正余弦型復(fù)合函數(shù)的圖象及應(yīng)用

1、賈老師數(shù)學(xué)第四節(jié) 函數(shù)y = Asin( ax+巾的圖象及應(yīng)用?基礎(chǔ)知識1 .函數(shù)y=Asin(cox+ 的有關(guān)概念y=Asin(cox+ 昉 (A>0, 3>0)振幅周期頻率相位初相A2兀 T =1 W f = 一 C 1 T 2 71CO x+ (j)j2 .用五點(diǎn)法畫y=Asin(Wx+ <f)(A>0, 3>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫y=Asin(cox+(j)(A>0, 3>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示:cox+ ()0工2兀3兀22兀x一co兀(j) -2 coco兀一 (j) co3 兀()-2 co co2 L

2、 (j)COy= Asin(w x+昉0A0 A03 .由函數(shù)y= sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(«x+(f)(A>0 , 3>0)的圖象的兩種方法(1)兩種變換的區(qū)別先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|4個(gè)單位長度；先周期變換 (伸縮變換)再相位 變換，平移的量是 產(chǎn)(3>0)個(gè)單位長度.(2)變換的注意點(diǎn)無論哪種變換，每一個(gè)變換總是針對自變量 x而言的，即圖象變換要看 “自變量X”發(fā)生多大變化， 而不是看角“ 3X+ 6的變化.考點(diǎn)一 求函數(shù)y = Asin( ax+巾的解析式典例已知函數(shù)f(x)= Asin(x+ (A>0, w&g

3、t;0, 0<()< nt)其部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(1兀A . f(x) = 2sin x+ 413兀B. f(x)=2sin 2x+y13無C. f(x)= 2sin Jx+YjtD . f(x) = 2sin 2x+ 4(2)(2019皖南八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) = sin(x+昉«>0 , -2<產(chǎn)2的圖象上的一個(gè)最局點(diǎn)和它相鄰的1一個(gè)最低點(diǎn)的距離為2近且過點(diǎn)2,-,則函數(shù)f(x) =.解析(1)由題圖可知 A=2, T= 2X 3- 2 =4兀，故2f= 4兀，解得co=2.一,1所以 f(x)= 2sin 2x+ 4 .把點(diǎn)

4、 一2, 2代入可得2sin 2x 2 + =2,即 sin () 4 = 1,所以()-4 = 2k7t+-2(k Z),解得4= 2k兀+茨ke Z).3 TT又0<(<兀，所以()=.所以 f(x)=2sin $+字.(2)依題意彳2 22+ j 2 =2聲 則?=2,即3 = 2,所以f(x) = sin x+(),由于該函數(shù)圖象過點(diǎn)1 .1.1 TT兀.一兀一一.7TTT2, - 2 ,因此 sin( # 昉=-2,即 sin(f)= 2,而一2w 產(chǎn)2,故()=所以 f(x) = sin 2x+g .兀 兀答案(1)B (2)sin 2+6解題技法確定y= Asin(x

5、+昉+ B(A>0, 3>0)的解析式的步驟r&» 一 >一« M m _ M+m(1)求A, B,確定函數(shù)的最大值M和最小值 m,則A=-2, B = -2(2)求co,確定函數(shù)的周期T,則3 =年(3)求心常用方法有以下2種|題組訓(xùn)練兀,一 一 一 r1.函數(shù)f(x) = Asin(cox+ A>0, 3>0, |<2的部分圖象如圖所不，則117t .f 12/的值為(C.B 蟲巳-2D. 1解析：選D由圖象可得A=V2,最小正周期T=4X 君一；=兀，則 3=竿=2.由 f 77 =V2sin 菅+ 412 3I126=山，

6、|4苫 得4=卷，則f(x) = J2sin 2x+； 所以£詈=，2$所=42$所學(xué)=1.2332412342.(2018咸陽三模)已知函數(shù)f(x)=Asin(Wx+(f)(A>0 , 3>0, <曲部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為()A . f(x) = 25sin就 兀7+4B. f(x)=2<3sin芋C. f(x)=2A/3sinD. f(x) = 273sinxc 3兀 84解析：選D 由圖象可得，A= 2膽 T=2X6 （2）=16,所以3=2 Tt 2兀 兀T 16 8-所以 f(x)=2 ,sin *+().由函數(shù)的對稱性得f(2) =

