哥尼斯堡七橋問題

1、閱讀材料世界名題與小升初之：哥尼斯堡七橋問題 -馬到成功老師在各類競賽中，各類小升初考試中相關(guān)的世界名題出現(xiàn)的概率極高，這是由小升初與數(shù)學(xué)競賽的特點決定，這特點便是：知識性，趣味性，思想性相結(jié)合。歷史上有名的七橋問題，是膾炙人口的應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決實際問題的典范，在歐洲的普魯士哥尼斯堡鎮(zhèn)上有一個小島，普里格爾河蜿蜒其間，河岸與島嶼間有七座橋相連，在18世紀(jì)，有人提出：能否不重復(fù)地一次接連通過每座橋？這個生活中的問題，引起人們濃厚的興趣，市民、學(xué)生，觀光者，競相“過橋”有人還畫出地圖，在圖上游來走去，還出現(xiàn)了夢游七橋的故事，但問題一直未獲解決，被世人謂之哥尼斯堡七橋問題，如圖。后來，問題傳到了歐拉手

2、中，歐拉當(dāng)時才28歲，但已是遠(yuǎn)近聞名的瑞士數(shù)學(xué)家，他只用了幾天思考，就找到了解答，辦不到！歐拉解決問題采用了“數(shù)學(xué)模型”法，歐拉認(rèn)為，既然島與陸地時靠橋來接連的，那么不妨把4片陸地縮?。ǔ橄螅┏?個點，并把七座橋表示（抽象）成7條邊，從而得到了七橋問題的模擬圖，這樣當(dāng)然未改變問題的實質(zhì)，于是人們試圖一次無重復(fù)地走過7座橋的問題就等價于一筆畫出模擬圖型的問題，如圖。歐拉指出：這是辦不到的，因為接連每點的線都是奇數(shù)條（這樣的點，稱為奇頂點）而每通過頂點一次，一入一出要用去2條線（因不許重復(fù)），只有在起點，有一次只出不入，或在終點，有一次只入不出，因此，要想一筆畫出一個圖，這個圖的奇頂點就不能多于2

3、個（沒有或恰有2個奇頂點）而模擬圖奇頂點個數(shù)為4，故不能一筆畫，歐拉還給出了一般結(jié)論：接連奇數(shù)座橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實現(xiàn)一筆畫。接連奇數(shù)座橋的陸地僅有兩個小時，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫而停在另一陸地。每個陸地都接連有偶數(shù)座橋時，可以從任一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)地。1736年，歐拉的哥尼斯堡七橋問題論文問世，開創(chuàng)了“圖論”和“拓?fù)鋵W(xué)”的先河。歐拉解決七橋問題，對我們有什么啟示呢？首先，歐拉對問題作了抽象，它用一張點線圖代替了七橋圖，用“一筆畫”代替了過橋問題，當(dāng)歐拉對點線圖進(jìn)行分析時，發(fā)現(xiàn)了“過橋”同“一筆畫”的等價性，而且發(fā)現(xiàn)了“一筆畫”同圖中頂點的奇偶

4、性之間的關(guān)系，他同時證明了有關(guān)定理。在歐拉的抽象過程中，他舍棄了河岸，島嶼的形狀、高低、大小等外部特征，而把它們抽象成一個個表示位置的點，舍棄了一座座造型各異，結(jié)構(gòu)不同，長短不等的橋的外部特征，而把它們抽象成連結(jié)相應(yīng)點的弧線，進(jìn)而他又舍棄了河流、橋、河岸于島嶼的實際位置，而只保留它們原來過橋問題的要求抽象成了“一筆畫”的條件，即每條弧線恰好畫一次，而一筆連續(xù)畫出。于是，歐拉經(jīng)過三種抽象：具體事物抽象成幾何對象，實際關(guān)系抽象成幾何關(guān)系，問題的要求抽象成一筆畫的條件，從而將實際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題。通過這種抽象，使研究的對象和對象間的關(guān)系準(zhǔn)確無誤地表述出來，簡潔的表述更能顯現(xiàn)出問題的本質(zhì)，成為數(shù)學(xué)

5、問題以后，就可以先在已有的數(shù)學(xué)方法、理論中尋求解法，在現(xiàn)有方法、理論中還未有解法時，就促使人們?nèi)ふ倚碌臄?shù)學(xué)方法和理論，甚至開拓出數(shù)學(xué)新的分支和領(lǐng)域。歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個初等的例子。下面由我給大家整理提供與小升初相關(guān)的一筆畫經(jīng)典數(shù)學(xué)題。題目1. 某花園的小徑如圖所示，一個人能否從圖中標(biāo)有1的點出發(fā)，不重復(fù)地走遍所有小徑？如果能，請給出走法，如果不能，請標(biāo)出最少必須重復(fù)的那些小徑。馬到成功解析：因為圖中共有8個奇點1，2，3，4，5，6，7，8，至少得消滅掉6個，剩下兩個其中一個作起點，一個作終點。重復(fù)走相當(dāng)于再連一條線，則奇點變?yōu)榕键c。答：不

