數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)

1、*實(shí)踐教學(xué) * 蘭州理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院 2013年春季學(xué)期信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)題 目： 數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì) 專業(yè)班級(jí)： 通信工程班 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 藺 瑩 成 績(jī)： 摘 要設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器。而數(shù)字濾波器是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率成分的器件；一種用來過濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)字處理來達(dá)到頻域?yàn)V波的目的。根據(jù)濾波器的設(shè)計(jì)思想，通過雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法將巴特沃斯模擬低通濾波器變換到數(shù)字低通濾波器，利用MATLAB繪制出數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)幅頻函數(shù)曲線，對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較。關(guān)鍵詞：

2、數(shù)字濾波器；雙線性變換法；脈沖響應(yīng)不變法；巴特沃斯；MATLAB1 目錄前言1一、課題描述2二、設(shè)計(jì)原理32.1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理32.2巴特沃斯低通濾波器的原理32.3雙線性變換法42.4 脈沖響應(yīng)不變法工作原理6三、設(shè)計(jì)過程7四、結(jié)果與分析8總 結(jié)11參考文獻(xiàn)12附錄13致謝17前言課程設(shè)計(jì)是理論教學(xué)的延伸，是掌握所學(xué)知識(shí)的一種重要手段，對(duì)于貫徹理論聯(lián)系實(shí)際、提高教育質(zhì)量，培養(yǎng)合格人才等具有特殊作用本次課程設(shè)計(jì)一方面通過MATLAB仿真設(shè)計(jì)內(nèi)容，使學(xué)生加深對(duì)理論知識(shí)理解的同時(shí)增強(qiáng)其邏輯的能力，另一方面對(duì)課堂教學(xué)中的理論知識(shí)做一個(gè)總結(jié)和補(bǔ)充。簡(jiǎn)單來說，理想低通濾波器的濾波效果是無失真

3、，其通頻特性可以看做一個(gè)矩形，濾波不會(huì)發(fā)生混疊（實(shí)際的濾波器是不可能有理想的截至特性，總會(huì)在截止頻率fc之后總有一定的過慮帶）。 巴特沃斯濾波器是濾波器的一種設(shè)計(jì)分類，類同于切比雪夫?yàn)V波器，它有高通，低通，帶通，帶阻等多種濾波器。它在通頻帶內(nèi)外都有平穩(wěn)的幅頻特性，但有較長的過渡帶，在過渡帶上很容易造成失真，我在調(diào)用MATLAB里的巴特沃斯濾波器做仿真時(shí)，信號(hào)總會(huì)在第一個(gè)周期略微有些失真，但往后的幅頻特性就非常的好。切比雪夫?yàn)V波器則相反，過渡帶很窄，但內(nèi)部的幅頻特性卻很不穩(wěn)定。其他種類的濾波器一般都是那折中設(shè)計(jì)的。雙線性變換法原理：使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法

4、、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真雙線性變換法也是一種由S平面到z平面的映射過程，雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法不同，它是一種從S平面到z平面簡(jiǎn)單映射。雙線性變換中數(shù)字域與頻率和模擬頻率之間的非線性關(guān)系限制了它的應(yīng)用范圍，只有當(dāng)非線性失真是允許的或能被襝時(shí)，才能采用雙線性變換法，通常低通、高通、帶通和帶阻等濾波器等具有分段恒定的頻率特性，可以采用預(yù)畸變的方法來補(bǔ)償頻率。 沖激響應(yīng)不變法遵循的準(zhǔn)則是使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)與參照的模擬濾波器的脈沖響應(yīng)的取樣值完全一樣，即h(n)=ha(nT),其中T為取樣周期。實(shí)際是由模擬濾波器轉(zhuǎn)換成為數(shù)字濾波器，就是要建立模擬系統(tǒng)函數(shù)H

