差分方程模型(講義)

1、差分方程模型一. 引言數(shù)學模型按照離散的方法和連續(xù)的方法， 可以分為離散模型和連續(xù)模型。1. 確定性連續(xù)模型1) 微分法建模(靜態(tài)優(yōu)化模型)， 如森林救火模型、血管分支模型、最優(yōu)價格模型。2) 微分方程建模(動態(tài)模型)，如傳染病模型、人口控制與預測模型、經(jīng)濟增長模型。3) 穩(wěn)定性方法建模(平衡與穩(wěn)定狀態(tài)模型)，如軍備競賽模型、種群的互相競爭模型、種群的互相依存模型、種群弱肉強食模型。4) 變分法建模（動態(tài)優(yōu)化模型），如生產計劃的制定模型、國民收入的增長模型、漁業(yè)資源的開發(fā)模型。2. 確定性離散模型1) 邏輯方法建模，如效益的合理分配模型、價格的指數(shù)模型。2) 層次分析法建模，如旅游景點的選擇模

2、型、科研成果的綜合評價模型。3）圖的方法建模，如循環(huán)比賽的名次模型、紅綠燈的調節(jié)模型、化學制品的存放模型。4）差分方程建模，如市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型、交通網(wǎng)絡控制模型、借貸模型、養(yǎng)老基金設置模型、人口的預測與控制模型、生物種群的數(shù)量模型。隨著科學技術的發(fā)展，人們將愈來愈多的遇到離散動態(tài)系統(tǒng)的問題，差分方程就是建立離散動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學模型的有效方法。在一般情況下，動態(tài)連續(xù)模型用微分方程方法建立，與此相適應，當時間變量離散化以后，可以用差分方程建立動態(tài)離散模型。有些實際問題既可以建立連續(xù)模型，又可建立離散模型，究竟采用那種模型應視建模的目的而定。例如，人口模型既可建立連續(xù)模型(其中有馬爾薩斯模型Malt

3、hus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。這里講講差分方程在建立離散動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學模型的的具體應用。二. 差分方程簡介 在實際中，許多問題所研究的變量都是離散的形式，所建立的數(shù)學模型也是離散的，譬如，像政治、經(jīng)濟和社會等領域中的實際問題。有些時候，即使所建立的數(shù)學模型是連續(xù)形式，例如像常見的微分方程模型、積分方程模型等。但是，往往都需要用計算機求數(shù)值解。這就需要將連續(xù)變量在一定的條件下進行離散化，從而將連續(xù)型模型轉化為離散型模型。因此，最后都歸結為求解離散形式的差分方程解的問題。關于差分方程理論和求解方法在數(shù)學建模和解決實際問題的過程中起著重要作用。1. 差分方程的定義

4、給定一個數(shù)列, 把數(shù)列中的前項關聯(lián)起來得到的方程，則稱這個方程為差分方程。2. 常系數(shù)線性齊次差分方程常系數(shù)線性齊次差分方程的一般形式為 ， (1)或者表示為 (1)其中為差分方程的階數(shù)，其中為差分方程的系數(shù)，且。對應的代數(shù)方程 (2)稱為差分方程(1)的對應的特征方程。(2)式中的個根稱為(1)式的特征根。2.1 差分方程的解 常系數(shù)線性齊次差分方程的解主要是由相應的特征根的不同情況有不同的形式。下面分別就特征根為單根、重根和復根的情況給出方程解的形式。2.1.1 特征根為單根(互不相同的根) 設差分方程(1)有個單特征根(互不相同的根)，則為該差分方程(1)的通解。其中為任意常數(shù)，且當給定

5、初始條件 ， (3)時，可以確定一個特解。例1 在信道上傳輸三個字母且長度為的詞， 規(guī)定有兩個連續(xù)出現(xiàn)的詞不能傳輸，試確定這個信道允許傳輸?shù)脑~的個數(shù)。 解: 令表示允許傳輸且長度為為的詞的個數(shù)，通過簡單計算可得 ，(a,b,c), (即ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)。當時，若詞的第一個字母是或，則詞可按種方式完成; 若詞的第一個字母是，則第二個字母是或，該詞剩下的部分可按種方式完成。 于是得差分方程 ()其特征方程為 ，特征根為 ， 則通解為 ， ()利用條件，求參數(shù)，即由，解得 ， 故得到原差分方程的通解為 ， ()2.1.2 特征根為重根設是階差分方程的個根，重數(shù)分別

