如下：b = -60.8513 0.9230 4.4829 0.0360 0.1138bint = -72.5979 -49.1048 0.4293 1.4168 1.7085 7.2573 0.0310 0.0409 -0.1441 0.3717stats = 1.0e+003 *0.0010 8.2055 0 0.0033將stats中數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)型：stats=0.9996 8205.5 0 3.2905畫出的殘差圖如下：數(shù)據(jù)整理如下：回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)回歸系數(shù)置信區(qū)間-60.8513-72.5979 -49.10480.92300.4293 1.41684.48291.7085 7.

6、25730.03600.0310 0.04090.1138-0.1441 0.37170.999682050.0000表2 模型改進(jìn)（1）數(shù)據(jù)整理由上表可以看出，=0.9996指因變量（人壽保險(xiǎn)額）的99.96%可以由模型確定；=8205遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于檢驗(yàn)的臨界值；=0.0000遠(yuǎn)小于=0.05；綜上，所建立的模型大致可以反映實(shí)際情況。回歸系數(shù)的置信區(qū)間只有的自置信區(qū)間包含零點(diǎn)，表明回歸變量對(duì)因變量的貢獻(xiàn)是不顯著的；而的置信區(qū)間不包含零點(diǎn)，表明回歸變量對(duì)因變量的貢獻(xiàn)是顯著的。相對(duì)而言，比顯著，所以可以剔除求回歸方程。進(jìn)而說明風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額的二次效應(yīng)不顯著。所以的回歸方程為：（2） 假設(shè)年平均

7、收入（）和風(fēng)險(xiǎn)偏好度（）對(duì)人壽保險(xiǎn)額（）有交互效應(yīng)。將模型修改為：進(jìn)行模型求解，輸出結(jié)果如下：b = -119.7086 4.5624 -5.6875 -0.0261 1.2025bint = -171.2646 -68.1527 3.8576 5.2672 -17.4456 6.0706 -0.1663 0.1141 0.1790 2.2260stats = 0.9921 409.3697 0.0000 65.4612畫出的殘差圖如下：數(shù)據(jù)整理如下：回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)回歸系數(shù)置信區(qū)間-119.7086-171.2646 -68.15274.56243.8576 5.2672-5.6875-

8、17.4456 6.0706-0.0261 -0.1663 0.11411.20250.1790 2.22600.9921409.369700000表3 模型改進(jìn)（2）數(shù)據(jù)整理 從上表可知，當(dāng)加入項(xiàng)后做的回歸分析，得到項(xiàng)的置信區(qū)間為-0.1663 0.1141，包含零點(diǎn)，回歸系數(shù)包含零點(diǎn)，因此可以得到假設(shè)年平均收入（）和風(fēng)險(xiǎn)偏好度（）對(duì)人壽保險(xiǎn)額（）有交互效應(yīng)是不顯著的，所以此種假設(shè)是不成立的。（3） 由以上各模型的求解過程可知，和對(duì)人壽保險(xiǎn)額的影響是不顯著的，因此將模型改進(jìn)為：進(jìn)行模型求解，輸出結(jié)果如下：b = -62.2609 0.8338 5.6919 0.0371bint = -73.

9、4460 -51.0758 0.3881 1.2796 5.2665 6.1173 0.0331 0.0412stats = 1.0e+004 *0.0001 1.1013 0 0.0003將stats中的數(shù)據(jù)裝化為長(zhǎng)型為：stats= 0.99958 11013 0 3.2689畫出的殘差圖如下：數(shù)據(jù)整理如下：回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間-62.2609-73.4460 -51.07580.83380.3881 1.27965.69195.2665 6.11730.03710.0331 0.04120.99958110130.0000表4 模型改進(jìn)（3）數(shù)據(jù)整理由上表可以看出，=0

10、.9996指因變量（人壽保險(xiǎn)額）的99.958%可以由模型確定；=11013遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于檢驗(yàn)的臨界值；=0.0000遠(yuǎn)小于=0.05。檢查回歸系數(shù)的置信區(qū)間可以發(fā)現(xiàn)： 所有回歸系數(shù)的置信區(qū)間都不包含零點(diǎn)，所以所建模型是完全可靠的，即改進(jìn)的模型為：附matlab程序如下：散點(diǎn)圖1x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916;y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 4

11、9 105 98 77 14 56 245 133 133;plot(x1,y,*b)散點(diǎn)圖2： x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;plot(x2,y,+r)模型求解：y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.76

12、4 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6;x3=x2.2;x=ones(18,1) x1 x2 x3;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)模型的改進(jìn)與進(jìn)一步求解：（1）y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;x1=66.290 40.964 72.996

13、45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; x3=x1.2; x4=x2.2;x=ones(18,1) x1' x2' x3' x4'b,bint,r,rint,stats=regress(y',x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)（2）y=196 63 252 84 126 14