5、a（S）與數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H（z）之間的關(guān)系。脈沖響應(yīng)不變法是從S平面映射到z平面，這種映射不是簡(jiǎn)單的代數(shù)映射，而是S平面的每一條寬為的橫帶重復(fù)地映射到整個(gè)z平面。17 一、課題描述數(shù)字濾波器是一種用來過濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來達(dá)到頻域?yàn)V波的目的?？梢栽O(shè)計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，讓它滿足一定的要求，從而對(duì)通過該系統(tǒng)的信號(hào)的某些特定的頻率成分進(jìn)行過濾，這就是濾波器的基本原理。如果系統(tǒng)是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，則濾波器稱為模擬濾波器。如果系統(tǒng)是一個(gè)離散系統(tǒng)，則濾波器稱為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的運(yùn)算處理。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列

6、，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性: (1-1)其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。二、設(shè)計(jì)原理2.1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般是利用目前已經(jīng)很

7、成熟的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來進(jìn)行設(shè)計(jì)，通常采用模擬濾波器原型有butterworth函數(shù)、chebyshev函數(shù)、bessel函數(shù)、橢圓濾波器函數(shù)等。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟： 按照一定規(guī)則把給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)； 根據(jù)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)為響應(yīng)的模擬低通濾波器； 跟據(jù)脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器； 如果要設(shè)計(jì)的濾波器是高通、帶通或帶阻濾波器，則首先把它們的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)為數(shù)字低通濾波器，最后通過頻率轉(zhuǎn)換的方法來得到所要的濾波器。在MATLAB中，經(jīng)典法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器主要采用以下步驟：模擬濾波器原型but

8、tap,cheb1ap頻率變換模擬離散化bilinear,impinvarIIR數(shù)字濾波器圖1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟2.2巴特沃斯低通濾波器的原理巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是同頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最為平坦，沒有起伏，而在組頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波特圖上，從某一邊界頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向于負(fù)無窮大。一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻20分貝，二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階的衰減率為每分貝18分貝，如此類推，巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下降，并且濾波器的結(jié)束越高，在組頻帶振幅衰減速度越快，其他濾波器高階的振幅對(duì)角頻率圖和低階數(shù)的振幅對(duì)

9、角頻率有不同的形狀。 (2-1)上述函數(shù)的特點(diǎn)是等距離分布在半徑為的圓上。因此，極點(diǎn)用下式表示為 (2-2) 的表示式： (2-3)為了使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為 (2-4)令,稱為歸一化頻率，稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 (2-5)式中，為歸一化極點(diǎn)，用下式表示: (2-6)2.3雙線性變換法雙線性變換法是將平面壓縮變換到某一中介平面的一條橫帶里，再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此帶變換到整個(gè)z平面上去，這樣就使平面與平面之間建立一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性。為了將平面的軸壓縮到平面的軸上的到

10、一段上，可以通過以下的正切變換來實(shí)現(xiàn)： (2-7)這樣當(dāng)由經(jīng)變化到時(shí)，由經(jīng)過0變化到，也映射到了整個(gè) 軸。將這個(gè)關(guān)系延拓到整個(gè)平面和平面，則可以得到 (2-8)再將平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面，即令得到 (2-9)同樣對(duì)z求解，得到 (2-10)這樣的變換叫做雙線性變換。為了驗(yàn)證這種映射具有s平面的虛軸映射到z平面單位圓上的特性，考慮 ,，得 (2-11) (2-12)除了使s平面的虛軸映射到單位圓上之外，s平面的左半部分映射到單位圓的內(nèi)部，s平面的右半部分映射到單位圓的外部。如圖所示圖2 雙線性變化映射關(guān)系示意圖觀察式子，發(fā)現(xiàn)的實(shí)部為負(fù)時(shí)，因子的幅度小于1，相當(dāng)于單位圓的內(nèi)部。反之，當(dāng)?shù)膶?shí)

