第六章：多元函數(shù)積分學(xué)(上)

1、第六章：多元函數(shù)積分學(xué)本篇重點(diǎn)是二重、三重積分及兩類曲線積分、兩類曲面積分的計(jì)算及應(yīng)用，兩類曲線積分的關(guān)系，兩類曲面積分的關(guān)系，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件、已知全微分求原函數(shù) §6.1 二重積分本節(jié)重點(diǎn)是二重積分的計(jì)算及其在計(jì)算幾何量和物理量上的應(yīng)用 ?？贾R(shí)點(diǎn)精講一、二重積分的概念1二重積分定義定義：設(shè)是平面有界閉區(qū)域上有界函數(shù)，將閉域任意分成個(gè)小閉區(qū)域 其中表示第個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積在每一個(gè)上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和，如果當(dāng)各小區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和的極限總存在（與分法及的取法均無關(guān)），則稱此極限值為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，

2、記作，即 2二重積分的存在定理定理：若是平面有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分一定存在3幾何意義當(dāng)連續(xù)函數(shù)時(shí)，二重積分表示以為底，為頂，側(cè)面是以的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面的曲頂柱體的體積一般情況，=平面上方的曲頂柱體的體積減平面下方的曲頂柱體的體積二、二重積分的性質(zhì)設(shè)，在區(qū)域上可積，則 12（其中為常數(shù)）3，其中為區(qū)域的面積4若區(qū)域被有限條曲線分為兩個(gè)區(qū)域，則 5在區(qū)域上若，則 特別地 6（估值定理）若在區(qū)域上，表示區(qū)域的面積，則 7（積分中值定理） 設(shè)函數(shù)在閉域上連續(xù)，表示區(qū)域的面積，則在上至少存在一點(diǎn)，使得 例1.1 設(shè)，則（A） （B）（C） （D）解：由于，由二重積分幾何意義知，

3、表示曲頂柱體的體積，而，從而； 又因?yàn)樵谏?，所以由二重積分保號(hào)性定理可知，故應(yīng)選（D）例1.2 估計(jì)積分的值，則正確的是（A） （B）（C） （D）解：記，則的面積由于在區(qū)域上恒有 所以由估值定理可得 ，即，故應(yīng)選（C）例1.3 設(shè)區(qū)域?yàn)橹行脑谠c(diǎn)，半徑為的圓域，則（A） （B） （C） （D）解：由積分中值定理可知，內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得于是原式，故應(yīng)選（B）三、二重積分的計(jì)算1利用對(duì)稱性計(jì)算命題1：若積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中是在軸上方或下方部分命題2：若積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中是在軸左方或右方部分命題3：若積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，則 為在直線的上方或下方部分2利用直角坐標(biāo)系計(jì)算命題1：

4、若積分區(qū)域是型域，其不等式表示為則命題2：若積分區(qū)域是型域，其不等式表示為則3利用極坐標(biāo)計(jì)算命題1：如果區(qū)域包含極點(diǎn)，則 命題2：如果區(qū)域的邊界穿過極點(diǎn)，則 命題3：如果區(qū)域遠(yuǎn)離極點(diǎn)，則 評(píng)注： 如果區(qū)域是圓、圓環(huán)、扇形域，而被積函數(shù)為形式，一定用極坐標(biāo)計(jì)算； 如果利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分，應(yīng)適當(dāng)選取積分的先后次序，選取的原則是：“先積的積分比后積的積分要簡單”例1.4 設(shè)，則下列四個(gè)等式中不成立的是（A） （B）（C） （D）解：（A）是正確的因?yàn)榉e分區(qū)域?qū)ΨQ于軸，而被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以積分值為零；（B）、（D）正確 因?yàn)榉e分區(qū)域?qū)ΨQ于軸和軸，被積函數(shù)關(guān)于、 都是偶函數(shù)利用對(duì)稱性可

5、知此選項(xiàng)正確；（C）不成立，積分區(qū)域雖對(duì)稱于軸和軸，但被積函數(shù)關(guān)于、都是奇函數(shù)，因此等式左端的積分值應(yīng)為0，而右端的積分值大于零故應(yīng)選（C）例1.5 計(jì)算，其中由拋物線及直線所圍成的區(qū)域解：見圖 例1.6 計(jì)算，其中是由中心在原點(diǎn)、半徑為的圓周圍成的閉區(qū)域分析：由于積分域是圓域，被積函數(shù)形如，故選極坐標(biāo)計(jì)算解：見圖 四、二重積分的應(yīng)用1幾何應(yīng)用 設(shè)曲面由方程給出，為曲面在平面上的投影區(qū)域，函數(shù)在上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則曲面面積 2設(shè)有一平面型的物體，在平面上占有區(qū)域，其上每一點(diǎn)的面密度為，在平面上點(diǎn)處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，則 該物體的質(zhì)量為： 該物體的質(zhì)心坐標(biāo)為： ， 該物體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