14、49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; x3=x1.*x2; x4=x2.2;x=ones(18,1) x1' x2' x3' x4'b,bint,r,rint,stats=regre

15、ss(y',x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)（3）x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; x3=x1.2; y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;x=ones(18,1)

16、 x1' x2' x3'b,bint,r,rint,stats=regress(y',x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)第二題：解：?jiǎn)栴}的分析與模型建立：畫出高壓鍋得銷量與時(shí)間變化的散點(diǎn)圖：圖1 高壓鍋的的銷售量相對(duì)于時(shí)間的散點(diǎn)圖再對(duì)Logistic模型和Gompertz的增長(zhǎng)曲線表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)。（1） 對(duì)表達(dá)式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：，即；兩邊同乘得：；再對(duì)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得：；令，。即可得一個(gè)線性表達(dá)式：。因此Logistic增長(zhǎng)曲線是一個(gè)可線性化的模型。（2） 對(duì)表達(dá)式：兩邊同除以得：；兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得：；再同時(shí)對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)

17、得：；令。得線性表達(dá)式：。因此Gompertz增長(zhǎng)曲線是一個(gè)可線性化的模型。模型求解：（1）利用matlab進(jìn)行線性化擬合，并畫出原數(shù)據(jù)與擬合曲線，如圖2所示。圖2 原數(shù)據(jù)與線性擬合曲線由線性表達(dá)式：，得，利用線性化模型給出參數(shù)和的估計(jì)值。在matlab中寫入程序，計(jì)算結(jié)果如下:k = 0.4941a = 44.8463從圖形可以看出，線性模型雖然簡(jiǎn)單，但是誤差太大，并且當(dāng)，而高壓鍋銷售量是有限的，也就是說高壓鍋的銷售量是一個(gè)有限的量，不可能是無限大的。所以，用線性模型不能完全反映高壓鍋的銷售情況。必須找一個(gè)更好的模型去分析高壓鍋的銷售情況。（2）由上所得到的線性表達(dá)式：，用matlab對(duì)Lo

18、gistic模型進(jìn)行非線性回歸。擬合Logistic模型，畫出Logistic模型并與原數(shù)據(jù)比較，如圖3所示。圖3 Logistic模型的擬合圖形因此Logistic增長(zhǎng)曲線的非線性化方程為：（3） 由上所得到的線性表達(dá)式：。用matlab對(duì)Gompertz模型進(jìn)行非線性回歸。擬合Gompertz模型，畫出Gompertz模型并與原數(shù)據(jù)比較，如圖4所示。圖4 Gompertz模型的擬合圖形由線性表達(dá)式：，得，利用線性化模型給出參數(shù)b和的估計(jì)值。在matlab中寫入程序，計(jì)算結(jié)果如下:k= 0.4941b= 30.4930所以擬合的Gompertz增長(zhǎng)曲線方程為：分析總結(jié)：下來分析兩種的拐點(diǎn)如下

19、: 。（其中r表示模型的增長(zhǎng)率）Logistic模型轉(zhuǎn)化為微分形式是：。（其中r表示模型的增長(zhǎng)率）Gompertz模型轉(zhuǎn)化為微分形式是：。在Logistic模型中是關(guān)于y的二次函數(shù)，很容易看出，當(dāng)時(shí)增長(zhǎng)率最大，即是模型的拐點(diǎn)。Logistic增長(zhǎng)曲線模型就是我們?cè)谏鷳B(tài)學(xué)中所熟知的“S型曲線”，它的最大值L就是環(huán)境容納量，它的變化受環(huán)境的影響，主要用于對(duì)種群數(shù)量及變化率的研究。其一般形式為：（K為環(huán)境容納量）其有個(gè)重要特征就是當(dāng)y隨著t的增加直至無窮大而趨向于K，K就是y的飽和值，反過來當(dāng)t逐漸減小直至0，y的值也趨于0。主要用于對(duì)一種新技術(shù)或新事物的產(chǎn)生，主要是一個(gè)“新”，對(duì)以前從來沒有過的東

20、西的趨勢(shì)的研究。而Gompertz增長(zhǎng)曲線主要有以下特征：初期增長(zhǎng)緩慢，后期逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長(zhǎng)率有逐漸下降，最終達(dá)到一條水平線。Gompertz曲線通常用于描述事物的發(fā)展由萌芽、成長(zhǎng)到飽和的周期過程。由此可見，Gompertz增長(zhǎng)曲線與Logistic增長(zhǎng)曲線還是比較相似的。附matlab程序如下：散點(diǎn)圖：t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;y=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71;plot(t,y,'*b')線性擬合:y=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71; t=0:12; p=polyfit(t,y,1);yy=polyval(p,t,1)polt(t,y,'*&