第二章 一階微分方程的初等解法

1、第二章 一階微分方程的初等解法教學(xué)目的1、使學(xué)生掌握微分方程及解的有關(guān)概念，初等理解微分方程的幾何解釋及初值問題解的存在唯一性問題。2、能判斷方程的類型，要求學(xué)生熟練掌握各種類型方程的相應(yīng)解法。3、初步了解如何建立方程及討論解的實際背景，訓(xùn)練學(xué)生初步解決實際問題的能力。本章重點：會判斷方程類型，熟練掌握各種可積類型的解法。本章難點 各種可積類型的解法1、判斷方程類型、特點及相應(yīng)解法，學(xué)生往往不注意方程類型拿過來題就解，往往事倍功半。2、運用等傾線畫積分曲線3、微分方程的應(yīng)用課時安排：講授16學(xué)時，習(xí)題課4學(xué)時作業(yè)安排：課上布置：50題 課外布置50題單元測試1次§2、1 變量分離方程

2、與變量變換數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)，是反映客觀現(xiàn)實世界運動過程中量與量之間的一種關(guān)系。但在大量的實際問題中遇到稍微復(fù)雜的一些運動過程時，反映運動規(guī)律的量與量之間的關(guān)系往往不能直接寫出來，卻比較容易地建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式。這種聯(lián)系著自變量未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，數(shù)學(xué)上稱之為微分方程。如：，微分方程包括常微與偏微本書僅討論常微。2.1.1 變量分離方程與變量變換首先我們要介紹一類最簡單的一階方程，即變量分離方程 (1.10)的解法我們總假設(shè)在上連讀，在連讀。先討論的情形。分析:設(shè)為（1.10）在上的任意一個解。代入方程后可建立一個積分方程。可證明積分方程確定的隱函數(shù)確定滿

3、足條件的（1.10）的解。由此可以看出：求（1.10）的解的問題可通過求積分方程得到解。在具體求解方程時，往往把求積分過程寫成不定積分的形式，即由解出，就是（1.10）的通解，所以是（1.10）的通解的隱式表達(dá)式。在常微分方程中，通常把解的隱式表達(dá)式稱為微分方程的積分。且把方程的通解的隱式表達(dá)式稱為方程的通積分。再來討論若存在使的情形。易于證明為（1.10）的一個解。事實上，以代入（1.10）兩端全為0，使其成為恒等式。于是，方程（1.10）除了通積分之外，還可能有一些常數(shù)解。例1、求解方程解：當(dāng)時，方程化為或解出，得到通解另外也是方程的解。所以，可取任意常數(shù)。例2、求解方程解：當(dāng)時 也是解（

4、不包括上述通解中）例3、求解方程的滿足初始條件及的解。解：當(dāng)時通解為為求滿足初始條件的解，以代入上式，應(yīng)有 代入通解，即得滿足的解。 另外，易知為方程的解，且顯然滿足初始條件，故它是所求的第二個解。在通解公式中,當(dāng)為負(fù)數(shù)時,通解所對應(yīng)的積分曲線位于帶形區(qū)域之中；而當(dāng)為正數(shù)時，它確定了兩條積分曲線，其中一條定義于上,它位于半平面上:另一條定義于,它位于半平面上。2º 變量可分離方程經(jīng)常以微分的形式出現(xiàn)，即 （1.12）這時，x和y的地位是“平等的”，即x和y都有可能被選為自變量或函數(shù)。注意到：如果，則為方程的解。 同樣，如果，則也是方程的解。在求解中不要丟失這些解。當(dāng)時，用它除（1.1

