高聯平面幾何訓練題(附答案)

1、平幾綜合問題【例1】 在 ABC中，AB AC，其內切圓I分別切三邊于點 D,E,F , P為弧EF （不含點D的?。┥弦?點.設線段BP交圓I于另一點Q.直線EP,EQ分別交直線BC于點M,N.證明：（1）P, F,B,M四點共圓；EM BDEN BP【例2】 如圖，在銳角厶 ABC中，AB AC，cosB cosC 1. E、F分別是 AB、AC延長線上的點, 且 ABF ACE 90 .求證：BE CF EF ;設 EBC的平分線與 EF交于點P，求證：CP平分 BCF .【例3】 在三角形 ABC中，AB AC , CAB和 ABC的內角平分線分別與邊BC和CA相交于點D和E 設K是三

2、角形 ACD的內心若 BEK 45，求 CAB所有可能的值.【例4】(* )過圓外一點P向圓0作切線PA、PB及割線PCD，過C作PA的平行線，分別交 AB、AD 于 E 、 F 求證： CE EF CF【例5】 在厶ABC中， B C , ABC的內切圓 Ol與BC , CA , AB的切點分別為 D ,E ,F .記AD與OI的不同于點 D的交點為 P .過點P作AD的垂線交 EF于點Q , X，丫分別是AQ與直線DE , DF的交點.求證：A是線段XY的中點.【例6】 如圖，C為扇形AOB的弧Ab上一點，在射線 OC上任取一點 P，連結AP，過點B作直線 BQ / AP交OC于點Q 證明

3、：五邊形 OAQPB的面積與點C、P的選取無關.CQ2XY【例7】 給定圓1和2相交于點X和Y . h是一條過1的圓心的直線且與 2交于P、Q .12是一條過 的圓心的直線且與 1交于R、S 求證：若P、Q、R、S四點共圓，則此圓的圓心在直線 上.懇大顯身手1.設不過平行四邊形 ABCD頂點的任意一條直線分別與直線AB BC CD DA交于E、F、G H,則圓EFC與圓GHC勺另一個交點 Q必在定直線上2. 已知O O與 ABC的邊AB AC分別相切于 P和Q ,與 ABC外接圓相切于 D , M是PQ的中點 （如圖）.求證：POQ 2 MDC .3. 兩圓OQ、OO2相切于點M , OO2的

4、半徑不小于 O。!的半徑.點A是OO?上的一點，且滿足、 02和A三點不共線.AB、AC是點A到O 0的切線，切點分別為B、C ,直線MB、MC與O O2 的另一個交點分別為 E、F，點D是線段EF和OO2的以A為切點的切線的交點. 證明：當點A 在OO2上移動且保持、02和A三點不共線時，點 D沿一條固定的直線移動.4. (*選做，不作要求)水平直線m通過圓O的中心，直線l ml與m相交于M點M在圓心的右側,直線I上不同的三點 A B, C在圓外，且位于直線 m上方，A點離M點最遠，C點離M點最近, AR BQ CF為圓 0的三條切線，P，Q R為切點試證：(1) I 與圓 0相切時，AB

5、CF+BC AP= AC BQI與圓0相交時，AB CR+BC AN AC BQI與圓O相離時，AB CR+BC AP>AC BQ提示與解：C Q共線.1畫圖可得到 Q點應在在定直線 AC上，即證A連 AQ CQ EQ HQ 往證/ EQA=/ EQCE、F、C、Q共圓EQC= GFCG H、Q C共圓HQC/ FGC/ GFC+/ FGC+/ FCG=180T/ EQC/ HQC/ GFC=180,/ BAD=/ FCG / EQH+/ EAH=180t a e、q h共圓 t/ eqa=/ eha 而 ah/ bct/ gfc=/ ehat/ eqa=/ eqc t a c Q共線，

6、即Q必在定直線 AC上.aQcPMODB2、如圖，連接AO、AD、DO和DQ AP、AQ分別與O O相切于P、Q ap aq OP和OQ都是O O的半徑，APO AQO 90 由對稱性知 POQ 2 AOQ，且OA PQ于M 2 2OD OQOM OA ,即竺OMOAOD又 DOM AOD ,DOM s AODODM OAD過D作兩圓的公切線DE ,則CDE CAD又 OD DE，即 ODE 90MDC 90 ODM COE 90 OADy|DBFMO2CO1dac A故 POQ 2 MDC 3、以M為原點，O1O2為x軸建立直角坐標系，如2圖所示，設OOl方程為 x 1 y21 , OO2方

7、程為90 OAQ AOQ設 Ar rcos , rsin ,0, n U n, 2n .因為BC是OOi的切點弦，所以 BC 方程為 r 1 rcos x 1 yr sin 1 , 即 1 r rcos x rsin y r 1 cos 0 . 又易得EF II BC ,0，即 XD0，設 EF 方程為 1 r r cos x r sin y t 0 .又因為OQII O2F，所以yFXfr,ycXc所以yc1yF, xc1Xf（其中F Xf ,yF,C xc , yc ).rr所以11 r rcosXfr si n1 yFr 1 cos0 ,rr所以1r r cos XfrsinyFr2 1cos0 ,所以直線EF方程為1rr cosx r sin2y r 1 cos0又因為AD是OO2的以點A為切點的切線，所以直線AD方程為rxrcosr sinyr20.