7、 25，即 f(2)=2/3sin 8cx 2+。= 2/，II兀即 sin 4 + 4 = 1)所以 4 + °= 2k 兀2(k C Z),解得4= 2k兀一智ke Z).4因?yàn)閨0所以k=0, 4=4故函數(shù)的解析式為f(x)= 2(sin學(xué)一學(xué).考點(diǎn)二 函數(shù)y=Asin（ wx+巾的圖象與變換典例（2017全國卷I ）已知曲線Ci： y= cos x, C2： y=sin 2x+2T ,則下面結(jié)論正確的是 （）3A.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移白單位長度, 6得到曲線C2B.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的

8、曲線向左平移/個(gè)單位長度，得到曲線C2C.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移上單位長度, 6得到曲線C2D .把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長度,得到曲線C2 兀 一 1解析易知Ci ： y= cos x= sin x+萬,把曲線Ci上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y= sin 2x+2的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)y =sin 2 x+7T=sin 2x+斗 的圖象，即曲線 C2.i2 23答案D解題技法三角函數(shù)圖象變換中的3個(gè)注意點(diǎn)(1)變換前后，函數(shù)的名稱要

9、一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)；(2)要弄清變換的方向，即變換的是哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到的是哪個(gè)函數(shù)的圖象，切不可弄錯(cuò)方向；(3)要弄準(zhǔn)變換量的大小，特別是平移變換中，函數(shù)y=Asin x到y(tǒng)= Asin(x+ 4)的變換量是|4個(gè)單位，而函數(shù) y= Asin cox到y(tǒng)=Asin(cox+昉時(shí)，變換量是 個(gè)單位.題組訓(xùn)練1,將函數(shù)y= sin x+?的圖象上所有的點(diǎn)向左平移9個(gè)單位長度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來64的2倍(縱坐標(biāo)不變)，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為()5兀-.x 5兀A. y=sin2x+12B. y=sin 2+x 衛(wèi)x 5jtC. y=sin一萬D.

10、 y= sin 2+24TT TT 兀TT解析：選B 將函數(shù)y=sinx + -的圖象上所有的點(diǎn)向左平移二個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sinx+；+6446= sin x+1的圖象，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，可得函數(shù)y=sin 2x + 1；的圖象，因此變換后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2x+5f .2. (2019濰坊統(tǒng)一考試)函數(shù)y=gsin 2x cos 2x的圖象向右平移 ()。不；個(gè)單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則()的值為()一 兀C工A.12B.6兀兀C.4d.3解析：選B 由題意知y=/3sin 2x-cos 2x=

11、 2sin 2xf ,其圖象向右平移()個(gè)單位長度后，得到函數(shù) 6g(x) = 2sin 2x- 2(f)6的圖象，因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，所以2升6Pq+ k% kCZ,所以(f)=6+ £ kC乙又因?yàn)橐?,金，所以26考點(diǎn)三三角函數(shù)模型及其應(yīng)用典例據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈 f(x)= Asin(cox+ +BA>0, 3>0,他<2的模型波動(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千兀，9月份價(jià)格最低為5千兀, 則7月份的出廠價(jià)格為 元.解析作出函數(shù)f(x)的簡圖如圖所示，三角函數(shù)模型為：f(x) = Asin(cox+ 4)+B

12、,由題意知：A= 2 000, B=7 000, T=2X (93)=12,2兀工3=.=T6.將(3, 9 000)看成函數(shù)圖象的第二個(gè)特殊點(diǎn)，一 .» 萬TT則有6"X 3+ -5,Q0,-_.兀7兀 . f(7) =2 000 x $唁+ 7 000=6 000.故7月份的出廠價(jià)格為6 000元.答案6 000故 f(x) = 2 000sin6x+ 7 000(1 WxW 12, xC N ).解題技法三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中的2種類型及解題策略（1）已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量 與函數(shù)之間的對應(yīng)法則；（2）把實(shí)

13、際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題， 其關(guān)鍵是建模.題組訓(xùn)練1 .如圖，某港口一天 6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（）A. 5B. 6C. 8D. 10y=3sin 6x+（）+k,據(jù)此函數(shù)可知，這iHM/h3+k= M,解析：選C 設(shè)水深的最大值為 M,由題意并結(jié)合函數(shù)圖象可得解得M = 8.k-3= 2,兀2.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y = a+Acos6x 6 （x= 1,2,3,12）來表示，已知6月份的月平均氣溫最高為 28 C, 12月份的月平均氣溫最低為18 C,則1