5、2）兩端，方程變成積分求解。例4、求解方程 解：首先，易于看出，為方程的解。其次，兩端同除以，得到積分即得到方程的通積分為 (C0)或 注意:當(dāng)時，包括了前面提到的特解。注：一般不必勉強(qiáng)從其求出解的顯式表達(dá)式來。3°最后，我們還指出一點，初值問題 的解不一定是唯一的。例5、下列初值問題的解不唯一 (1.14)解:在區(qū)域y>0 中,方程為 積分后得到通積分(x>c) 或y= 又經(jīng)驗算,y= 在x=c出也滿足方程,在原區(qū)域中的通解為 y= (x 0)以x=0,y=0 代入 得c=0 即 為方程滿足y(o)=0 的一個解 。另外,y=0 顯然也為一個所求的解,由此可見 所求初值

6、問題的解多于一個。2.1.2 可化為變量分離方程的類型1º 形如 (1.15) 的方程稱為齊次方程。作變量替換，令，即。代入（1.15）得 ， 及 （1.16） （可分離）若，則是（1.16）的解，得 當(dāng) (1.16)的通積分為 或 即 （還原可得到通積分）例1、求解 解：令代入上式得 即 易于看出，為這個方程的解為原方程的一個解.當(dāng) 時, 分離變量得 兩端積分后還原 2º 形如 的方程是齊次方程下面考慮稍為廣泛一些的方程 我們可通過變量變換把及 消去. 令,(為待定常數(shù)) 這與系數(shù)行列式有關(guān)，唯一解令, .未必有解 討論如下：當(dāng), 與中至少有一個為零.若則原方程是變量分離

7、的。若時 則。這時可令 , 分離 .當(dāng)時, 有關(guān)系 原方程化為 令 則 代入上面的方程，即得關(guān)于的新方程 這是一個變量可分離的方程，從而可以求解。例3、求解解：方程組 有解 令 代入原方程，得到新方程令 代入上式 , 得到新方程 ，整理后得到 積分得 即 或以代回，即得原方程的通積分 或例2、（補(bǔ)）拋物線的光學(xué)性質(zhì) 汽車前燈和探照燈的反射鏡面都取為旋轉(zhuǎn)拋物線面。就是將拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面。將光源安置在拋物線的焦點處，光線經(jīng)鏡面反射就成為平行線了，這個問題在平面解析幾何中已經(jīng)作了證明?，F(xiàn)在來說明具有前述性質(zhì)的曲線只有拋物線。由于對稱性，只考慮在過旋轉(zhuǎn)的一個平面上的輪廓線L，從旋轉(zhuǎn)軸

8、為ox軸，光源放在原點，設(shè)L之方程為為。由O點出發(fā)之光線經(jīng)鏡面反射后平行于ox軸。設(shè)為L上任一點，光線經(jīng)反射后為，為M點的切線。為L在M點的法線，根據(jù)光線的反射定律，有 從而 因為的斜率為，的斜率為，所以由夾角正數(shù)公式，有 從而 即得到微分方程 由這方程中解出，得到齊次方程 令，即，代入上式 或 分離變量后得：令，上式變?yōu)?積分后得 或 即 兩端平方得 化簡后得 以 代入，得 這是一族以原點為焦點的拋物線。§2.2 線性微分方程與常數(shù)變易法1º 形如 （1.19）的方程稱為一階線性方程，其中p(x), q(x) 在上 連續(xù)。 當(dāng)q(x)=0 時為線性齊次方程 （1.21）齊

9、次方程的解:(1) y=0 時是它的解。 (2) ,分離變量得 積分后得 ()或 () 又 y=0是解 ,故不論c 為任何常數(shù)，函數(shù)（1.22）均為（1.21）的解。為了求（1.21）滿足初始條件 的解，可在（1.22）中采用定積分， 即將（1.22）寫成以代入，得。于是，所求解為 （3）求非齊次線性方程的解。（常數(shù)變易法）令 代入方程中 得 （1.19）的通解的一般形式為 或 例1、求解 解：先求齊次方程的解。再用常數(shù)變易法求此方程的解。（4）結(jié)論：線性非齊次方程的通解，等于它所對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。（5）求解初值問題補(bǔ)題：求具有性質(zhì)的函數(shù)，已知存在。常數(shù)變易法可采