6、能，最小要重復(fù)三段小徑3-4，5-6，7-8。本題消滅掉六個奇點的處理問題的方法對下題是一個提示，但本題是連線，而下題的要求是不重復(fù)，稍有不同。題目2. 用鐵絲做成右圖那樣的三層長方體框架，這個框架共有12個結(jié)點，20條棱，每條棱長為1.現(xiàn)將棱任意編成120號，一只小螞蟻從其中一個結(jié)點出發(fā)，沿著棱爬行。如果兩條棱相鄰，它可以從號碼小的棱爬上號碼大的棱，但不能從號碼大的棱爬到號碼小的棱。請你設(shè)計一種編號的方法，使小螞蟻的爬行路線最長（可在圖上標(biāo)出）。最長是多少？馬到成功解析： 本題的問題有兩個關(guān)鍵詞：一是設(shè)計編號，二是爬行路線最長。這兩個步驟按處理的先后，出現(xiàn)兩種思路：一是先按照題目所說的設(shè)計編

7、號，再按編號從小到大爬行使路線最長；二是可以先找出一種爬行最長的路線，再按順序從小到大編上號。可以看出后者比前者容易得多，它能很輕松地解決從小號編到大號的難題。這能很好地說明解決問題的順序很重要。選一個有利于自己解決問題的最佳方案是我們思考問題的重要目標(biāo)，體現(xiàn)效率優(yōu)先原則。那么怎樣走路線最長呢？“聯(lián)想”我們學(xué)過的一筆畫問題，并“拓展”到立體圖形，數(shù)一數(shù)圖中共有12個交點，其中有8個是奇點，按照能一筆畫的圖中最多只能有兩個奇點，并從一個奇點進(jìn)入，另一個奇點結(jié)束的原則，必須把圖形修改，使之只剩下兩個奇點，因此必須去掉三條奇點的聯(lián)結(jié)線，消滅掉六個奇點即可，如左下圖所示一種方案?，F(xiàn)在可以一筆畫下這個框

8、架了,從A點出發(fā)并到另一個奇點結(jié)束。當(dāng)我們調(diào)整解決問題的次序后，能很迅速的完成任務(wù)，其中的一種標(biāo)號方案如下右圖所示，按走的順序標(biāo)上線后，3條不能走，因此最長為17。題目3. 有一個鐵絲做成的長方體框架的長、寬、高分別為5厘米，3厘米，4厘米，如下圖所示。一只螞蟻從某個頂點出發(fā)地沿棱爬行，線路不能重復(fù)，它能爬行的最長距離為多少厘米？ 馬到成功解析：我在怎樣解題五步法的文章中談到，“聯(lián)想”是一個重要環(huán)節(jié)，對已有經(jīng)驗的借鑒是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵?？陕?lián)想解決題目2的過程，感覺這是一道一筆畫立體圖形問題，要考慮奇點，偶點個數(shù)。不走重復(fù)路，因此是要去掉幾條線，又因為要走得盡量長，所以去線要去盡量短的。這樣一路想

9、來，這個問題的解決就唾手可得。你可自己試試。題目4. 下圖為郵遞員負(fù)責(zé)的郵區(qū)街道圖，圖中左下角處橫線與豎線的交叉點為郵局，其余交叉點為郵戶，每個小長方形的長為180米，寬為150米，如果郵遞員每分鐘行200米，在每個郵戶停留半分鐘，那么他從郵局出發(fā)走遍所有郵戶，再回到郵局，最少需要多少分鐘？（華校思維導(dǎo)引三四年級分冊）馬到成功解析：從左下角出發(fā)，要回到原點，那么它向右走多少路，必須向左走多少路，向上走多少路，必須向下走多少路。因此為了到達(dá)最右邊的郵戶，走5個向右的180米再回走5個向左的180米是必不可少的。在這種情況下消滅奇點的任務(wù)就必須全部落到150米長的短線上，因此通過如下圖粗線設(shè)計的方案可用最少的時間走遍所有的郵戶，當(dāng)然也可把圖翻過來看，換種走法，答案是一樣的。共走（180×10+150×14）÷200+0.5×23=31分鐘.再提供一道應(yīng)用趣題。題目5. 圖4是某社區(qū)的街道分布圖，巡警每天都要從派出所出發(fā)，步行巡視完所有道路后再回到派出所，（圖中同方向的道路互相平行）。問：巡警在每天的巡視過程中，最少要走多少路？（單位：百米）馬到成功解析：重點中學(xué)招生考試時，題目不管怎么出，所涉及的方法與知識點是跳不出小學(xué)奧數(shù)的框框的。同學(xué)們一定知道本