6、慣量： 繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 繞直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 該物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為：， 常考題型及其解法與技巧一、概念、性質(zhì)的理解例6.1.1 設(shè)，其中，則（A） （B）（C） （D）分析：由于積分區(qū)域相同，所以積分的大小可以通過被積函數(shù)的大小來確定解：由于，在直線的左下方，所以區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)都滿足，因此，所以，根據(jù)積分的“保號(hào)性定理”可得故應(yīng)選（A）例6.1.2 平面區(qū)域，并設(shè)，則有（A） （B）（C） （D）解：，而積分區(qū)域關(guān)于都是對(duì)稱的，所以；又因?yàn)樵诜e分區(qū)域上，所以，故應(yīng)選（B）二、交換積分次序 直角坐標(biāo)系中變更積分次序直角坐標(biāo)系中變更積分次序解題的一般思路：寫出對(duì)應(yīng)的二重積分積分域的不等式；畫出的草圖；

7、根據(jù)圖形寫出另一種次序下的二次積分例6.1.3 交換積分次序，則解：該二次積分對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域?yàn)?，其不等式為 畫出的草圖，右圖所示因此交換積分次序后的二次積分為 例6.1.4 交換二次積分次序解：對(duì)應(yīng)的二重積分積分區(qū)域的不等式為，則其中，畫出的草圖，右圖所示 因此交換積分次序后的二次積分為 不同坐標(biāo)系下二次積分的互換此類題解題的一般思路：寫出對(duì)應(yīng)的二重積分積分域的不等式；畫出的草圖；根據(jù)圖形寫出另一種坐標(biāo)系下的二次積分例6.1.5 變換積分為極坐標(biāo)系下的二次積分為解：由已給積分限可知積分區(qū)域由圓周和直線圍成畫出的草圖，右圖所示在極坐標(biāo)系下，和直線化為和故例6.1.6 在極坐標(biāo)系下的二

8、次積分 在直角坐標(biāo)系下可寫成（A） （B）（C） （D）解：在極坐標(biāo)系下，區(qū)域的不等式為 畫出的草圖，右圖所示所以在直角坐標(biāo)系下的二次積分為 故應(yīng)選（C）三、計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分的一般思路：畫出區(qū)域的草圖；根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)利用對(duì)稱性化簡二重積分；選擇坐標(biāo)系；選擇積分的先后次序；確定二次積分的上、下限，作定積分運(yùn)算 積分域關(guān)于坐標(biāo)軸或直線對(duì)稱的二重積分此類積分一般應(yīng)先利用二重積分的對(duì)稱性進(jìn)行化簡例6.1.7 設(shè)是平面上以和為頂點(diǎn)的三角形域，是在第一象限的部分，則等于（A） （B）（C） （D）解：畫出的草圖，如下圖所示由于關(guān)于軸對(duì)稱，所以，故應(yīng)選（A）例6.1.8 設(shè)為區(qū)間的正值連續(xù)函數(shù)，為任

9、意常數(shù)，區(qū)域，則（A） （B） （C） （D） 解：畫出的草圖，如右下圖所示區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，而函數(shù)，滿足，所以，即所以例6.1.9 設(shè)區(qū)域由曲線，直線與圍成，計(jì)算二重積分 解：畫出的草圖，如右下圖所示用曲線將分為如圖所示的，顯然 且關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱利用二重積分的對(duì)稱性可得 被積函數(shù)是分段函數(shù)的二重積分此類積分解題的一般思路： 利用積分域內(nèi)的分段線將積分域劃分，把二重積分表示成幾個(gè)分段域上的二重積分的和；求各個(gè)分段域上的二重積分例6.1.10 設(shè)，表示不超過的最大整數(shù). 計(jì)算二重積分解：畫出的草圖，如右下圖所示由于，故二重積分是分段函數(shù)的二重積分，為此用積分域內(nèi)的分段線將積分區(qū)域分為兩部

10、分其中 ，.則 = =例6.1.11 計(jì)算二重積分，其中.分析：被積函數(shù)含有絕對(duì)值，應(yīng)當(dāng)作分段函數(shù)看待利用分段函數(shù)二重積分的解題思路完成.解：畫出的草圖，如右下圖所示用積分域中的分段線將劃分為兩部分其中，于是 =+=例6.1.12 設(shè)二元函數(shù) 計(jì)算二重積分，其中分析：此二重積分的計(jì)算應(yīng)先用對(duì)稱性化簡，然后根據(jù)分段函數(shù)二重積分的計(jì)算方法完成解：設(shè)區(qū)域在第一象限的部分為，由對(duì)稱性可得 記為與軸軸所圍部分，為挖掉剩余部分則 其它例6.1.13 求下列二重積分（1），其中是由拋物線，直線所圍成的平面閉區(qū)域；（2），其中是由直線及軸所圍的閉區(qū)域解：（1）畫出的草圖，如右下圖所示由圖可知此二重積分的計(jì)算應(yīng)