10、取定積分形式，即將（1.24）改為代入（1.19）并化簡，得，兩端積分，即得 代入（1.26），得到 從 代入，應(yīng)有。于是，所求初值問題的解為或 （1.27） 例2、求 的通解。解：齊次方程通解為 此方程通解為 2º 下面來求解形如 （1.29）的方程，稱為貝努利（Bernoulli）方程。 方程兩端除以化為線性方程，可求解。例3、求解 解為3º、利用線性非齊次方程的初值解公式。研究解的性質(zhì)及“后值”。下面舉例加以說明。例4、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且有界，試證明方程 的所有解在上有界。解：設(shè)為方程的任一解，它滿足某初始條件。于是，由公式我們只證在上有界。設(shè)。于是，對有 §

11、2.3 恰當(dāng)微分方程與積分因子1°考慮微分形式的一階方程 定義： (1.6) 如果上式的左端恰為某二元函數(shù)U(x,y) 的全微分即 (1.30)則稱(1.6) 是全微分方程或恰當(dāng)方程.而函數(shù)U(x,y)稱為微分式（1.30）的原函數(shù)。例如方程就是一個全微分方程。因為它的左端 恰為二元函數(shù)的全微分. 函數(shù)就是一個原函數(shù)。 又如方程 也是個全微分方程 . 如何求全微分方程。如：左邊恰好是的全微分若為這個方程的解，應(yīng)有恒等式，從而這就是未知函數(shù)的關(guān)系，由此可解出來，即：。一般地全微分方程的解法可表述為如下定理。定理1.1：假如是微分（1.30）的一個原函數(shù)，則全微分方程（1.6）的通積分為

12、 其中為任意常數(shù)。例1：求解解：展開后重新整理得：從而看到，我們必須熟悉一些常見的初等函數(shù)的全微分，并在此基礎(chǔ)上掌握一定的技巧。此法稱為觀察法，步驟：(i)將方程分為若干組，使每組的積分因子能教容易求出。(ii)盡量把每組的積分因子的最普遍的表達(dá)式寫出來。常用初等函數(shù)的全微分：選擇它們的共同積分因子，這就是方程的積分因子。但是，對于一般的方程（1.6），如何判斷它是否為全微分方程呢？這已是數(shù)學(xué)分析中早有的結(jié)論了，即：假如在矩形 上連續(xù)可微，則在 上是全微分方程的充要條件為：在上有 （1.32）于是（1.32）就是（1.6）在上為全微分方程的充分且必要的條件。如：因為 所以它是全微分方程，而不是

13、全微分方程。求法：設(shè)為（1.30）的原函數(shù)，顯然應(yīng)有，由第一個等式，應(yīng)有 其中是的任意（可微）函數(shù)，為了使再滿足 必須適當(dāng)選取，使?jié)M足 由參變量積分的性質(zhì)和條件（1.32），上式即為： 或從而應(yīng)取積分后得到因為只要一個就夠了，故取于是，函數(shù) （1.33）就是所求的原函數(shù)，而全微分方程（1.6）的通積分是 （1.34）（1.6）滿足初始條件的解，以代入（1.34），可定出，因此（1.6）滿足初始條件的積分即為： （1.35）由隱函數(shù)定理可知，當(dāng)時，由（1.35）所確定的滿足的解也就是唯一的了。例2求解方程 略。例3求解初值問題 2°當(dāng)方程不為全微分方程時，在一定條件下，我們可以把它化為