14、0月份的平均氣溫為 C .a+A=28, 解析：由題意得a A = 18,a=23, 即A=5,LL,、，兀所以 y= 23+5cos 6x6 ,令 x=10,得 y=20.5.答案：20.5課時(shí)跟檢測兀，.一 、一1.函數(shù)y= sin 2x 一段在區(qū)間32,兀上的簡圖是（）解析：選A 令x=0,得y=sin -3 =T，排除B、D.由f -3=0, f 6 =0,排除C,故選A. 兀一，一兀一.2.函數(shù)f（x） = tan cox（3>0）的圖象的相鄰兩支截直線y=2所得線段長為2,則f臺的值是（B.C. 1D.73解析：選d由題意可知該函數(shù)的周期為2t, 兀 兀. .一=;）3 =

15、2, f（x）=tan 2x. co 2-f 6=tan /3.兀._.一. TT 一一 -一 _.、 3. （2018天津高考）將函數(shù)y=sin 2x+g的圖象向右平移 啟個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù) （）A .在區(qū)間¥，5J5上單調(diào)遞增B ,在區(qū)間34,兀上單調(diào)遞減C.在區(qū)間停，3上單調(diào)遞增D,在區(qū)間327，2兀上單調(diào)遞減解析：選A 將函數(shù)y=sin 2x+5的圖象向右平移 啟個(gè)單位長度后的解析式為y=sin 2 x方+；=sin 2x,則函數(shù)y = sin 2x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為至 5f , 一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為竽 7 .由此可判斷選 項(xiàng)A正確.4.(2019貴陽/僉測)已知

16、函數(shù)f(x)=Asin(cox+昉«>0,TT TT 一2<懷2的部分圖象如圖所不，則 。的值為()c兀B.3兀C, -6兀D.6解析：選B由題意，得2 3TT,由=2,由圖可知A= 1,所以f(x)= sin(2x+昉.又因?yàn)閒 J = sin芋+ ()= 0332<亦2t，所以.2235.(2019武漢調(diào)研)函數(shù)f(x) = Acos(cox+昉(3>0)的部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論: f(x)的最小正周期為2;1f(x)圖象的一條對稱軸為直線x= 2"；一 13忖在2k- 4, 2k+ 4kC Z上是減函數(shù);f(x)的最大值為A.則正確結(jié)論

17、的個(gè)數(shù)為B. 2C. 3D. 4解析：選B由題圖可知,函數(shù)f(x)的最小正周期T=2X5- 1 =2,故正確；因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的圖象過4 45一 115 kT 3 15-,0,所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x= 2 ;1+4+T = ；4 + k(ke Z),故直線x= 不是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸，故不正確；由圖可知，當(dāng)1T+kTWxW1+T+kT(ke Z),即2k 1<x<2k4 44 443+ 4(kC Z)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，故正確；若A>0,則最大值是A,若A<0,則最大值是A,故不正確.綜上知正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2.兀7t A 、，、>, 一 一

18、、 一6 . (2018山西大同質(zhì)量檢測)將函數(shù)f(x) = tan cox+ 3 (0< 3<10)的圖象向右平移g個(gè)單位長度后與函數(shù) f(x)的圖象重合，則 3=()B. 6C. 4D. 8解析：選B 函數(shù)f(x)=tan 3 x+3的圖象向右平移6個(gè)單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y =tan co x-6+3 =tan cox衰+3 ,二.平移后的圖象與函數(shù) f(x)的圖象重合，一：；+： =； + ku, kC Z, 解得 w= - 6k, kC Z.又< 0< co<10, w= 6.兀兀7 .已知函數(shù)f(x) = 2sinx+。<2的圖象經(jīng)

19、過點(diǎn)(0,1),則該函數(shù)的振幅為 ,最小正周期T為,頻率為,初相j為解析：振巾高A=2,最小正周期丁 =在=6,頻率f=1.工63因?yàn)閳D象過點(diǎn)(0,1), ,1所以 2sin(j)= 1,所以 sin(j)=5,又因?yàn)閨d<2,所以4=6.1 答案：2 6 6 68 .函數(shù)f(x) = Asin(cox+ (A>0, 3>0,0懷nt的部分圖象如圖所示，則 f(x)=解析： 由圖象可知 A=2, T = = 7, t T=兀，'- 3=2, 412 64當(dāng)x=機(jī)寸，函數(shù)f(x)取得最大值, _ 兀兀 _.，_ _、1- 2 X 6+ 4= + 2k Tt k C Z)

