二項(xiàng)式定理的高考常見題型及解題對(duì)策

1、二項(xiàng)式定理的高考常見題型及解題對(duì)策二項(xiàng)式定理是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一種特殊的多項(xiàng)式-二項(xiàng)式的乘方的展開式。二項(xiàng)式定理既是排列組合的直接應(yīng)用，又與概率理論中的三大概率分布之一的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系。掌握好二項(xiàng)式定理既可對(duì)初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式的變形起到很好的復(fù)習(xí)，深化作用，又可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)作好必要的知識(shí)儲(chǔ)備。所以有必要掌握好二項(xiàng)式定理的相關(guān)內(nèi)容。二項(xiàng)式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題，填空題，偶爾也會(huì)有大題出現(xiàn)。本文將針對(duì)高考試題中常見的二項(xiàng)式定理題目類型一一分析如下，希望能夠起到拋磚引玉的作用。題型一：求二項(xiàng)展開式1“”型的展開式例1求的展開式；解：原式

2、= = = 小結(jié)：這類題目一般為容易題目，高考一般不會(huì)考到，但是題目解決過程中的這種“先化簡(jiǎn)在展開”的思想在高考題目中會(huì)有體現(xiàn)的。2 “”型的展開式 例2求的展開式；分析：解決此題，只需要把改寫成的形式然后按照二項(xiàng)展開式的格式展開即可。本題主要考察了學(xué)生的“問題轉(zhuǎn)化”能力。3二項(xiàng)式展開式的“逆用”例3計(jì)算；解：原式=小結(jié)：公式的變形應(yīng)用，正逆應(yīng)用，有利于深刻理解數(shù)學(xué)公式，把握公式本質(zhì)。題型二：求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)1 求指定冪的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)（1）求單一二項(xiàng)式指定冪的系數(shù)例4（03全國(guó)）展開式中的系數(shù)是 ；解：= 令則，從而可以得到的系數(shù)為：，填（2） 求兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式指定冪的系數(shù) 例

3、5（02全國(guó)）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是 ； 解：在展開式中，的來源有： 第一個(gè)因式中取出，則第二個(gè)因式必出，其系數(shù)為； 第一個(gè)因式中取出1，則第二個(gè)因式中必出，其系數(shù)為的系數(shù)應(yīng)為：填。（3） 求可化為二項(xiàng)式的三項(xiàng)展開式中指定冪的系數(shù)例6（04安徽改編）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是 ；解：上述式子展開后常數(shù)項(xiàng)只有一項(xiàng)，即 本小題主要考查把“三項(xiàng)式”的問題通過轉(zhuǎn)化變型后，用二項(xiàng)式定理的知識(shí)解決，考查了變型與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2 求中間項(xiàng)例7（00京改編）求（的展開式的中間項(xiàng)；解：展開式的中間項(xiàng)為 即：。 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的展開式的中間項(xiàng)是和；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的展開式的中間項(xiàng)是。3 求有理項(xiàng)例8（00京改編）求的展開式

4、中有理項(xiàng)共有 項(xiàng)；解：當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)。故展開式中有理項(xiàng)有4項(xiàng)。 當(dāng)一個(gè)代數(shù)式各個(gè)字母的指數(shù)都是整數(shù)時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是有理式； 當(dāng)一個(gè)代數(shù)式中各個(gè)字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說是不可約分?jǐn)?shù)）時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是無理式。4 求系數(shù)最大或最小項(xiàng)（1） 特殊的系數(shù)最大或最小問題例9（00上海）在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是 ；解：要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則必為奇數(shù)，且使為最大，由此得，從而可知最小項(xiàng)的系數(shù)為（2） 一般的系數(shù)最大或最小問題 例10求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)； 解：記第項(xiàng)系數(shù)為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有 又，那么有 即解得，系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)。（3） 系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)例1

5、1在（的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是 ；解：求系數(shù)絕對(duì)最大問題都可以將“”型轉(zhuǎn)化為型來處理，故此答案為第4項(xiàng)，和第5項(xiàng)。題型三：利用“賦值法”及二項(xiàng)式性質(zhì)3求部分項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和 例12（99全國(guó)）若， 則的值為 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= = =例13（04天津）若， 則 ；解：， 令，有 令，有故原式= 在用“賦值法”求值時(shí)，要找準(zhǔn)待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系，一般而言：特殊值在解題過程中考慮的比較多。 例14設(shè)， 則 ；分析：解題過程分兩步走；第一步確定所給絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)的符號(hào)；第二步是用賦值法求的化簡(jiǎn)后的代數(shù)式的值。 解： = =0題型四：利用二項(xiàng)式定理求近似值 例15求

6、的近似值，使誤差小于； 分析：因?yàn)?，故可以用二項(xiàng)式定理展開計(jì)算。 解：=， 且第3項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于，從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。= 小結(jié)：由，當(dāng)?shù)慕^對(duì)值與1相比很小且很大時(shí)，等項(xiàng)的絕對(duì)值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，因此可以用近似計(jì)算公式：，在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問題對(duì)精確度的要求，來確定對(duì)展開式中各項(xiàng)的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：。 利用二項(xiàng)式定理求近似值在近幾年的高考沒有出現(xiàn)題目，但是按照新課標(biāo)要求，對(duì)高中學(xué)生的計(jì)算能力是有一定的要求，其中比較重要的一個(gè)能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項(xiàng)式定理來求近似值。 題型五：利用二項(xiàng)式定理證明整除問題 例16（02濰坊模擬）求證：能被7整除。 證明： = = =49P+（） 又 =（7+1） = =7Q（Q）能被7整除。在利用二項(xiàng)式定理處理整除問題時(shí)，要巧妙地將非標(biāo)準(zhǔn)的二項(xiàng)式問題化歸到二項(xiàng)式