14、全微分方程。假如存在這樣的連續(xù)可微函數(shù)，使方程 （1.36） 成為全微分方程，我們就把稱為方程（1.6）的一個積分因子。易于看到，當(dāng)時，方程（1.6）與（1.36）是同解的，下面就來研究求積分因子的方法。方程（1.36）是全微分方程的充要條件為：展開整理后，上式可化成： 或 （1.37）于是，為了求得，必須求解（1.37）一般地說，（1.37）是不易求解的。不過，對于某些特殊情況，（1.37）的求解問題也是比較容易的。 設(shè)方程（1.6）存在積分因子，則方程（1.37）就化成 或既然只與有關(guān)，而上式成立，故左端 （1.38）也只與x有關(guān)（即不含y）這樣，方程（1.6）存在只與有關(guān)的積分因子的必要

15、條件是：（1.38）只與有關(guān)（不含）。下指出，這個條件也是充分的。設(shè)（1.38）只與有關(guān)（即不含），且為方程 （1.39） 的解.易于看出， 是方程（1.37）的一個解，從而是（1.6）的一個積分因子. 結(jié)論：當(dāng)（1.6）給定后，假如（1.38）與無關(guān)，則（1.6）存在與無關(guān)的積分因子，且可由求解方程得到。同理可證，當(dāng)表達(dá)式與無關(guān)時，方程（1.6）存在與無關(guān)的積分因子，且可求解方程 （1.41）得到。例4求解 解：因為與無關(guān)，故原方程存在只與有關(guān)的積分因子。 求解方程得到于是，方程為全微分方程。 且，故這方程與原方程同解。 取于是通積分為即：上面方法雖然很好，但是，在有些情況下，利用所熟悉的全

16、微分，能夠更簡單地“湊“出積分因子來，而且還能解決上述方法不能解決的問題。 例5 求解解:因為 所以方程不是全微分方程，不過，如果把原方程改寫成 可以看出方程有積分因子，因為，上式兩端同乘后有： 即 從而得到方程的通積分 或 例6求解解：因為且不存在形如或的積分因子。但改寫成 可知有積分因子 化成本節(jié)例1。3°全微分方程有很具體的物理背景。略4°到此為止，我們已經(jīng)介紹了變量可分離、齊次、一階線性和全微分方程的解法，及可化為這些方程的方程類型。歸結(jié)為初等積分法。這種方法是常微理論中古典的，比較初等的部分，但是也是最基礎(chǔ)的部分，同時這種方法在實際中的應(yīng)用也很廣泛，因此我們應(yīng)當(dāng)熟

17、練地掌握它。難點：方程類型較多，不易判斷。解決方法提供如下： 檢驗所考慮的方程是不是變量可分離方程，如不是再分兩種情況如即非可分離又不是齊次方程與線性方程。但是卻是關(guān)于的線性方程。以上均失效，再檢驗它是否是全微分方程，或可找到積分因子，應(yīng)當(dāng)靈活地運用各種解題的技巧。另外：注意解的過程可能會產(chǎn)生增解。最后：盡管介紹了好幾種，但可積類型為數(shù)“很少”的。有關(guān)這方面介紹一下即可。 §2.4一階隱式微分方程與參數(shù)表示目的：熟練掌握一階隱方程的初等積分法。并理解包絡(luò)，奇解等概念。難點：奇解的求法教學(xué)內(nèi)容 關(guān)于隱方程的求解方法。 （1） 假如能從（1）中把解出，那么就得到一個或個顯方程積分這些顯式

18、一階微分方程，就得到（1）的解。例1、求解方程 解：方程左端可以分解因式，得從而得到兩個方程 但一般不易求出，或者即使能求出，也不一定是可積的微分方程。下面介紹幾種方法（微分積分法）由（1）可解出，即 （2）這里引入?yún)?shù)，于是 （3）將（2）對求導(dǎo)可解假如（3）能求出通解代入（2）中得（1）通解若只能求得（3）通積分則與（2）聯(lián)立，即消去，可得到（1）的通積分例2、求解 解：令對求導(dǎo)<> <>作為上面的重要類型介紹方程 （4）令代入（4）中 （5）假定 代入（5）中得通解取與（5）聯(lián)立故第一式存在隱函數(shù)代入二式得一個解這個解也可以由聯(lián)立方程來表達(dá)。于是方程除之外，還有一