6、為，且，則該差分方程的通解為同樣的，有給定的初始條件(3)可以唯一確定一個特解。 例2 設初始值為，解差分方程， () 解: 該差分方程的特征方程為，解得其根為，故通解為代入初始條件，得，故該差分方程的滿足初始條件的解為 2.1.3 特征根為復根設階差分方程的一對共軛復根和相異的個單根，則該差分方程的通解為其中，。 同樣由給定的初始條件(3)可以唯一確定一個特解。 另外，對于有多個共軛復根和相異實根，或共軛復根和重根的情況，都可類似的給出差分方程解的形式。3. 常系數(shù)線性非齊次差分方程 常系數(shù)線性非齊次差分方程的一般形式為 (4)其中為差分方程的階數(shù)，其中為差分方程的系數(shù)，且，為已知函數(shù)。在差

7、分方程(4)中，令，所得方程 (5)稱為非齊次差分方程(4)對應的齊次差分方程，即與差分方程(1)的形式相同。 求解非齊次差分方程通解的一般方法： 首先求對應的齊次差分方程(5)的通解，然后求非齊次差分方程(4)的一個特解，則為非齊次差分方程(4)的通解。 關于求的方法同求差分方程(1)的方法相同。對于求非齊次方程(4)的特解的方法，可以用觀察法確定，也可以根據(jù)的特性用待定系數(shù)法確定，具體方法可參照常系數(shù)線性非齊次微分方程求特解的方法。4. 差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性在應用差分方程研究問題時，一般不需要求出方程的通解，在給定初值后，通?？捎糜嬎銠C迭代求解，但常常需要討論解的穩(wěn)定性。對于差分方程

8、，若有常數(shù)是其解，即有則稱是差分方程的平衡點，又對該差分方程的任意由初始條件確定的解，均有 則稱這個平衡點是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。 下面給出一些特殊差分方程的平衡點和穩(wěn)定性。4.1 一階常系數(shù)線性差分方程 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 ， (6) 其中為常數(shù)，且。它的通解為 (7)易知是方程(6)的平衡點，由(7)式知，當且僅當時，是方程(6)的穩(wěn)定的平衡點。4.2 二階常系數(shù)線性差分方程 二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 ， (8) 其中為常數(shù)，當時，它有一特解，當，且時，它有一特解，不管是哪種情形，是方程(8)的平衡點。設方程(8)的特征方程為的兩個根分別為，則 當是兩個不同的實

9、根時，方程(8)的通解為； 當是兩個相同實根時，方程(8)的通解為 當是一對共軛復根時，方程(8)的通解為易知，當且僅當特征方程的任一特征根時，平衡點是穩(wěn)定的。4.3 一階非線性差分方程 一階非線性差分方程的一般形式為 (9)其平衡點由代數(shù)方程解出。 為了分析平衡點的穩(wěn)定性，將方程(9)的右端在點作泰勒展開，只取一次項，得到 (10)(10)是(9)的近似線性方程，是(10)的平衡點， 根據(jù)一階常系數(shù)線性差分方程(6) 的穩(wěn)定性判定的相關結論，得： 當時，方程(9)的平衡點是穩(wěn)定的； 當時，方程(9)的平衡點是不穩(wěn)定的。三 差分方程建模實例1 貸款買房問題 某居民買房向銀行貸款6萬元，利息為月

10、利率1%，貸款期為25年，要求建立數(shù)學模型解決如下問題：1) 問該居民每月應定額償還多少錢？2) 假設此居民每月可節(jié)余700元，是否可以去買房?1.1 確定參變量：用表示月份，表示第n個月欠銀行的錢，表示月利率，表示每月還錢數(shù)，表示貸款額。1.2 模型的建立與求解1) 模型的建立時間欠銀行款初始一個月后二個月后三個月后n個月后由上表可得相鄰兩個月的遞推關系式1.3 模型的求解：(1) 差分方程求解方法先求其特解。令，則，得特解為。再求對應齊次方程的通解。 對應的特征方程為，得。齊次方程的通解為：因此原方程的通解為：又因為時，得故(2) 遞推法：令 =60000， =300，=0.01得 元因此