11、利用直角坐標(biāo)完成又由于被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，所以應(yīng)化為先對(duì)后對(duì)的二次積分故 ；（2）畫出的草圖，如右下圖所示由圖可知此二重積分的計(jì)算應(yīng)利用直角坐標(biāo)完成又由于函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，所以應(yīng)化為先對(duì)后對(duì)的二次積分 例6.1.14 求下列二重積分（1），；（2），為圓所包圍的在第一象限內(nèi)的區(qū)域解：（1）畫出的草圖，如右下圖所示由圖形和被積函數(shù)的特點(diǎn)可知此二重積分需用極坐標(biāo)來計(jì)算 故 ；（2）畫出的草圖，如右下圖所示由圖形和被積函數(shù)的特點(diǎn)可知此二重積分需用極坐標(biāo)來計(jì)算 四、計(jì)算二次積分 此類型的題解題的一般思路：寫出對(duì)應(yīng)的二重積分積分域的不等式；畫出的草圖；寫出另一種次序下的二次

12、積分（有時(shí)需寫出另一種坐標(biāo)系下的二次積分）；計(jì)算新的二次積分例6.1.15 求下列二次積分（1）；（2）；（3）解：（1） ，其中 ， 畫出的草圖，如右下圖所示則 （2）積分域畫出的草圖，如右圖所示由的形狀及被積函數(shù)的特點(diǎn)，需用極坐標(biāo)計(jì)算則 （3）極坐標(biāo)系下積分域畫出的草圖，如右下圖所示 換成直角坐標(biāo)計(jì)算，則 五、計(jì)算廣義二重積分 與定積分一樣，二重積分也可以推廣到積分域是無限和被積函數(shù)在有界域內(nèi)無界的情況，并稱之為廣義二重積分，其定義與廣義定積分的定義類似例6.1.16 計(jì)算，其中 解：這是無限區(qū)域上的廣義二重積分 例6.1.17 計(jì)算解：這里被積函數(shù)在區(qū)域內(nèi)無界，故為廣義二重積分當(dāng)時(shí)， =

13、當(dāng)時(shí)， 故六、二重積分證明題例6.1.18 證明：證明：交換積分次序得 例6.1.19 證明：，其中證明：先把等式左端的二重積分化為二次積分 再在對(duì)的積分中作變量代換，則于是 例6.1.20 設(shè)在上連續(xù)，證明 證明：把上式左、右兩端都表示成二重積分記，則 ，所以 從而評(píng)注：此不等式叫柯西不等式七、二重積分應(yīng)用例6.1.21 位于兩圓之間的均勻薄片的質(zhì)心坐標(biāo)解：設(shè)為兩圓之間的區(qū)域則質(zhì)心坐標(biāo) （對(duì)稱性） 所以質(zhì)心坐標(biāo)為例6.1.22 設(shè)一由，軸及所圍成的均勻薄板，其密度為，求此板繞直線旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并問為何值時(shí)，最小解： 令，而，所以當(dāng)時(shí)，最小八、其它例6.1.23 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，其中是由圍

14、成的區(qū)域，求解：令，由題設(shè)得對(duì)上式兩端在區(qū)域上取二重積分，有 從而，所以故 例6.1.24 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則分析：如果直接對(duì)求導(dǎo)，則因被積函數(shù)中也是的函數(shù)，又無法利用變量代換或定積分的性質(zhì)去掉被積函數(shù)中的參變量，從而超出所學(xué)范圍，因而需要尋求其它的方法，其中交換二次積分次序是處理這一類問題的一種常用方法解：二次積分對(duì)應(yīng)二重積分的積分域?yàn)?畫出區(qū)域的圖形如右圖所示交換二次積分次序可得所以，故例6.1.25 設(shè)函數(shù)，其中求函數(shù)的表達(dá)式解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以 §6.2 三重積分本節(jié)重點(diǎn)是三重積分的計(jì)算及其應(yīng)用 ?？贾R(shí)點(diǎn)精講一、三重積分的概念1三重積分的定義定義：設(shè)是在空

15、間閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分成個(gè)小閉區(qū)域 其中表示第個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積在每一個(gè)上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值趨于零時(shí)這和的極限總存在（與的分法及的取法均無關(guān)），則稱此極限值為函數(shù)在閉區(qū)域上的三重積分，記作，即 2三重積分存在定理定理：若在閉區(qū)域上連續(xù)，則三重積分一定存在3三重積分的物理意義設(shè)有一物體在空間占有閉區(qū)域，在點(diǎn)的體密度為，假設(shè)在上連續(xù)，則該物體的質(zhì)量為 二、三重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)可以推廣到三重積分，例如積分中值定理：假設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，是的體積，則至少存在一點(diǎn)，使得 三、三重積分的計(jì)算法1利用對(duì)稱性計(jì)算命題1：如果區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，則其中是被平面分出來的一部分命題2：如果區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，則其中是被平面分出來的一部分命題3：如果區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，則其中是被平面分出來的一部分例2.1 計(jì)算，其中解：由于關(guān)于平面對(duì)稱，而被積函數(shù) 是關(guān)于變量的奇函數(shù)，所以2利用直角坐標(biāo)系計(jì)算（1）“先一后二”即將三重積分化為： 命題1：如果積分區(qū)域具有以下特點(diǎn)：“用平行于軸的直線穿過的內(nèi)部時(shí)，與的邊界曲面交于兩點(diǎn)” 將向平面投影得投影域； 在內(nèi)任取一點(diǎn)，過空間點(diǎn)作軸的平行直