19、個由聯(lián)立所確定的解（這個解，后面還要討論）可解出，即它與（2）方法相似引入?yún)?shù)，有 （6）將上式對求導(dǎo)即這是可解出的方程，通解為代入（6）中若能求得通積分將它與（6）式聯(lián)立，得消去可得通積分。例3、求解略（參數(shù)法求解）如果不能解出或或者即使可以解出其中某一個，但所得到的方程不易求解，則可用參數(shù)方程來求解，我們只討論兩種特殊情形。<i>不顯含 （7）而且它可以表為參數(shù)形式這時，由于可知從而于是可得到（7）式的參數(shù)形式的解<ii>不顯含 （8）設(shè)其可表示參數(shù)形式從而得到參數(shù)形式的解例4、求解 解：令 有于是積分得到通解為消去：例5、 解：令 則 從而§1.7 一階

20、微分方程應(yīng)用舉例 通過前面的一些例子，我們已經(jīng)看到常微分方程是解決實際問題的有力工具。這一節(jié)我們再來舉幾個例子。幫助大家進(jìn)一步掌握用微分方程來解決實際問題的方法，一般來說可分如下三個步驟：（1） 根據(jù)所給的條件列出微分方程和相應(yīng)的初始條件。（2） 求解微分方程（3） 通過解的性質(zhì)來研究所提出的問等角軌線定義：我們來求這樣的曲線或曲線族。使得它與某已知曲線族的每一條曲線都相交成給定的角度。這樣的曲線稱為已知曲線族的等角軌線。當(dāng)所給的角為直角時，等角軌線就成為正交軌線。在其它學(xué)科（如天文，氣象）中都用應(yīng)用(后繼課微分幾何應(yīng)用)下面就來介紹求等角軌線的方法<i>把問題明確進(jìn)一步明確一下設(shè)

21、在 平面上，給定一個單參數(shù)曲線族： 求這樣的曲線L 使得L與 中每一條曲線的交角都是定角 。<ii>設(shè)L的方程為（求出所應(yīng)滿足的關(guān)系式）我們先來求出所應(yīng)滿足的微分方程，也就是要先得的關(guān)系式。由條件可知L與的曲線相交成定角于是可以想見，和 必然應(yīng)當(dāng)與中的曲線及其切線斜率有一定的關(guān)系。事實上，當(dāng) 時 有或 當(dāng) 時， 有又因為在交點處，于是，如果我們能求得的關(guān)系，即曲線族所滿足的微分方程 （4） 只要把和（2）或（3）代入（4）中就可以求得 的方程了。<>如何求（4）呢？采用分析法。設(shè)為中任一條曲線，于是在相應(yīng)的C使得 （5） 因為要求的關(guān)系，將上式對求導(dǎo)數(shù)，得 這樣將兩式聯(lián)

22、立 即由消去就可以得出所應(yīng)當(dāng)滿足的關(guān)系 這個關(guān)系稱為曲線族 的微分方程.于是,等角軌線（）的微分方程就是而正交軌線的微分方程為=0 似用代替。求得方程的解即為等角軌線的求法。<>由此得到等角軌線的求法。（1）先求曲線族的微分方程 （2）在方程中，將替換成（或），則得等角（或正角）軌線的微分方程 2°、在動力學(xué)中的應(yīng)用在動力學(xué)中，往往根據(jù)牛頓第二定律：來導(dǎo)出微分方程的。例1、 一質(zhì)量為的質(zhì)點，在平行力 F的作用下沿 軸運動，則根據(jù)力F 的不同情況出現(xiàn)不同的形式的微分方程，如：<>如果只與和有關(guān) 即 ,<>如果只與時間和速度有關(guān)，即則（1）可以化為一階