11、，該居民每月應償還632元。又632<700，所以該居民可以去買房。2借貸問題中國建設銀行北京市分行個人住房貸款一至二十年“月均還款金額表”（自1998年3月25日起執(zhí)行）的一部分如下：(借款額為一萬元) 單位：元貸款期限(年)年利率(%)還款總額(元)利息負擔總和(元)月均還款額(元)1510.20619569.609569.60108.722010.20623488.8013488.8097.87試問他們是怎樣算出來的？借貸問題的數(shù)學模型一. 符號說明 以貸款期限20年為例:借貸額-;貸款期限-為N年; 月利率-;“月均還款額”-表示每月還款額是相同的，記為;還款總額-記為.二. 建

12、立模型一開始借款，一個月后欠銀行本利為，但為了減少欠款，還了元，因而，第個月情況也是這樣的，即注意到了第N個月已經(jīng)不欠銀行的錢了，即，因此，我們得到以下的數(shù)學模型:三. 數(shù)學模型的求解 首先求出用已知量表出的表達式。由可以猜想，并用數(shù)學歸納法證明:由等比數(shù)列前項的求和公式知:再由 ，得到:把已知量帶入，就得到表中的。3生物種群數(shù)量問題一問題的提出種群的數(shù)量問題是當前世界上引起普遍關注的一個問題。要預測未來種群的數(shù)量，最重要的影響因素是當前的種群數(shù)量，今后一段時間內種群的增長狀況和環(huán)境因素。由于隨著種群數(shù)量增加到一定的程度后，種群在有限的生存空間進行競爭，種群的增長狀況會隨著種群數(shù)量的增加而減少

13、，而且在有限的生存空間，種群數(shù)量也不可能無限增長，假設只能達到某一固定的數(shù)量值記為，稱為最大種群容量。又假設單位時間內種群數(shù)量的增長量與當時種群數(shù)量的比記為：， 其中相當于時的增長率，稱為固有增長率，記當前 (即時)種群數(shù)量為，時刻種群數(shù)量為。若利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，則1）設為連續(xù)、可微函數(shù)，請給出未來時間里種群數(shù)量滿足的數(shù)學模型。2）由于某些種群是在固定的一段時間內進行繁殖，所以可用種群繁殖周期作為時間段來研究其增長狀況。請給出未來時間里這類種群數(shù)量應滿足的離散數(shù)學模型。二. 問題分析與模型建立 1. 由于為單位時間內種群數(shù)量的增長量與當時種群數(shù)量的比，所以到時間內種群數(shù)量的增量為 (1) 又由

14、于而當時增長率應為零，即，所以，則，把它代入方程(1)得: (2)此方程兩邊同除，并令，加上初始條件可得未來任意時刻種群數(shù)量所滿足的數(shù)學模型為： (3) 2. 由于是利用種群繁殖周期作為時段來研究種群增長狀況，則令，視為整數(shù)及代入方程(1)得： (4)加上初始條件得任意時刻種群數(shù)量所滿足的離散型數(shù)學模型為通過這個差分方程就可以很容易得到任意時刻種群的數(shù)量。三模型求解 1利用求解方程(1)，可得任意時刻種群數(shù)量為源程序為： 2根據(jù)方程(2)，只要給出初值就可以很容易進行遞推而得到任意時刻種群的數(shù)量。四結果分析 1上面方程(3)有時稱為阻滯增長模型或模型，它有著廣泛的應用。例如傳染病在封閉地區(qū)的傳