20、,.()='+ 2k % k Z)6兀f(x) = 2sin 2x+ 6 .，、TTg(x)的圖象，若g(x)在0 , nt止的值域?yàn)榇鸢福?sin 2x+69.已知函數(shù) f(x) = sin 33 x (3>0)向左平移半個(gè)周期得乎，1 ,則的取值范圍是.一 一一 . 一、.一兀兀解析：由題息，得g(x)=sin 3 w x+-sin 一兀一co x 3 sin co x 3 )由 x C 0, nt得 3 x 3 c - WTT- 3 .因?yàn)間(x)在0, nt止的值域?yàn)橐划?dāng)，1 ,所以六 W 71 -< J 解得 5< 9V 523363故3的取值范圍是5, 5

21、 .6 3答案：5 56' 3卜表是今年前四10 .某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價(jià)格每四個(gè)月會重復(fù)出現(xiàn).個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況:月份x1234收購彳格y(元/斤)6765選用一個(gè)三角函數(shù)模型來近似描述收購價(jià)格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為解析：設(shè) y= Asin( cox+昉+B(A>0, w>0),由題意得 A=1, B = 6, T=4,因?yàn)?丁= 2f，所以 °= 2，所以 y= sin *+ 4+6.一 . 兀因?yàn)楫?dāng)x= 1時(shí)，y=6,所以sin 5+4=0,故2+e= 2k Tt, kCZ,可取 e= 2，所以 y= sin x 2 +

22、6=cosx+6.答案：y= cos+ 6- - jt 一 一 一， 一 jt V311 .設(shè)函數(shù)f(x) = cos( co x+ 3>0, 2<亦°的取小正周期為 兀，且f 4 = 2 .求和。的值；(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在0, nt止的圖象.解：(1)因?yàn)門 =兀，所以3=2,3又因?yàn)?f j = cos 2X 4+ 4 = cos 2+ 4 = sin（j）=乎且一2<兀(2)由(1)知 f(x)=cos 2x 3 .列表：兀2x- 3兀30兀2兀3兀25_k yx0兀65兀 122兀 了11 7112兀f(x)12101012描點(diǎn)，連線，可得

23、函數(shù)f(x)在0 , nt上的圖象如圖所示.12 . (2019湖北八校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=sin(cox+. e0,網(wǎng)<2在它的某一個(gè)周期內(nèi)的單倜遞減區(qū)間是5 7r 117rtt 、 1,彳2.將y=f(x)的圖象先向左平移4個(gè)單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(縱坐標(biāo)不變)，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g(x).(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)在區(qū)間0, 4上的取大值和取小值.t，八 T 11兀 5兀 jr _2_5 門斛：(1) , 2= 12 12 = 2' - T= & 3=1=2，又. sin 2X52+ 4 =1,母1<2,兀.，、

24、.兀<1)=-, f(x) = sin 2x- , 33將函數(shù)f(x)的圖象向左平移 廣個(gè)單位長度得4一 一 .工 z 一.一 ,工y= sin 2 x+ 4 -3 = sin 2x+ 6 ,一，兀，一一，一一，.，一一、.、，一，.，1.兀再將y= sin 2x+ 6的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(縱坐標(biāo)不變)得g(x)=sin 4x+ 6 .，、.,.兀. g(x)=sin 4x+6 .(2) - x 0, 4 ,4x+6：e 6, 7f 當(dāng) 4x+6=2M, X= 12，g(x)在0,12上為增函數(shù)，在12,4上為減函數(shù)，兀所以 g(x)max = g 12 =1,又因?yàn)?g=

25、/, g 4=-2 所以 g(x)min= 2一，、兀，一，一一，一一，一 1故函數(shù)g(x)在區(qū)間0,4上的最大值和最小值分別為1和一機(jī)兀，一一 I一，一一1. (2019惠州調(diào)研)函數(shù)f(x) = Asin(2x+ 9) A>0, |9|<2的部分圖象如圖所不，且 f(a) = f(b)=0,對不同的 xi, x2 a, b,若 f(x1) = f(x2),有 f(x1 + x2)=43,則()A. f(x)在一52,12上是減函數(shù)B . f(x)在一52,啟上是增函數(shù)C. f(x)在；,處上是減函數(shù)D. f(x)在:，年上是增函數(shù)解析：選 B由題圖知 A = 2,設(shè) mCa, b,且 f(0)=f(m),則 f(0+m)= f(m)= f(0) =，3, . 2sin 9= 3,sin 9=乎，又.小/, .。=耒，f(x) = 2sin 2x+3,令梟 2k 廬 2x+，wf+ 2k% kC Z,解得5f+ 223323 212k后xw+k兀，kCZ,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增.所以選項(xiàng)B正確.2. (2019福州四校聯(lián)考)函數(shù)f(x) = sin 3乂3&