23、微分方程 <>如果至于位置和速度有關(guān)，即此時注意到 于是（1）化為 （可化為一階方程）例2、物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用，在速度不太大的情況下（低音速的），空氣阻力看做與速度的平方成正比，試證明在這情況下落體在極限速度解：設(shè)物體質(zhì)量為，空氣阻力系數(shù)又設(shè)在時刻物體的下落速度為，于是在時刻物體所受的力為 從而，由牛頓定律列出方程為注： 積分 或時， 據(jù)測控。據(jù)測定練：一質(zhì)量為的物體，在某種介質(zhì)中由靜止自由下落，假設(shè)介質(zhì)的阻力與速度成正比，試求物體運動規(guī)律。 條件時， 思考：一鏈條懸掛在釘子上，起動時一端離開釘子8米，另一端離開釘子12米，分別在以下兩種情況下求鏈

24、條滑下來所需時間若不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦力若摩擦力為鏈條1米長的重量3°流體混合問題：容器內(nèi)裝有物質(zhì)A的流體，設(shè)時刻時，流體體積為，物質(zhì)A 的質(zhì)量為（濃度當(dāng)然也就知道了）今以速度（單位時間的流量）放出的流體，而同時又以速度注入濃度為的流體是求時刻時容器中物質(zhì)A的流體的濃度。這類問題稱為流體混合問題。它是不能用初等數(shù)學(xué)解決的，必須用微分方程來計算。首先，我們用微元法來列方程，設(shè)在時刻，容器內(nèi)物質(zhì)A的質(zhì)量為，濃度為，經(jīng)過時間后，容器內(nèi)物質(zhì)A質(zhì)量增加。于是有關(guān)系 因為代入上式或 這是一個線性方程且初始條件為可求了。例3、某廠房容積為經(jīng)測定，空氣中含有0.2%的開動通風(fēng)設(shè)備以的速度輸入含

25、有0.05% 的的新鮮空氣，同時又派出同等數(shù)量的室內(nèi)空氣，問30分鐘后室內(nèi)所含的百分比。解：設(shè)在時刻，車間內(nèi)的百分比。當(dāng)時間經(jīng)過之后，室內(nèi)的改變量為：于是有關(guān)系或 分離積分求出，分鐘=1800秒 代入 基本上是新鮮的空氣了。 本章小結(jié)：本章介紹了形如 或 和 方程求解問題。1、 主要介紹了五種類型的方程的求解問題：變量分離方程、齊次方程、線性方程、伯努利方程及全微分方程。實際上作為基礎(chǔ)的不外是變量分離方程和恰當(dāng)方程（含微分方程）。其它類型的方程均可借助變量變換或積分因子化為這兩種類型。它們可簡略地表示如下圖。變量分離方程線性方程恰當(dāng)方程齊次方程2、 方程為隱方程 能就解出 或則令 后，化為求解

26、關(guān)于與（或）之間的一階方程： 或 再求解。 對形如 或 的方程引入?yún)?shù)，將方程表示為參數(shù)形式。再注意到關(guān)系式，就將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于與的一階方程歸結(jié)到上述五種類型之一。最后工作就是求積分問題。習(xí)題課 目的：對1-5節(jié)內(nèi)容即初等積分法（顯方程）求解方法的歸納，并通過幾個典型例題的講解，使學(xué)生認(rèn)識到一階方程解法的靈活性，多樣性。 關(guān)于一階方程的通解公式和通解結(jié)構(gòu)定理，也是一重要的內(nèi)容。特別是對解的性質(zhì)的研究十分重要，應(yīng)該是提起注意。 1、對前面幾種方法的總結(jié)。 2、通過幾個例子看如何具體地靈活運用。 例1、求解方程解：這顯然不是變量可分離方程，也不是前面提到的其它類型方程，此時需要通過適當(dāng)變換方能變成我們求解的類型。法（1）：原方程變形為可見，若把看成自變量，為的函數(shù)，則方程 就是一個典型的一階線性方程，從而可解，使用常數(shù)變易法可解得法（2）：