15、播，耐用消費品在有限的市場上的銷售等現(xiàn)象，都可以合理的、簡化的用這個模型來進行描述。但它存在不足，因為隨著環(huán)境的變遷，最大種群容量可能會發(fā)生變化，而且最大種群容量也不容易準確得到。 2一方面，用離散化的時間來研究問題有時是很方便的，尤其出現(xiàn)了計算機以后，人們可以很方便的對問題進行求解；另一方面，對這個種群數(shù)量問題，由于許多種群實際上是由單一世代構成的，在相繼的世代之間幾乎沒有重疊，所以種群的增長是分步進行的。這種情況下，為了準確的描述種群的數(shù)量動態(tài)就不能用微分方程，而應利用離散的模型來描述。4. 人口的控制與預測模型一問題的提出常見的兩個常微分方程模型(馬爾薩斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂

16、克(Logistic)模型)沒有考慮到社會成員之間的個體差異，即不同年齡、不同體質的人在死亡、生育方面存在的差異。完全忽略了這些差異顯然是不合理的。但我們不可能對每一個人的情況逐個加以考慮，故僅考慮年齡的差異對人口的變動的影響，即假設同一年齡的人具有相同的死亡率和生育能力，這樣建立的模型不但使我們能夠更細致的預測人口總數(shù)，而且能夠預測老年人口、勞動力人口、學齡人口等不同年齡組的人口信息.下面來建立離散的差分數(shù)學模型來表現(xiàn)人口數(shù)量的變化規(guī)律。二模型的建立與求解 設為第年年齡為的人口數(shù)量，即忽略百歲以上的人口。如果知道了第年各年齡組的人口數(shù)，各年齡組人口的生育及死亡狀態(tài)，就可以根據(jù)人口發(fā)展變化規(guī)律

17、推得第年各年齡組的人口數(shù)。首先引入歲人口的死亡率和歲育齡婦女的年生育率這兩個概念，他們的含義和記號如下： 歲人口的年死亡率： 歲婦女的年生育率：第年歲的人口數(shù)就是第年歲人口數(shù)扣除它在該年的死亡人數(shù)，即，令稱為歲人口的存活率，故各年齡組人口隨時間的變化規(guī)律可用遞推公式來表示。再考慮到零歲的人數(shù)，其中為第年歲的婦女人數(shù)，為第年歲人口的女性比(占全部歲人口數(shù))，就是第年歲婦女所生育的嬰兒數(shù).由此得到的人口模型是： (1)根據(jù)人的生理特征和人口學中的習慣，婦女的育齡區(qū)間一般取為15歲至49歲之間，即當和時， 令則人口模型（1）的矩陣形式為 (2)其中稱為萊斯利（Lwslie）矩陣.當?shù)谀甑娜丝跔顩r已知

18、時，從式(2)就可以推得第年的人口為.5. 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型在自由競爭的市場經(jīng)濟中，商品的價格是由市場上該商品的供應量決定的，供應量越大，價格就越低。另一方面，生產者提供的商品數(shù)量又是由該商品的價格決定的，價格上升將刺激生產者的生產積極性，導致商品生產量的增加。反之，價格降低會影響生產者的積極性，導致商品生產量的下降。在沒有外界干擾的情況下，這種現(xiàn)象將如此反復下去。這樣的需求和供應關系決定了市場經(jīng)濟中商品的價格和數(shù)量必然是振蕩的。這種振蕩越小越好，如果振蕩太大就會影響人民群眾的正常生活。 產量減少價格下降供大于求數(shù)量和價格在振蕩供不應求價格上漲產量增加(1) 商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件

19、下趨向穩(wěn)定?(2) 當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定?下面用差分方程理論建模，討論市場經(jīng)濟趨于穩(wěn)定的條件，再用圖形方法建立“蛛網(wǎng)模型”對上述現(xiàn)象進行分析，對結果進行解釋，然后作適當推廣。3.1 模型的假設和符號說明 記第時段商品數(shù)量為，價格為，。這里我們把時間離散化為時段，1個時段相當于商品的1個生產周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉類可以是一個飼養(yǎng)周期。 在時段商品的價格取決于數(shù)量。設。它反映消費者對這種商品的需求關系，稱為需求函數(shù)。因為商品的數(shù)量越多，價格越低。需求函數(shù)在圖1中用一條下降的曲線表示，稱為需求曲線。 在時段商品的數(shù)量由上一時段的價格決定，用表示。它反映生產者的供應關系，