11、部為負(fù)時(shí)，該比值的幅度大于1，相當(dāng)于單位圓的外部。這樣就可以看出使用雙線性變換可從穩(wěn)定的模擬濾波器得到穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。雙線性變換法還避免了使用脈沖響應(yīng)不變法所遇到的混疊問題，因?yàn)樗哑矫娴倪@個(gè)虛軸映射到平面的單位圓上。然而，付出的代價(jià)是在頻率軸上引入了失真。因此，只有當(dāng)能容忍或補(bǔ)償這種失真時(shí)，使用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的方法才是實(shí)用的。僅在零頻率附近時(shí)與之間的頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系，所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變。對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)

12、畸變來加以校正，也就是將臨界頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的頻率上。通過的關(guān)系變換成一組模擬頻率。圖3 雙線性變化法的頻率關(guān)系為了克服沖擊響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象，我們需要使平面與平面建立一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，即求出，然后將其代入就可以求得，即 (2-13)2.4 脈沖響應(yīng)不變法工作原理沖激響應(yīng)不變法遵循的準(zhǔn)則是使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)與參照的模擬濾波器的脈沖響應(yīng)的取樣值完全一樣，即h(n)=ha(nT),其中T為取樣周期。實(shí)際是由模擬濾波器轉(zhuǎn)換成為數(shù)字濾波器，就是要建立模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha（S）與數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H（z）之間的關(guān)系。脈沖響應(yīng)不變法是從S平面映射到z平面，這種映射不

13、是簡(jiǎn)單的代數(shù)映射，而是S平面的每一條寬為 的橫帶重復(fù)地映射到整個(gè)Z平面。三、設(shè)計(jì)過程低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：1根據(jù)數(shù)字低通濾波器技術(shù)指標(biāo)和采樣時(shí)間間隔Ts=0.01s。2.計(jì)算出模擬低通的技術(shù)指標(biāo) Ts=0.01s。3.設(shè)計(jì)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，先計(jì)算階數(shù)N及由公式計(jì)算出N=3.7688，進(jìn)行取整得N=4；由公式計(jì)算出。4.利用MATLAB函數(shù)根據(jù)低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)利用雙線性變換法及脈沖響應(yīng)不變法仿真出巴特沃斯低通濾波器的對(duì)數(shù)幅頻及相頻率曲線。 四、結(jié)果與分析4.1結(jié)果 圖4雙相性變換法 圖5脈沖響應(yīng)不變法4.2比較分析比較脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的低通濾波器和雙線性法設(shè)計(jì)的低通濾波器

14、：脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)點(diǎn)：是頻率坐標(biāo)變換是線性的，即，如果不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會(huì)很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性。另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域逼近性好。缺點(diǎn)：會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，適合低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。 雙線性變換法避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象?？梢栽O(shè)計(jì)高通、帶阻濾波器。模擬頻率與數(shù)字頻率不再是線性關(guān)系，所以一個(gè)線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器不再保持原有的線性相位了。 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到S平面與Z平面的單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè)軸單值對(duì)應(yīng)于單

15、位圓一周，這個(gè)關(guān)系就是式 所表示的，其中和為非線性關(guān)系。如圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關(guān)系，進(jìn)一步增加時(shí)，增長變得緩慢，時(shí) (終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。雙線性變換法的缺點(diǎn)：與的非線性關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。例如，一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是線性關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器。若 (4-1)則 (4-2)另外，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，濾波器就不再有線性相位特性。雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)

16、，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單。由于s與z之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。置換過程： (4-3)頻響： (4-4)這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情

17、況下，對(duì)于IIR的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變換。 總 結(jié)本次設(shè)計(jì)是數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)。最基本的方法：雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法。濾波器設(shè)計(jì)原理來比較簡(jiǎn)單，在MATLAB中有專門的函數(shù)可用來調(diào)用，實(shí)現(xiàn)濾波器的。由于對(duì)MATLAB了解的不多，甚至連基本的函數(shù)語句都得查書才能知道，這就大大增加了我們?cè)O(shè)計(jì)的時(shí)間。有時(shí)在調(diào)用函數(shù)時(shí)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，得不到正確結(jié)果，程序運(yùn)行時(shí)也會(huì)有很多的錯(cuò)誤。首先按照一定規(guī)則把給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)；然后根據(jù)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)為響應(yīng)的模擬低通濾波器；其次跟據(jù)脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器；最后如果要設(shè)計(jì)的濾波器是高通、帶通

