課例造橋選址問(wèn)題

1、課例造橋選址問(wèn)題中圖分類號(hào)： G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1002-7661（2016）19-0112-02造橋選址問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，在一條河上造橋，利用橋的長(zhǎng)度始終保持不變，通過(guò)平移橋到河的岸邊，再利用兩點(diǎn)之間線段最短，從而達(dá)到最佳的建造一座橋選址的問(wèn)題，有了在一條河道上建一座橋的基礎(chǔ)，可以得到在兩條河道、三條河道、直到在 n 條河道分別建造兩座橋、三座橋、 n 座橋的方法。利用平移變換進(jìn)行造橋選址問(wèn)題，是平移變換的一個(gè)重要應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，同時(shí)用運(yùn)用于生活。從而達(dá)到平移知識(shí)的遷移在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用。一、背景介紹本節(jié)內(nèi)容是我校實(shí)施的省級(jí)科研課題： “

2、初中數(shù)學(xué)“課題學(xué)習(xí)”校本化實(shí)施與評(píng)價(jià)的行動(dòng)研究”研究實(shí)施方案的研討內(nèi)容之一。本節(jié)內(nèi)容經(jīng)過(guò)了幾位教師的執(zhí)教與研討，本文展示的是筆者的實(shí)踐設(shè)計(jì)與實(shí)錄。（一）內(nèi)容與學(xué)情分析“造橋選址問(wèn)題”是人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十三章“軸對(duì)稱”的最后一節(jié)“ 課題學(xué)習(xí)”的第二節(jié)內(nèi)容。比“將軍飲馬”問(wèn)題較難，本節(jié)內(nèi)容的解決主要是平移知識(shí)的綜合應(yīng)用。是對(duì)學(xué)生動(dòng)手操作能力的一個(gè)考查，本節(jié)的難點(diǎn)在于如何把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短的問(wèn)題”，在解決的過(guò)程中滲透了化歸的思想。（二）目標(biāo)與目標(biāo)解析1.能利用軸對(duì)稱、平移解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.2.體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用；3.能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短，感悟轉(zhuǎn)化

3、思想，體會(huì)利用作圖解決最短路徑問(wèn)題。達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是：能夠?qū)?shí)際問(wèn)題中的“河”的兩岸抽象為數(shù)學(xué)中的 “平行線”，把實(shí)際問(wèn)題抽象為線段和最小問(wèn)題。通過(guò)學(xué)生獨(dú)立思考、合作討論、教師點(diǎn)撥等方式；能利用平移將線段的最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題；能通過(guò)邏輯推理證明所求路徑最短；在探索最短路徑的過(guò)程中，體會(huì)平移的“橋梁”作用，感悟化歸的轉(zhuǎn)化思想，（三） 教學(xué)思路與理念本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是利用平移變換解決造橋選址問(wèn)題并利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”公理進(jìn)行證明，難點(diǎn)是體會(huì)利用平移作圖將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題。最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是極值問(wèn)題，作為初中學(xué)生，以前涉及這方面的極值問(wèn)題很少，特別是遇

4、到具有實(shí)際背景的極值問(wèn)題，更會(huì)無(wú)從下手。在河岸的什么位置造橋，使得路徑最短，采用通過(guò)平移橋、或者河道的辦法，如何平移，為什么要這樣平移，多少學(xué)生存在理解上和操作上的困難。在教學(xué)時(shí)，教師要適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生。二、教學(xué)過(guò)程引言：前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短” 、軸對(duì)稱、平移等的問(wèn)題，1.下圖中的變換屬于平移的有哪些？師生活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立思考回答后， 教師作補(bǔ)充。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題1 讓學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱性質(zhì)、平移的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行再認(rèn)識(shí)。（一）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題歷史上著名的造橋選址問(wèn)題：A 和 B 兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)

5、要在河上造一座橋 MN. 橋建在何處才能使從 A 到 B 的路徑 AMNB 最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）師生活動(dòng)： 1.如上圖假定任選位置造橋 MN ，連接 AM 和 BN，從 A 到 B 的路徑指的是哪些線段的和？學(xué)生： AM+MN+BN ，教師：這三條線段哪些線段的長(zhǎng)度是固定不變的，那么怎樣確定什么情況下路徑最短呢？學(xué)生：橋的程度 MN 是固定的不變的。教師：利用線段公理解決問(wèn)題：我們遇到了什么困難呢？思維點(diǎn)撥：在不改變 AM+MN+BN 的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？學(xué)生：（ 1）把 A 平移到岸邊（ 2）把 B 平移到岸邊（ 3）把橋平移到和

6、A 相連（ 4）把橋平移到和 B 相連（ 5）平移河道師生活動(dòng)：由于河道寬度是固定不變的，造的橋要與河垂直，因此路徑 AMNB 中的 MN 的長(zhǎng)度是固定的。我們可以將點(diǎn) A 沿與河垂直的方向平移 MN 的距離到 A1，那么為了使 AMNB 最短，只需 A1B 最短。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接 A1B ，交河岸于點(diǎn) N，在此處造橋 MN ，所得路徑 AMNB 就是最短路徑， 如圖 2。證明：如圖 3，如果在不同于MN 的位置造橋M1N1 。由于 M1N1=MN=AA1 ；又根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”?？芍?AN1+N1B>A1N+NB 。所以，路徑 AMNB 要短于 AM1N1B 。設(shè)計(jì)

7、意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將最短路徑問(wèn)題抽象為 “線段和最小的問(wèn)題” 。通過(guò)平移搭建臺(tái)階，即平移橋或河道的辦法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的問(wèn)題，滲透了化歸的轉(zhuǎn)化思想。（二）小結(jié)師生一起回顧本節(jié)所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答（ 1）本節(jié)研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？（ 2）平移在研究問(wèn)題中起什么作用？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把握研究問(wèn)題的基本策略、基本思路、基本方法，體會(huì)平移在解決最短路徑問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化化歸思想的重要價(jià)值。（三）作業(yè)由學(xué)生畫(huà)圖并完成四條河、五條河、直到 n 條河相互平行和相互不平行的橋的建造，并總結(jié)出規(guī)律。設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步考查學(xué)生對(duì)本節(jié)所學(xué)知識(shí)的掌握程度以及平移等相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。教學(xué)反思：本節(jié)課應(yīng)著重體現(xiàn)小組合作學(xué)習(xí)的重要性，通過(guò)探究相互交流得到解決最短路徑的方法，由于難度較大，中差生學(xué)起來(lái)顯得力不從心。通過(guò)本節(jié)課的探究，我們不難體會(huì)到，造橋選址問(wèn)題，要使所得到的路徑最短，就是要通過(guò)平移變換，使除橋長(zhǎng)不變外所