20、稱為供應函數(shù)。因為價格越高，生產量越大。供應函數(shù)在圖1中用一條上升的曲線表示，稱為供應曲線。gx0y0 P0fxyO圖1 商品供求關系曲線3.2 模型的建立與求解設需求曲線和供應曲線相交于點，在附近取函數(shù)和的線性近似，即需求曲線： ， (11)供應曲線：， (12) 由式(11)(12)消去，得到一階線性差分方程， (13)因此是其平衡點，即是平衡點。對式(13)進行遞推，得，由此可得，平衡點穩(wěn)定的條件是：；不穩(wěn)定的條件是：。 下面用圖形解釋此模型。 若對某一個有，則由(11)式得，當時，從而，即商品的數(shù)量和價格將永遠保持在點。但是實際生活中的種種干擾使得不可能停止在上。不妨設偏離(見圖2，圖

21、3)，我們來分析隨著的增加，的變化情況。xy0fgy0x0P0 x1x2P2y1y2P3P4x3y3P1f需求曲線g供應曲線圖2 點是穩(wěn)定的 數(shù)量給定后，價格由曲線上的點決定，下一時段的數(shù)量由曲線上的點決定，這樣得到一序列的點，,在圖2上，這些點將按照箭頭所示方向趨向，表明是穩(wěn)定的平衡點，意味著市場經(jīng)濟(商品的數(shù)量和價格)將趨向穩(wěn)定。 但是如果需求函數(shù)和供應函數(shù)由圖3的曲線所示，則類似的分析發(fā)現(xiàn)，市場將按照，的規(guī)律變化為遠離，即是不穩(wěn)定的平衡點，市場經(jīng)濟趨向不穩(wěn)定。P1P2P3P4xy0y0x0P0fgf需求曲線g供應曲線圖3 點是不穩(wěn)定的 圖2和圖3中折線形似蛛網(wǎng)，于是這種用需求曲線和供應曲

22、線分析市場經(jīng)濟穩(wěn)定性的圖示法在經(jīng)濟學中被稱為蛛網(wǎng)模型。實際上，需求曲線和供應曲線的具體形式通常是根據(jù)各個時段商品的數(shù)量和價格的一系列統(tǒng)計資料得到的。一般地說，取決于消費者對這種商品地需要程度和他們地消費水平，則與生產者的生產能力，經(jīng)營水平等因素有關。 下面來解釋此模型的實際意義。 首先來考慮參數(shù)的含義。需求函數(shù)的斜率(取絕對值)：表示商品供應量減少1個單位時價格的上漲幅度；供應函數(shù)的斜率：表示價格上漲1個單位時(下一時期)商品供應增加量。 的值反映消費者對商品需求的敏感程度。如果這種商品是生活必需品，消費者處于持幣待購狀態(tài)，商品數(shù)量稍缺，人們立即蜂擁購買，那么會比較大；反之，若這種商品非必需品

23、，消費者購物心理穩(wěn)定，或者消費水平低下，則會比較小。 的數(shù)值反映生產經(jīng)營者對商品價格的敏感程度。如果他們目光短淺，熱衷于追逐一時的高利潤，價格稍有上漲立即大量增加生產，那么會比較大；反之，若他們目光長遠，則會比較小。 根據(jù)的意義很容易對市場經(jīng)濟穩(wěn)定與否的條件作出解釋。當供應函數(shù)的斜率固定時，越小，需求曲線越平，表明消費者對商品需求的敏感程度越小，越有利于經(jīng)濟穩(wěn)定。當需求函數(shù)的斜率固定時，越小，供應曲線越陡，表明生產者對價格的敏感程度越小，越有利于經(jīng)濟穩(wěn)定。反之，當較大，表明消費者對商品的需求和生產者對商品的價格都很敏感，則會導致經(jīng)濟不穩(wěn)定。 經(jīng)濟不穩(wěn)定的解決方案 當市場經(jīng)濟趨向不穩(wěn)定時，政府有兩種干預辦法：一種辦法是