18、或帶阻濾波器，則首先把它們的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)為數(shù)字低通濾波器，最后通過頻率轉(zhuǎn)換的方法來得到所要的濾波器。通過雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法將巴特沃斯模擬低通濾波器變換到數(shù)字低通濾波器，利用MATLAB繪制出數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)幅頻函數(shù)曲線，對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較兩種方法的區(qū)別，再針對(duì)仿真出來的圖形進(jìn)行分析。這讓我深深體會(huì)到，要想正確得出一個(gè)波形，需要花很多的時(shí)間和很大精力。個(gè)人感覺濾波器的設(shè)計(jì)比較難，而且設(shè)計(jì)內(nèi)容龐大，使得時(shí)間非常緊張。不過收獲特別大，在不斷錯(cuò)誤的過程中，我學(xué)到了新的知識(shí)，同時(shí)也磨練了自己的意志。做完本設(shè)計(jì)，我對(duì)低通數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法有了更深層次

19、的理解和掌握，對(duì)數(shù)字濾波器這方面有了系統(tǒng)的理解，收獲頗多。參考文獻(xiàn)1 丁玉美，高西全.數(shù)字信號(hào)處理.西安：電子科技大學(xué)出版社，2006.2 陳懷琛，吳大正，高西全. MATLAB及在電子信息課程中的應(yīng)用.北京：電子科技大學(xué)出版社，2003.3 程佩青.數(shù)字信號(hào)處理.北京：清華大學(xué)出版社，2006. 4 樓順天，李博苗.基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)一信號(hào)處理 西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1998.5 劉波. MATLAB信號(hào)處理 北京：電子工業(yè)出版社，2006附錄雙相性變換法：wp=0.19*pi;ws=0.5*pi;Rp=3;Rs=30;R=10(-Rp/20);A=10(-Rs/20)

20、;分貝值轉(zhuǎn)化為數(shù)值T=0.01;N=4;Omegac=0.2*pi;b,a=butter(N,Omegac);表達(dá)式分子分母的形式H,w=freqz(b,a,1000,'whole');幅度和頻率響應(yīng)H=(H(1:501)'w=(w(1:501)'mag=abs(H);db=20*log10(mag+eps)/max(mag);pha=angle(H);ha,x,t=impulse(b,a);計(jì)算沖擊響應(yīng)subplot(111)subplot(221)plot(w/pi,db);axis( 0 1 -100 5)title('幅度響應(yīng)');yla

21、bel('|H|');subplot(222)plot(w/pi,abs(mag);axis(0 1 0 1.2)title('幅度（dB）');ylabel('分貝數(shù)');subplot(223)plot(w/pi,pha);axis(0 1 -4 4 )title('相位響應(yīng)');ylabel('弧度');xlabel('以pi為單位的頻率');subplot(224)plot(t,ha);axis(0 15 0 1.5)title('沖擊響應(yīng)');ylabel('ha(t)');xlabel('時(shí)間（秒）');脈沖響應(yīng)不變法：%數(shù)字濾波器指標(biāo)%wp=0.19*pi;ws=0.5*pi;Rp=3;Rs=30;%模擬原型指標(biāo)對(duì)頻率的映射%T=0.01;OmegaP=wp/T;OmegaS=ws/T;%模擬原型濾波器階次%N=4;Omegac=0.2*pi;b,a=butter(N,Omegac);%計(jì)算頻率響應(yīng)%H,w=freqz(b,a,1000,'whole');%計(jì)算頻率響應(yīng)H=(H(1:501)'w=(w(1:501)'m